2 Nguyờn lý cực đại Pontriagin trong lý thuyết điều khiển tối ưu
2.2.1. Phương trỡnh biến phõn và phương trỡnh liờn hợp
Như chỳng ta thấy trong phần 2.1 để chứng minh cỏc điều kiện cần trong phộp tớnh biến phõn, chỳng ta phải biến thiờn quỹ đạo và đo ảnh hưởng của nú theo một vài cỏch. Đối với cỏc hệ điều khiển, một cụng cụ hữu ớch để thực hiện cỏc phộp đo đú là phương trỡnh biến phõn. Điều này được thực hiện thụng qua phần bự trực giao là phương trỡnh liờn hợp.
Định nghĩa 2.2.1(Phương trỡnh biến phõn, phương trỡnh liờn hợp). ChoΣ = (X, f, U)
là một hệ điều khiển và à:I →U là một điều khiển chấp nhận được.
(i) Phương trỡnh biến phõncủa Σ với điều khiểnà là phương trỡnh vi phõn
.
ξ(t) = f(ξ(t), à(t)),
.
v(t) =D1f(ξ(t), à(t)).v(t)
trờn XìRn.
(ii) Phương trỡnh liờn hợp của Σvới điều khiển àlà phương trỡnh vi phõn
.
ξ(t) = f(ξ(t), à(t)),
.
λ(t) = −D1fT (ξ(t), à(t)).λ(t)
trờn XìRn.
Lưu ý rằng nếu cố định điều khiển à:I →Rn thỡ phương trỡnh vi phõn
.
ξ(t) = f(ξ(t), à(t)) (2.1)
là một phương trỡnh vi phõn khụng autonom.
Định nghĩa 2.2.2 (Biến thiờn của quỹ đạo). Cho Σ = (X, f, U), x0 ∈ X, t0, t1 ∈ R
thỏa món t0 < t1 và à∈U(x0, t0,[t0, t1]). Biến thiờn của quỹ đạo ξ(à, x0, t0,ã) là một ỏnh xạ σ:J ì[t0, t1]→X sao cho:
1. J ⊂R là một khoảng sao cho0∈int(J),
2. σ(0, t) = ξ(à, x0, t0, t) với mỗit∈[t0, t1],
3. s7→σ(s, t)thuộc lớp C1 với mỗi t∈[t0, t1],
4. t7→σ(s, t) là một nghiệm của (2.1)
Với một biến thiờnσ củaξ(à, x0, t0,ã),biến phõntương ứng là ỏnh xạ δσ : [t0, t1]→
Rn xỏc định bởi δσ(t) = d ds s=0 σ(s, t).
Mệnh đề 2.2.11 (Biến phõn là cỏc nghiệm của phương trỡnh biến phõn và ngược lại). Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển, x0 ∈ X, t0, t1 ∈ R thỏa món t0 < t1 và
à∈U(x0, t0,[t0, t1]). Với một ỏnh xạ v : [t0, t1]→Rn cỏc mệnh đề sau là tương đương: (i) tồn tại một biến thiờn σ của ξ(à, x0, t0,ã) sao cho v =δσ
(ii) t7→(ξ(à, x0, t0, t), v(t)) thỏa món phương trỡnh biến phõn.
Hỡnh 2.1:Hỡnh trờn minh họa biến thiờn của quỹ đạo, hai hỡnh dưới minh họa biến thiờn ổn định (trỏi), khụng ổn định (phải)
Chứng minh. (i)⇒(ii)Giả sửσcú miền xỏc định làJì[t0, t1]và định nghĩaγ :J →X
bởi γ(s) =σ(s, t0). Khi đú ta cú σ(s, t) = ξ(à, γ(s), t0, t).
Do mỗi đường cong t7→σ(s, t)vàt 7→ξ(à, γ(s), t0, t)là một nghiệm của (2.1) với điều kiện đầu γ(s)tại thời điểm t0. Do đú:
v(t) =δσ(t) = d ds s=0 σ(s, t) = D2ξ(à, x0, t0, t).δσ(t0). Đặt ỏnh xạ tuyến tớnh Φ (t) :Rn →Rn bởi Φ (t).w =D2ξ(à, x0, t0, t).w Chỳ ý rằng D4ξ(à, x0, t0, t) = f(ξ(à, x0, t0, t), à(t)) nờn theo cụng thức tớnh đạo hàm của hàm hợp ta cú: D4D2ξ(à, x0, t0, t) = D1f(ξ(à, x0, t0, t), à(t))◦D2ξ(à, x0, t0, t) =D1f(ξ(à, x0, t0, t), à(t))◦Φ (t).
