2 Nguyờn lý cực đại Pontriagin trong lý thuyết điều khiển tối ưu
2.3.2. Nún tiếp xỳc trờn khoảng tự do
Việc xõy dựng nún tiếp xỳc trờn khoảng tự do khỏc một chỳt so với nún tiếp xỳc trờn khoảng cố định. Vỡ ta bắt đầu với cỏc biến phõn đa nhọn.
Định nghĩa 2.3.4(Nún tiếp xỳc trờn khoảng tự do). ChoΣ = (X, f, U)là một hệ điều khiển x0 ∈X, t0, t1 ∈R thỏa món t0 < t1, vàà∈U(x0, t0,[t0, t1]). Với t ∈[t0, t1] ta kớ hiệuK±(à, x0, t0, t)là bao đúng của bao nún lồi của tập hợpS
{Φ (à, x0, t0, τ, t)ãv|τ ∈Leb (à, x0, t0, t), v},
v là một biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do tại τ.
Ta gọi K±(à, x0, t0, t)là nún tiếp xỳc trờn khoảng tự do tại t.
Để làm sỏng tỏ nghĩa của tiếp tuyến trờn khoảng tự do, ta sẽ tiến hành như theo trường hợp trờn khoảng cố định, và giới thiệu khỏi niệm nún tiếp xỳc đơn hỡnh.
Định nghĩa 2.3.5 (Nún tiếp xỳc đơn hỡnh trờn khoảng tự do). Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển, x0 ∈X, t0, t1 ∈R thỏa món t0 < t1 và à∈U(x0, t0,[t0, t1]).
(i)Dữ kiện nún tiếp xỳcr−đơn hỡnh trờn khoảng tự dolà một họ{(Θ1,Ψ1), ...,(Θr,Ψr)}
cỏc dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do sao cho:
(a) Θa={θa1, ..., θaka} và Ψa= (τa, δτa), a∈ {1, ..., r} trong đú (b) θaj = (τaj, laj, ωaj), j ∈ {1, ..., ka}, a∈ {1, ..., r} với
(c) cỏc thời điểm τa, a ∈ {1, ..., r}, τaj, j ∈ {1, ..., ka}, a ∈ {1, ..., τ} phõn biệt và thuộc Leb (à, x0, t0, t1);
(d) Nếuv(Θa,Ψa)(t), a∈ {1, ..., r}là cỏc biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do gắn với (Θa,Ψa), a ∈ {1, ..., τ} tại thời điểm t > τaj, j ∈ {1, ..., ka}, a ∈ {1, ..., r}
thỡ bao nún lồi của v(Θ1,Ψ1)(t), ..., v(Θr,Ψr)(t) là một hỡnh nún r-đơn hỡnh.
(ii) Nún r−đơn hỡnh xỏc định bởi dữ kiện nún tiếp xỳc r−đơn hỡnh trờn khoảng tự do{(Θ1,Ψ1), ...,(Θr,Ψr)}là một nún tiếp xỳc r−đơn hỡnh trờn khoảng tự do tại thời điểm t.
Kết quả dưới đõy cho thấy tầm quan trọng của cỏc nún tiếp xỳc r-đơn hỡnh trờn khoảng tự do.
Bổ đề 2.3.3 (Tớnh chất của nún tiếp xỳc r−đơn hỡnh trờn khoảng tự do). Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển x0 ∈ X, t0, t1 ∈ R thỏa món t0 < t1 và à ∈
U(x0, t0,[t0, t1]). Cho (Θ,Ψ) = {(Θ1,Ψ1), ...,(Θr,Ψr)} là dữ kiện nún tiếp xỳc r-đơn hỡnh trờn khoảng tự do λ = (λ1, ..., λr) ⊂ R≥0 và t ∈ [t0, t1] thỏa món t > τa, a ∈ {1, ..., r} và t > τaj, j ∈ {1, ..., ka}, a ∈ {1, ..., r}. Kớ hiệu v(Θa,Ψa)(t), a ∈ {1, ..., r} dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng tự do tại thời điểm t.
Khi đú với s0 ∈ R>0 đủ nhỏ và với mỗi s ∈ [0, s0], tồn tại một điều khiển
d ds s=0 ξ àλ,(Θ,Ψ)(s,ã), x0, t0, t=λ1v(Θ1,Ψ1)(t) +...+λrv(Θ1,Ψ1)(t).
Bổ đề dưới đõy chỉ ra mối quan hệ giữa cỏc nún tiếp xỳc đơn hỡnh trờn khoảng tự do và nún tiếp xỳc trờn khoảng tự do cựng với cỏc đặc trưng hữu ớch khỏc của nún tiếp xỳc trờn khoảng tự do.
Bổ đề 2.3.4 (Cỏc đặc trưng của nún tiếp xỳc trờn khoảng tự do). Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển, x0 ∈X, t0, t1 ∈R thỏa món t0 < t1 và à∈U(x0, t0,[t0, t1]). Với một tập con C⊂Rn và t ∈[t0, t1], cỏc mệnh đề sau tương tương:
(i) C =K±(à, x0, t0, t) ;
(ii) C là bao đúng của hợp cỏc tập gồm cỏc nún tiếp xỳc r-đơn hỡnh trờn khoảng tự do tại thời điểm t trong đú r = dim (K±(à, x0, t0, t));
(iii) C = cl (S
{Φ (à, x0, t0, τ, t)ãK±(à, x0, t0, τ)|τ ∈Leb (à, x0, t0, t)}).