2 Nguyờn lý cực đại Pontriagin trong lý thuyết điều khiển tối ưu
2.4.4.Cỏc điều kiện hoành
Định nghĩa 2.4.2 (Tập cạnh). Một tập cạnh trờn Rn là một tập hợp con E sao cho
E=φ(U), trong đú (i) U⊂Rk cú dạng U=U0T y1, ..., yk |yk ≥0 , U0 là một lõn cận của 0.
(ii) φ :U0 →Rn là một phộp đồng phụi lờn ảnh của nú với Dφ(y) đơn ỏnh với mỗi
y∈U0. Biờn của Elà tập hợp
bd(E) =
φ y1, ..., yk−1,0
| y1, ..., yk−1,0
∈U , số chiều của một tập cạnh như vậy làdim(E) = k.
Chỳ ý rằng biờn của tập cạnh Enúi chung khụng trựng với biờn củaEnhư một tập hợp con củaRn (ở đõy luụn hiểu biờn của tập cạnh theo nghĩa đó nờu)
Hỡnh 2.8 về một tập cạnhE. Tại những điểm x∈Emà khụng thuộc biờn của E, ta sử dụng khụng gian tiếp xỳc thụng thường, tức là ảnh củaDφ(y) với φ(y) = x.
Tại những điểm biờn ta dựng khỏi niệm dưới đõy.
Định nghĩa 2.4.3 (Nửa khụng gian tiếp xỳc). Cho E là một tập cạnh với E=φ(U)
và U, φ như trong Định nghĩa 2.4.2. Với x∈ bd(E), lấy y∈ Usao cho φ(y) = x.Nửa khụng gian tiếp xỳc với E tại x là
T+
x E=Dφ(y)
v1, ..., vk
|vk ≥0 , (xem Hỡnh 2.9).
Ta giả sử S0 là một tập ràng buộc trơn được xỏc định bởi S0 = Φ−01(0).
Ta kớ hiệuTxS0 = ker (DΦ0(x))là khụng gian tiếp xỳc vớiS0 tại một điểmx∈S0.
Hỡnh 2.8: Minh họa tập cạnh.
Hỡnh 2.9: Minh họa nửa khụng gian tiếp xỳc.
Giả sử ta cú điểm ban đầu x ∈ S0, một điều khiển à ∈ U(x0, t0,[t0, t1]) và một điểm τ ∈(t0, t1)T
Leb(à, x0, t0, t1). Kớ hiệu ξ =ξ(à,(0, x0), t0,ã)và
Với những kớ hiệu đú, ta cú một kết quả tương tự với Bổ đề 2.3.5.
Bổ đề 2.4.4 (Cỏc nún tiếp xỳc trờn khoảng cố định và nửa khụng gian tiếp xỳc là khụng tỏch được). Giả sử Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển, S0 = Φ−01(0) là một tập hợp ràng buộc, x0 ∈ S0, t0, t1 ∈ R thỏa món t0 < t1. Cho à ∈ U(x0, t0,[t0, t1]) và
τ ∈(t0, t1)T
Leb(à, x0, t0, t1). Cho E là một tập cạnh vớiξ(à, x0, t0, τ)∈bd(E)và giả sử nửa khụng gian tiếp xỳc của E tại ξ(à, x0, t0, τ) và nún K(à, x0, t0, τ) khụng tỏch được. Khi đú tồn tại x00 ∈S0 sao cho tập hợp (E\bd (E))T
R x00, t0, t1 khụng rỗng.
Tất nhiờn cú một phiờn bản trờn khoảng tự do của Bổ đề này. Để đưa ra kết quả đú ta kớ hiệu
K±(à, x0, t0, τ) = clconv coneΦ (à, x0, t0, t0, τ)Tξ(t
0)S0S (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
K±(à, x0, t0, τ).
Bổ đề 2.4.5 (Cỏc nún tiếp xỳc trờn khoảng tự do và nửa khụng gian tiếp xỳc là khụng tỏch được). Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển, S0 = Φ−01(0) là một tập hợp ràng buộc, cho x0 ∈ S0, t0, t1 ∈ R thỏa món t0 < t1, cho à ∈ U(x0, t0,[t0, t1]) và
τ ∈(t0, t1)T
Leb(à, x0, t0, t1). Cho E là một tập cạnh vớiξ(à, x0, t0, τ)∈bd(E)và giả sử nửa khụng gian tiếp xỳc của E tại ξ(à, x0, t0, τ) và nún K±(à, x0, t0, τ) là khụng tỏch được. Khi đú tồn tại x00 ∈S0 sao cho tập hợp:
(E\bd (E))TR x00, t0
là khụng rỗng.
