5. Cấu trúc của luận văn
2.2 Phân tích sách giáo khoa Đại số 10
2.2.1 Các cách cho hàm số
Sách giáo khoa đại số 10 có nêu 3 cách cho hàm số: bằng bảng, bằng biểu đồ, bằng công thức.
2.2.1.1 Hàm sốcho bằng bảng
Năm 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2004 TNBQDN 200 282 295 311 339 363 375 394 564
Ví dụ 1 trang 32 sách giáo khoa đại số 10 giới thiệu một hàm số cho bằng bảng. Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa thu nhập bình quân đầu người (kí hiệu là y) và thời gian x(tính bằng năm). Sách giáo khoa lý giải có sự tương ứng mỗi phần tử x
thuộc tập các năm từ 1995 đến 2004 với duy nhất một giá trị y nên tao có một hàm số.
2.2.1.2 Hàm sốcho bằng biểu đồ
Ví dụ 2 trang 33 sách giáo khoa đại số 10 giới thiệu một hàm số cho bằng biểu đồ (dạng cột). Trong biểu đồ dạng cột này, tập hợp các giá trị của x là rời rạc và hữu hạn. Cách cho bằng biểu đồ này về mặt bản chất thì gần như là đồng nhất với cách cho bằng bảng. Nếu vẽ đồ thị của các hàm số ở ví dụ 1 và ví dụ 2 này thì ta được đồ thị là tập hợp các điểm rời rạc trên mặt phẳng.
Cách cho hàm số bằng biểu đồ dạng cột này về mặt bản chất rất khác với cách cho hàm số bằng đồ thị mà chúng tôi đã trình bày ở chương 1, vì ở đó tập xác định của hàm số có thể vô hạn trù mật, có tính chất như tập con của tập số thực.
2.2.1.3 Hàm sốcho bằng công thức
Sách giáo khoa nhắc lại hàm số cho bằng công thức bằng hoạt động 4 trang 33. Hoạt động này yêu cầu học sinh nhắc các hàm số đã học ở trung học cơ sở. Tất cả hàm số mà học sinh sẽ nhắc lại đều là hàm số cho bằng công thức, chẳng hạn hàm số y = ax + b, a
y x
= , y=ax2.
Sách giáo khoa không định nghĩa thế nào là công thức, cũng không định nghĩa hàm số cho bằng công thức là gì mà chỉ mô tả thông qua ví dụ.
Liên quan đến cách cho hàm số bằng công thức, có một quy ước rất quan trọng về tập xác định của hàm số cho bằng công thức: Khi cho hàm số y = f(x) mà không nói gì về tập xác định của nó thì người ta có quy ước tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.
Thống kê bài tập và ví dụ về các cách cho hàm số
Dưới đây là bảng thống kê số lượng bài tập của chương 2 về các cách cho hàm số.
Cách cho hàm số Ví dụ - hoạt động Bài tập
Cho bằng bảng 1 0
Cho bằng biểu đồ 1 0
Cho bằng công thức 6 20
Dựa vào bảng thống kê trên, chúng tôi rút ra nhận xét: Hàm số cho bằng công thức chiếm vị trí độc tôn trong sách giáo khoa.
2.2.2 Việc tìm công thức của hàm số từ bảng giá trị
Trong cả chương này, chúng tôi chỉ tìm thấy 2 kiểu bài tập yêu cầu tìm công thức của hàm số từ bảng giá trị, đó là:
Kiểu thứ nhất: Tìm công thức hàm số bậc nhất. Ở bài “§2. Hàm số y = ax+b” có kiểu bài tập yêu cầu tìm công thức của hàm số y = ax + bbiết đồ thị của nó đi qua hai điểm A x( A;yA) (,B xB;yB). Ở đây, chúng ta có thể xem như là tìm công thức của hàm cho bằng bảng mà trong bảng cho đúng 2 giá trị, chẳng hạn như bài 2 trang 42 sách giáo khoa:
Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua các điểm a) A(0; 3) và 5;0 3 B b) A(1; 2) và B(2; 1) c) A(15; −3) vàB(21; −3)
Kiểu thứ hai: Tìm công thức hàm số bậc hai.Ở bài “§3. Hàm số bậc hai” có kiểu bài tập tìm công thức của hàm số bậc hai biết đồ thị của nó đi qua ba điểm A, B, C
có toạ độ cho trước. Chúng ta cũng có thể xem như là việc tìm công thức của hàm số bậc hai cho bằng bảng mà trong bảng cho đúng 3 giá trị, chẳng hạn bài 12 trang 51 sách giáo khoa.
