2 Nguyờn lý cực đại Pontriagin trong lý thuyết điều khiển tối ưu
2.3.1. Nún tiếp xỳc trờn khoảng cố định
Trong Hệ quả 4.2 ta đó biết tập cỏc biến phõn nhọn trờn khoảng cố định tại một điểm Lebesgue của t7→f(ξ(à, x0, t0, t), à(t)) là một nún. Ta sẽ xột hợp của cỏc biến phõn nhọn trờn tất cả cỏc điểm Lebesgue.
Định nghĩa 2.3.2 (Nún tiếp xỳc trờn khoảng cố định). Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển, x0 ∈ X, t0, t1 ∈ R thỏa món t0 < t1, cho à ∈ U(x0, t0,[t0, t1]). Với t ∈ [t0, t1] ta kớ hiệu K(à, x0, t0, t) là bao đúng của bao nún lồi của tập hợp
∪ {Φ (à, x0, t0, τ, t).v|τ ∈Leb (à, x0, t0, t)}, v là một biến phõn nhọn trờn khoảng cố định tại τ.
Ta gọi K(à, x0, t0, t) lànún tiếp xỳc trờn khoảng cố định tại t.
Ta hỡnh dung nún tiếp xỳc trờn khoảng cố định là tập hợp cỏc hướng mà cỏc quỹ đạo của hệ sẽ xuất phỏt.
Định nghĩa 2.3.3 (Nún tiếp xỳc đơn hỡnh trờn khoảng cố định). Cho Σ = (X, f, U)
là một hệ điều khiển, x0 ∈X, t0, t1 ∈R thỏa món t0 < t1 và cho à∈U(x0, t0,[t0, t1]). (i) Dữ kiện nún tiếp xỳc r−đơn hỡnh trờn khoảng cố định là họ {θ1, ..., θτ} cỏc dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định sao cho:
(a) Θa={θa1, ..., θaka}, a∈ {1,2, ..., τ},
(b) θaj = (τaj, laj, ωaj), j ∈ {1, ..., ka}, a∈ {1, ..., r},
(c) cỏc thời điểm τaj, j ∈ {1, ..., ka}, a ∈ {1, ..., τ} phõn biệt và thuộc
Leb (à, x0, t0, t1),
(d) nếu vΘa(t), a∈ {1, ..., τ} là cỏc biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định gắn vớiΘa, a∈ {1, ..., r}tại thời điểmt > τaj, j ∈ {1, ..., ka}, a∈ {1, ..., r}thỡ bao nún lồi của{vΘ1, ..., vΘr} là một hỡnh nún r−đơn hỡnh.
(ii) Nún r−đơn hỡnhxỏc định bởi dữ kiện nún tiếp xỳc r−đơn hỡnh trờn khoảng cố định {Θ1, ....Θr} là một nún tiếp xỳcr−đơn hỡnh trờn khoảng cố định tại thời điểm t. Sự hữu ớch của nún tiếp xỳc đơn hỡnh trờn khoảng cố định dẫn ra từ kết quả dưới đõy.
Bổ đề 2.3.1 (Tớnh chất của nún tiếp xỳc đơn hỡnh trờn khoảng cố định). Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển x0 ∈ X, t0, t1 ∈ R thỏa món t0 < t1, cho
à ∈ U(x0, t0,[t0, t1]). Cho Θ = {Θ1, ....Θr} là dữ kiện nún tiếp xỳc r-đơn hỡnh trờn khoảng cố định, cho λ = {λ1, ..., λr} ⊂ R≥0,t > τaj, j ∈ {1, ..., ka}, a ∈ {1, ..., τ}. Kớ hiệuvΘa(t), a∈ {1, ..., r} là cỏc biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định tại thời điểmt. Khi đú, vớis0 ∈R>0 đủ nhỏ và với mỗis∈[0, s0]tồn tại một điều khiển àλΘ(s,ã)∈
U(x0, t0,[t0, t1]) sao cho: d ds s=0 ξ(àλ,Θ(s,ã), x0, t0, t) = λ1vΘ1(t) +...+λrvτ(t).
Chứng minh. Điều này suy ra từ Hệ quả 4.3 vỡ {θa,j|j ∈ {1, ..., ka}, a∈ {1, ..., r}} là một biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định, do cỏc thời điểm τaj, j ∈ {1, ..., ka}, a ∈ {1, ..., r} phõn biệt.
Vấn đề chớnh là tất cả cỏc hướng trong K(à, x0, t0, t) đều chứa trong cỏc nún tiếp xỳc đơn hỡnh trờn khoảng cố định được sinh bởi một biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định. Một điều khụng hiển nhiờn là tất cả cỏc điểm trong của K(à, x0, t0, t) đều cú tớnh chất này. Kết quả dưới đõy cho thấy điều đú, cựng với một đặc trưng hữu ớch khỏc của nún tiếp xỳc trờn khoảng cố định.
Bổ đề 2.3.2 (Cỏc đặc trưng của nún tiếp xỳc trờn khoảng cố định). Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển x0 ∈ X, t0, t1 ∈R thỏa món t0 < t1 và cho à∈U(x0, t0,[t0, t1]). Với một tập con C ⊂Rn và với t ∈[t0, t1] cỏc mệnh đề sau tương đương:
(i) C =K(à, x0, t0, t)
(ii) C là bao đúng của hợp của tập cỏc nún tiếp xỳc r - đơn hỡnh trờn khoảng cố định tại thời điểm t trong đú r = dim (K(à, x0, t0, t));
(iii) C = cl (S
{Φ (à, x0, t0, τ, t)ãK(à, x0, t0, t)|τ ∈Leb (à, x0, t0, t)}).