Ta sẽ ỏp dụng cỏc Bổ đề trờn đối với cỏc điều kiện hoành của nguyờn lý cực đại. Để làm được điều này ta cần vài kớ hiệu. Việc nhắc lại vài kớ hiệu từ khẳng định của nguyờn lý cực đại vỡ ta giả thiết cú một quỹ đạo tối ưu. Ta kớ hiệu:
b TxSa ={(0, v)∈R⊕Rn|v ∈TxSa}, a∈ {1,2}, b S1 =n(x0, x)∈Xb|x0 ≤ξ0 ∗(t1), x∈S1o, b Sτ = b ξ(t)| . b ξ(t) =fbξb(t), à∗(t),ξb(t1)∈Sb1 , τ ∈(t0, t1).
Chỳ ý rằng Sb1 và Sbτ là cỏc tập cạnh. Chớnh xỏc hơn, trong một lõn cận của ξb∗(t1) (tương ứng ξb∗(τ)), Sb1 (tương ứng Sbτ) là một tập cạnh. Chỳ ý T+ b ξ∗(t1)Sb1 = conv cone{(−1,0)}S b T+ b ξ∗(t1)Sb1, T+ b ξ∗(τ)Sbτ = conv cone {(−1,0)}S b Φ (à∗,xb0, t0, t1, τ) b T+ b ξ∗(t1)Sb1 .
phõn của hệ mở rộng. Ta cũng kớ hiệuKb (à∗,xb0, t0, t)(tương ứngKb±(à∗,bx0, t0, t)) là bao lồi đúng củaΦ (b à∗,xb0, t0, t0, t) b Tx0S0 và Kb(à∗,xb0, t0, t)(tương ứng Kb±(à∗,bx0, t0, t)).
Với kớ hiệu này ta cú kết quả sau.
Bổ đề 2.4.6 (Tớnh tỏch của cỏc nún cho cỏc điều kiện hoành). Cho Σ = (X, f, U) là một hệ mở rộng, L là một hàm Lagrange của Σ, và cho S0, S1 ⊂ X là cỏc tập ràng buộc. Giả sử (ξ∗, à∗) ∈ P(Σ, L, S0, S1,[t0, t1]) hoặc (ξ∗, à∗) ∈ P(Σ, L, S0, S1) xỏc định trờn [t0, t1]. Khi đú cỏc nún b K(à∗,bx0, t0, t1) (tương ứng Kb±(à∗,xb0, t0, t1)) và Tb+ b ξ∗(t1)Sb1 là tỏch được.
Cuối cựng ta chỉ ra rằng bổ đề trờn sẽ suy ra điều kiện hoành. Ta làm việc trờn khoảng cố định, trường hợp trờn khoảng tự do chứng minh tương tự. Theo Bổ đề 2.4.6 cỏc núnKb(à∗,xb0, t0, t1) và Tb+ b ξ∗(t1)Sb1 là tỏch được. Chọn bλ∗(t1) = (λ0 ∗, λ∗(t1))sao cho D b λ∗(t1), v E ≤0, bv ∈Kb(à∗,bx0, t0, t1), D b λ∗(t1), vE≥0, bv ∈Tb+ b ξ∗(t1)Sb1.
VỡKb(à∗,xb0, t0, t1)⊂Kb(à∗,bx0, t0, t1)nờn phản hồi liờn hợp t7→λ∗(t)xỏc định sao cho λ∗ bằng λ∗(t1) tại thời điểmt1 thỏa món cỏc kết luận của nguyờn lý cực đại. Vỡ
b T b ξ∗(t1)Sb1 ⊂Tb+ b ξ∗(t1)Sb1 nờn ta cú hλ∗(t1), vi ≤0, v ∈Tξ∗(t 1)S1. Do Tξ
∗(t1)S1 là một khụng gian con nờn λ∗(t1) trực giao vớiTξ
∗(τ)S1. Đõy chớnh là điều kiện hoành tại thời điểm cuối. Do
b
Φ (à∗,xb0, t0, t1)Tb
b
x0S0⊂Kb(à∗,xb0, t0, t1),
nờn lập luận tương tự chỉ ra rằngλ∗(t1)là trực giao vớiΦ (à∗, x0, t0, t1) Tx
0S0
. Theo Mệnh đề 2.2.13, λ∗(t0) trực giao vớiTx0S0. Đõy là điều kiện hoành tại thời điểm ban đầu.