Do vậy Φ thỏa món bài toỏn giỏ trị đầu đối với phương trỡnh vi phõn ma trận:
.
Φ (t) =D1f(ξ(à, x0, t0, t), à(t))◦Φ (t),
Φ (t0) =In.
Chứng tỏ v(t) = Φ (t).δσ(t0)là nghiệm của bài toỏn giỏ trị ban đầu vectơ:
.
v(t) =D1f(ξ(à, x0, t0, t), à(t))ãv(t), v(t0) = δσ(t0).
(ii) ⇒ (i) Cho s0 > 0, lấy J = [−s0, s0] và cho γ : J → X là một đường cong sao cho d ds s=0 γ(s) = v(t0).
Từ tớnh compac của J và tớnh liờn tục của nghiệm của (2.1), ta cú thể chọn s0 đủ nhỏ sao cho ξ(à, γ(s), t0,ã) xỏc định trờn đoạn[t0, t1] với mỗis∈J.
Khi đú, đặt σ(s, t) =ξ(à, γ(s), t0, t). Dễ thấy σ là một biến thiờn. Hơn nữa theo sự tớnh toỏn từ phần đầu ta cú δσ(t) =v(t).
Với τ, t ∈ [t0, t1] ta kớ hiệu Φ (à, x0, t0, τ, t) là nghiệm của bài toỏn giỏ trị đầu ma trận:
.
Φ (t) =D1f(ξ(à, x0, t0, t), à(t))◦Φ (t),
Φ (τ) =In
Về phương diện hỡnh học, Φ (à, x0, t0, τ, t) là một đẳng cấu từ khụng gian tiếp xỳc tại ξ(à, x0, t0, τ)đến khụng gian tiếp xỳc tại ξ(à, x0, t0, t), xem Hỡnh 2.2.
Hỡnh 2.2:Minh họa vềΦ(à, x0, t0, τ, t),trong đú ξ(à, x0, t0, .) được viết tắt là ξ.
của phương trỡnh vi phõn tuyến tớnh:
.
v(t) =D1f(ξ(à, x0, t0, t), à(t))ãv(t),
với điều kiện ban đầu v(t0) tại t0. Theo trực giỏc t 7→ Φ (à, x0, t0, t0, t)ãv chỉ ra cỏch mà dũng tuyến tớnh húa của phương trỡnh vi phõn (2.1) dịch chuyển vectơ v dọc theo quỹ đạo ξ(à, x0, t0,ã). Đõy là một loại dịch chuyển song song. Theo lý thuyết phương trỡnh vi phõn tuyến tớnh ta cú:
1. Φ (à, x0, t0, τ1, τ1) = In;
2. Φ (à, x0, t0, τ1, τ2) = Φ (à, x0, t0, τ2, τ1)−1;
3. Φ (à, x0, t0, τ1, τ2)◦Φ (à, x0, t0, τ0, τ1) = Φ (à, x0, t0, τ0, τ2).
Sự kết nối giữa phương trỡnh liờn hợp và hàm Hamilton cũng là vấn đề cần quan tõm. Cho một hệ điều khiển Σ = (X, f, U)ta cú hàm Hamilton HΣ(x, p, u) =hp, f(x, u)i.
Tớnh toỏn trực tiếp, ta cú
Mệnh đề 2.2.12(Sự giải thớch Hamilton của phương trỡnh liờn kết). ChoΣ = (X, f, U) là một hệ điều khiển à : I → U là một điều khiển chấp nhận được. Với cỏc ỏnh xạ
(i) Đường cong t 7→(ξ(t), λ(t)) thỏa món phương trỡnh liờn hợp; (ii) Đường cong t7→(ξ(t), λ(t))thỏa món phương trỡnh vi phõn
.
ξ(t) =D2HΣ(ξ(t), λ(t), à(t)),
.
λ(t) =−D1HΣ(ξ(t), λ(t), à(t)).