Xác định a, b, c biết parabol 2
y=ax +bx+c a) Qua A(0; −1), B(1; −1), C(−1; 1)
b) Có đỉnh I(1; 4)và đi qua điểm D(3; 0).
Hai kiểu bài tập trên đều có chung đặc điểm là: Cho biết trước dạng của hàm số (bậc nhất hay bậc hai), số lượng giá trị trong bảng là vừa đủ để lập hệ phương trình mà số phương trình bằng số ẩn để đi tìm các hệ số chưa biết trong công thức của hàm số.
2.2.3 Kết luận
Từ những phân tích chương 2 sách giáo khoa đại số 10, chúng tôi đã trả lời được câu hỏi nghiên cứu Q3 và rút ra vài kết luận sau:
• Kiểu nhiệm vụ T1, T2, T3 và các thao tác như vẽ đồ thị dạng điểm rời rạc, lấp đầy đồ thị bằng một đường liền (đã có mặt trong sách giáo khoa vật lý 10) không có mặt trong môn toán lớp 10.
• Việc tìm công thức của hàm số trong sách giáo khoa Đại số 10 và Vật lý 10 có sự khác nhau như sau:
o Trong vật lý, nhiều tình huống phải đi tìm công thức (hoặc xấp xỉ hàm số bằng một công thức) mà chưa biết dạng của hàm số (bậc nhất, bậc hai, . . . ) và số lượng giá trị đo được trong bảng thường nhiều.
o Sách giáo khoa đại số 10 thì chỉ yêu cầu tìm công thức (chính xác chứ không xấp xỉ) của một hàm số đã biết trước dạng (bậc nhất, bậc hai). Số lượng giá trị trong bảng chỉ vừa đủ để tìm các hệ số chưa biết của hàm số chứ không cho dư.
2.3 Hàm số và vấn đềmô hình hoá2.3.1 Mô hình hoá toán học là gì 2.3.1 Mô hình hoá toán học là gì
Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa là sự chuyển đổi trừu tượng một thực tế cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã được quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên. Sự chuyển đổi này được đặt dưới sự kiểm tra của tư duy lôcgic hay tư duy toán học. Nói cách khác, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này.
Theo Từ điển bách khoa phổ thông toán học ([10], trang 121), mô hình toán học là sự mô tả gần đúng một lớp nào đó các hiện tượng của thế giới xung quanh, được diễn đạt bằng các kí hiệu toán học.
Theo cách hiểu đó, mô hình hóa toán học được xem như công cụ đối với các khoa học khác.
Theo Quách Huỳnh Hạnh (2009), quá trình mô hình hóa toán cho một vấn đề thực tế được chia thành 4 bước:
Bước 1: Xây dựng mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có
ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng ta phải tuân theo.
Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại
dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính. Khi có một hệ thống ta chọn các biến cố đặc trưng cho các trạng thái của hệ thống. Mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến cố và các hệ số điều khiển hiện tượng.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài
toán hình thành ở bước thứ hai. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Trong
phần này phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. [Quách Huỳnh Hạnh, 2009].
Như vậy, mô hình hoá toán học luôn để giải quyết một vấn đề nào đó của thực tế. Bước 1 xác định các đại lượng toán học (hằng số, biến số độc lập, biến số phụ thuộc, . . . ) tương ứng với các đại lượng trong thực tế. Bước 2 phát biểu bài toán bằng ngôn ngữ toán học. Bước 3 dùng công cụ toán học để giải quyết bài toán được phát biểu ở bước 2. Bước 4 đối chiếu kết quả thu được ở bước 3 với vấn đề thực tế.
