2 Nguyờn lý cực đại Pontriagin trong lý thuyết điều khiển tối ưu
2.2.4.Biến phõn trờn khoảng tự do
Định nghĩa 2.2.5 (Biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do). ChoΣ = (X, f, U) là một hệ điều khiển,t0, t1 ∈R thỏa món t0 < t1, cho x0 ∈X vàà∈U(x0, t0,[t0, t1])
(i) Dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự dolà một cặp (Θ,Ψ), trong đú Θ =
{θ1, ..., θk}là dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định vàΨ = (τ, δτ)∈[t0, t1]ìR
thỏa món τ > τj, j ∈ {1, ..., k}.
(ii) Biến thiờn điều khiển của à gắn với dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do (Θ,Ψ) là ỏnh xạ (s, t)7→à(Θ,Ψ)(s, t)xỏc định bởi: à(Θ,Ψ)(s, t) = àθ(t), t∈[t0, τ], à(τ), t∈(τ, τ +sδτ], àΘ(t−sδτ), t∈(τ+sδτ, t1+sδτ]. khi δτ ≥0và bởi: à(Θ,Ψ)(s, t) = ( àθ(t), t∈[t0, τ +sδτ], àΘ(t−sδτ), t∈(τ +sδτ, t1+sδτ].
khi δτ <0. (Chỳ ý rằng miền xỏc định của à(Θ,Ψ)(s,ã) phụ thuộc vào s).
(iii)Biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do gắn với điều khiểnà, quỹ đạoξ(à, x0, t0,ã), thời gian t > τ, và dữ liệu kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do (Θ,Ψ) là phần
tửv(Θ,Ψ) ∈Rn định nghĩa bởi: v(Θ,Ψ)(t) = d ds s=0 ξ à(Θ,Ψ)(s,ã), x0, t0, t
, khi giới hạn tồn tại.
Hỡnh 2.4: Biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do với δτ >0.
Trong hỡnh 2.4 ta chỉ ra một biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do với δτ >0. Khi
δτ <0thỡ điểm mỳt bờn phải sẽ chuyển về bờn trỏi và khụng cú phần điều khiển trờn đoạn [τ+sδτ, τ].
Cũng như đối với biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định, ta chỉ ra rằng biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do cũng tồn tại với những giả thiết phự hợp của dữ kiện.
Mệnh đề 2.2.17 (Sự tồn tại của biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do). Cho Σ = (X, f, U)là một hệ điều khiểnt0, t1 ∈Rthỏa món t0 < t1, x0 ∈X, à∈U(x0, t0,[t0, t1]). Nếu (Θ,Ψ) là dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do với Θ = {θ1, ..., θk} và Ψ = (τ, δτ)sao cho τ1, ..., τk, τ ∈Leb (à, x0, t0, t) thỡ biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do v(Θ,Ψ)∈Rn tồn tại tại t > τ và xỏc định bởi:
v(Θ,Ψ)(t) = Φ (à, x0, t0, τ1, t)ãvθ1 +...+ Φ (à, x0, t0, τk, t)ãvθk
+δτΦ (à, x0, t0, τ1, t)ãf(ξ(à, x0, t0, τ), à(τ)).
Giống như biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định, tập cỏc biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do đối với phộp tổ hợp nún lồi. Để diễn tả điều đú, ta sử dụng cỏc kớ hiệu sau, cho (Θ,Ψ) là dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do vớiΘ ={θ1, ..., θk}và
Ψ = (τ, δτ)và cho λ={λ0, λ1, ..., λk} ⊂R≥0. Khi đú λ(Θ,Ψ) là dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do ({λ1θ1, ..., λkθk},(τ, λ0δτ)). Ta cú kết quả sau.
Hệ quả 2.4. (Tổ hợp nún lồi của cỏc biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do)
Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển t0, t1 ∈ R thỏa món t0 < t1, cho x0 ∈ X
và à ∈ U(x0, t0,[t0, t1]). Nếu (Θ,Ψ) là dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do với Θ = {θ1, ..., θk} và Ψ = (τ, δτ) sao cho τ1, ..., τk, τ ∈ Leb (à, x0, t0, t) và nếu
λ={λ0, λ1, ..., λk} ⊂R≥0 thỡ:
vλ(Θ,Ψ)(t) = λ1Φ (à, x0, t0, τ1, t).vθ1 +...+λkΦ (à, x0, t0, τk, t).vθ1
+λ0δτΦ (à, x0, t0, τk, t).f(ξ(à, x0, t0, τ), à(τ)).