Cỏc phương trỡnh này được gọi là cỏc phương trỡnh Hamilton cho cỏc Hamilton phụ thuộc thời gian (t,(x, p))7→HΣ(x, p, à(t)).
Đặc tớnh hữu ớch nhất của phương trỡnh liờn hợp là mối quan hệ dưới đõy với phương trỡnh biến phõn.
Mệnh đề 2.2.13 (Tớnh chất của phương trỡnh liờn hợp). Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển, x0 ∈ X, t0, t1 ∈ R thỏa món t0 < t1 và à ∈ U(x0, t0,[t0, t1]). Nếu
v : [t0, t1] → Rn và λ : [t0, t1] → Rn là cỏc hàm sao cho t 7→ (ξ(à, x0, t0, t), v(t)) và
t 7→ (ξ(à, x0, t0, t), λ(t)) tương ứng thỏa món cỏc phương trỡnh liờn hợp và phương trỡnh biến phõn, thỡ: hλ(t), v(t)i=hλ(t0), v(t0)i với mọi t ∈[t0, t1]. Chứng minh. Viết tắtξ(t) = ξ(à, x0, t0, t). Ta cú d dthλ(t), v(t)i=Dλ. (t0), v(t0)E+ λ(t),v.(t) =− D1fT (ξ(t), à(t))ãλ(t), v(t)+hλ(t), D1f(ξ(t), à(t))ãv(t)i= 0
Do λvàv là liờn tục tuyệt đối nờnt7→ hλ(t), ξ(t)icũng liờn tục tuyệt đối. Từ đõy ta cú điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.1 (Siờu phẳng và cỏc phương trỡnh liờn hợp, phương trỡnh biến phõn).
Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển, x0 ∈ X, t0, t1 ∈ R thỏa món t0 < t1, và cho à ∈ U(x0, t0,[t0, t1]). Cho P0 ⊂ Rn là một khụng gian con với đối chiều 1 và
λ0 ∈ Rn\ {0} trực giao với P0. Với t ∈ [t0, t1], đặt Pt ⊂ Rn và λt ∈ Rn bởi Pt =
{v(t)|v : [t0, t1]→Rn } thỏa món phương trỡnh biến phõn với v(t0)∈ P0 và t7→λt là nghiệm của phương trỡnh liờn hợp với điều kiện ban đầu λ0. Khi đú λt trực giao với Pt
với mọi t ∈[t0, t1].
Do đú phương trỡnh liờn hợp mụ tả sự biến đổi của siờu phẳng dọc theo quỹ đạo
Cỏc nghiệm của phương trỡnh liờn hợp cũn cú thể được đặc trưng bởi cỏc nghiệm của phương trỡnh biến phõn như sau:
Mệnh đề 2.2.14 (Nghiệm của phương trỡnh liờn hợp). Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển, x0 ∈X, t0, t1 ∈R thỏa mónt0 < t1, choà∈U(x0, t0,[t0, t1]) vàτ ∈[t0, t1]. Nghiệm của bài toỏn giỏ trị ban đầu:
.
λ(t) =−D1fT (ξ(à, x0, t0, t), à(t))ãλ(t), λ(τ) =λτ
là t7→λ(t) = Φ (à, x0, t0, t, τ)T ãλτ.
Chứng minh. Giả sử t 7→ Ψ (à, x0, t0, τ, t) là nghiệm của bài toỏn giỏ trị ban đầu ma trận:
D5Ψ (à, x0, t0, τ, t) = −D1fT (ξ(à, x0, t0, t), à(t))ãΨ (à, x0, t0, τ, t),
Ψ (à, x0, t0, τ, τ) =In
sao cho nghiệm của bài toỏn giỏ trị đầu:
.
λ(t) = −D1f(ξ(à, x0, t0, t), à(t))ãλ(t), λ(τ) = λτ,
làt 7→Ψ (à, x0, t0, τ, t)ãλτ. Lấyvτ ∈Rn, khi đú theo Mệnh đề 4.1.3 ta cú:
hΨ (à, x0, t0, τ, t)ãλτ,Φ (à, x0, t0, τ, t)ãvτi=hλτ, vτi.
Do điều này đỳng với mọi λτ, vτ ∈Rn nờn:
Ψ (à, x0, t0, τ, t) = Φ (à, x0, t0, τ, t)T = Φ (à, x0, t0, t, τ)T.
và ta cú điều phải chứng minh.