2.3.2 Mô hình hàm trong mô hình hoá toán học
Bài toán được phát biểu ở bước 2 trong mô hình hoá toán học có thể là:
• Trường hợp 1: Giải một phương trình, hay một hệ phương trình. Kiểu mô hình hoá này có thể được tìm thấy trong dạng toán “giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình” mà có liên quan đến
các vấn đề thực tế cuộc sống. Ví dụ về dạng toán kiểu này có thể được tìm thấy trong chương trình đại số ở cấp 2 hoặc chương phương trình, hệ phương trình đại số 10. Việc liệt kê các bài tập kiểu này không phải là nhiệm vụ của luận văn.
• Trường hợp 2:Tìm giá trị của một hàm số tại một điểm nào đó.
Luận văn này quan tâm đến trường hợp 2. Qua phân tích ở những mục trước của luận văn, có nhiều vấn đề thực tế mà việc giải quyết đưa về việc tìm giá trị của một hàm số tại một điểm, chẳng hạn: Tìm nhiệt độ của thành phố Dalas tại thời điểm không có trong bảng, tìm một hàm số biểu thị quãng đường của vật đi được theo thời gian dựa vào thí nghiệm chụp ảnh hoạt nghiệm để thu thập được số liệu dưới dạng một bảng số.
Sự hiện diện của hàm số trong mô hình hoá toán học có thể được minh hoạ qua sơ đồ sau:
2.3.3 Sự tồn tại của đối tượng mô hình hoá trong sách giáo khoa Toán 10 10
Mọi đối tượng mô hình hoá toán học đều liên quan đến vấn đề thực tế. Tuy nhiên, toàn bộ chương 2 sách giáo khoa Đại số 10 không có một bài tập nào liên quan đến vấn đề thực tế.
Bài đọc thêm về đường parabol trang 49 sách giáo khoa Đại số 10 có giới thiệu hình ảnh của đường parabol trong đời sống hàng ngày như: đài phun nước; cảnh bắn pháo hoa; nhiều công trình kiến trúc như cây cầu, vòm nhà, cổng ra vào, . . . Đây không thể xem là đối tượng mô hình hoá.
Kiểm tra
Dịch ra thực tế Tính toán
Thu thập dữ liệu dưới dạngbảng số Vấn đề thực tế Hàm số Giá trị hàm số tại điểm cần tính Vấn đề thực tế
Như vậy, chúng tôi có thể trả lời cho câu hỏi nghiên cứu Q4 như sau: Không tồn tại đối tượng mô hình hoá trong chương 2 sách giáo khoa Đại số 10.
2.4 Vấn đề chuyển đổi qua lại giữa hệ thống biểu đạt bằng bảng sốvà các hệ thống biểu đạt khác của hàm sốtrong SGK bảng sốvà các hệ thống biểu đạt khác của hàm sốtrong SGK toán
Như đã phân tích trước đó, hệ thống biểu đạt hàm số bằng công thức chiếm vị trí gần như tuyệt đối trong SGK toán 10. Nhìn rộng ra đến sách giáo khoa toán 12, ở đó học sinh đi khảo sát kĩ hơn các tính chất của hàm số như tính đồng biến, nghịch biến; cực trị; giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một tập nào đó. Hệ thống biểu đạt bằng công thức không thể hiện tường minh các tính chất về đơn điệu và cực trị của hàm số. Khi đó nhu cầu vẽ đồ thị hàm số được phát sinh. Đồ thị hàm số cho phép thể hiện tường minh các tính chất trên. Trong quá trình khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, bảng biến thiên của hàm số cũng xuất hiện. Trước khi vẽ đồ thị hàm số dưới dạng một đường liền nét, học sinh phải lập bảng giá trị đặc biệt để căn cứ vào đó mà xác định những điểm rời rạc trên đồ thị trước khi nối chúng lại. Quy trình trên có thể được minh hoạ bởi sơ đồ sau:
Một câu hỏi được đặt ra là có tồn tại quy trình đi ngược từ bảng giá trị (bảng số) đến công thức của hàm số không? Trong sách giáo khoa toán Việt Nam không hiện hữu quy trình ngược này. Tuy nhiên, như đã trình bày ở chương trước, trong toán học hiện đại, có xuất hiện bài toán nội suy xấp xỉ hàm số bằng một công thức khi biết giá trị của hàm số tại một số nút cho sẵn dưới dạng một bảng số. Như chúng tôi đã trình bày, trong sách giáo khoa Vật lý lớp 10 có tồn tại quy trình này.
