- Nội dung chương trình lớp 12 cĩ một chút thay đổi so với chương trình, SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000 (sgk 2000) như sau:
-Vấn đề đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm đã được đưa vào chương trình Đại số và Giải tích 11 ngay sau bài hàm số liên tục nên chương trình Giải tích 12 sẽ được nối tiếp bởi các ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Nội dung của chương này là một số ứng dụng quan trọng của lí thuyết giới hạn và đạo hàm trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11. Trong chương này HS đã học qua về tính đơn điệu của hàm số, bảng biến thiên, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số,....Trong chương này chúng tơi đã tìm thấy các kiểu nhiệm vụ T1 và T’11 trong SGK Đại số & Giải tích 12.
Ví dụ:(bài tập 72, SGK trang 62) Cho hàm số ( ) 1 3 2 2 17
3 3
f x = x − x +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt. Giải
a) f x'( )=x2−4 ; ( ) 0x f x' = ⇔ =x 0 hoặc x = 4. Ta suy ra bảng biến thiên
X −∞ 0 4 +∞ f’(x) + 0 - 0 + f(x) +∞ −∞ Đồ thị b) Ta cĩ f(-2) = 8 8 17 0 3 3 − − + < và f(0) = 17
3 > 0. Hàm số f liên tục trên đoạn [- 2;0]. Vì f(-2).f(0) < 0 nên theo định lý về GTTG của hàm số liên tục, tồn tại một số thực α∈ −( 2;0) sao cho f(α ) = 0. Số α là nghiệm của phương trình f(x) = 0. Vì hàm số f đồng biến trên khoảng ( −∞ ; 0 ) nên phương trình cĩ nghiệm duy nhất α thuộc khoảng này.
Tương tự, hàm số f liên tục trên đoạn [0;4]. Vì f(0) =173 > 0 và f(4) = -5 <0 nên tồn tại số thực β∈(0;4) sao cho f(β) = 0. Vì hàm số f nghịch biến trên khoảng (0;4) nên phương trình f(x) = 0 cĩ nghiệm duy nhất β thuộc khoảng này.
Cũng như vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất γ thuộc khoảng (4 ;+∞ ). Vậy phương trình f(x) = 0 cĩ ba nghiệm phân biệt.
Chú ý. Cĩ thể thấy ngay điều khẳng định này trên đồ thị của hàm số. Đồ thị của hàm số 1 3 2 2 17
3 3
y= x − x + cắt trục hồnh tại ba điểm. Nhận xét:
- SGK Giải tích 12 đã dùng bảng biến thiên để tìm các khoảng nghiệm chứ khơng thử như ở lớp 11. SGK Giải tích 12 NC, CB đã khơng đề cập tường minh định nghĩa khoảng phân ly nghiệm nhưng trong bài giải thì mỗi khoảng đưa ra đều là khoảng phân ly nghiệm. Đề bài yêu cầu bao nhiêu nghiệm ta sẽ tương ứng tìm bấy nhiêu khoảng nghiệm thỏa định lý GTTG. Lời giải mong đợi của thể chế
17
là dùng bảng biến thiên để tìm các khoảng chứa nghiệm của phương và đồ thị là cơng cụ để minh họa chứ khơng phải là chứng minh thật sự.