Công thức
Bảng biến thiên
Bảng giá trị
2.5Kết luận
Qua phân tích chương 1 động học chất điểm sách giáo khoa vậy lý 10 và chương 2 hàm số sách giáo khoa đại số 10, chúng tôi đã trả lời được các câu hỏi nghiên cứu Q2, Q3, Q4 như sau:
• Trong bộ môn vật lý, tồn tại các kiểu nhiệu vụ T1, T2, T3: “Từ một bảng số, vẽ đồ thị dạng điểm, dùng trực giác lấp đầy đồ thị đó bằng một đường liền để đưa ra những nhận xét về sự phụ thuộc lẫn nhau của hai đại lượng đang xét. Sau đó có thể đưa ra dự đoán xấp xỉ giá trị của hàm số tại một điểm nào đó không có trong bảng.” Như vậy, trong vật lý hiện diện việc đi tìm một hàm số từ bảng giá trị của nó.
• Hàm số cho bằng bảng chỉ hiện diện trong chương 2 sách giáo khoa đại số 10 như một ví dụ để minh hoạ các cách cho hàm số. Hệ thống biểu đạt hàm số bằng công thức chiếm ưu thế gần như tuyệt đối.
• Không tồn tại đối tượng mô hình hoá trong chương 2 sách giáo khoa đại số 10.
Từ những kết luận trên, chúng tôi rút ra giả thuyết nghiên cứu H:
H: Học sinh gặp khó khăn trước những vấn đề thực tế mà số liệu thu được dưới dạng bảng số rồi phải đi tìm một mô hình hàm để giải quyết vấn đề thực tế đó. Việc dạy học ở phổ thông vẫn có thể giúp họ vượt qua khó khăn này bằng một hệ thống các tình huống và qua đó giúp họ hiểu được “nghĩa” của hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng.
Chương 3: Thực nghiệm
3.1 Mục tiêu thực nghiệm
Mục tiêu của thực nghiệm là kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu H mà chúng tôi đã nêu ở cuối chương 2.
H: Học sinh gặp khó khăn trước những vấn đề thực tế mà số liệu thu được dưới dạng bảng số rồi phải đi tìm một mô hình hàm để giải quyết vấn đề thực tế đó. Việc dạy học ở phổ thông vẫn có thể giúp họ vượt qua khó khăn này bằng một hệ thống các tình huống và qua đó giúp họ hiểu được “nghĩa” của hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng.
Các tình huống trong thực nghiệm sắp được triển khai có tính đến vấn đề mô hình hoá. Các bài toán thực nghiệm sẽ liên quan đến các vấn đề thực tế.
3.2 Nội dung thực nghiệm
Kết quả trong các bài toán thực nghiệm sau đây chỉ là kết quả gần đúng. Đa số học sinh thì lại quen với việc tính toán trên trên con số chính xác, do đó trong phiếu thực nghiệm chúng tôi chú ý với học sinh như sau:
• Dưới đây là những bài toán liên quan đến thực tế. Trong các bài toán thực tế thì người ta không cần một đáp số chính xác mà chỉ cần số gần đúng hay xấp xỉ là đủ.
• Học sinh được phép tính toán và dự đoán kết quả dưới dạng gần đúng với một sai số ‘’chấp nhận được’’.
• Những kết quả dự đoán gần đúng đó thường được tìm ra bằng phương pháp đồ thị. Học sinh có thể sử dụng lưới ô vuông có sẵn trong phiếu này để vẽ đồ thị. Việc chọn gốc tọa độ, chia đơn vị trên trục tọa độ học sinh tự chọn cho hợp lý.
Dưới đây là nội dung các bài toán thực nghiệm.
Bài toán 1. Lần thứ nhất một người đi taxi 9km hết 91 nghìn đồng. Lần thứ hai người này cũng đi taxi cùng hãng lần trước đã đi và đi 15km hết 135 nghìn. Cả hai lần đi trước người này quên xem bảng giá. Hai ngày sau người này có chuyến công tác