2 Nguyờn lý cực đại Pontriagin trong lý thuyết điều khiển tối ưu
2.2.3. Biến phõn đa nhọn
Bõy giờ chỳng ta mở rộng sự phõn tớch trong mục trước đú đối với những ảnh hưởng của cỏc biến phõn đa nhọn. Lý do cho điều này đơn giản là. Tập cỏc biến phõn nhọn trờn khoảng cố định tại một điểm Lebesgue là một nún (theo Hệ quả 2.2). Tuy nhiờn, núi chung tập đú khụng lồi, vỡ tập cỏc điều khiển U cú thể khụng lồi. Để sinh ra một tập lồi cỏc biến phõn từ cỏc biến phõn nhọn chỳng ta cho phộp nhiều lần biến phõn nhọn biến đổi.
Định nghĩa 2.2.4 (Biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định). Giả sử P
= (X, f, U)
là một hệ điều khiển, giả sử t0, t1 ∈R, x0 ∈X và à∈U(x0, t0,[t0, t1])
(i) Dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định là một họ Θ = {θ1, ..., θk} cỏc dữ kiện biến phõn nhọn trờn khoảng cố định θj ={τj, lj, ωj}, j ∈ {1, ..., k}sao cho cỏc thời điểm τ1, ..., τk là phõn biệt.
(ii) Biến thiờn điều khiển của à gắn với dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định Θ ={θ1, ..., θk}là ỏnh xạ àΘ:Jì[t0, t1]→U xỏc định bởi:
àΘ(s, t) =
(
ωj, t ∈[τj −slj, τj], j ∈ {1, ..., k}
à(t), t /∈[τj −slj, τj], j ∈ {1, ..., k},
khiển chấp nhận được xỏc định với mỗi s∈J.
(iii)Biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định gắn với điều khiểnà, quỹ đạoξ(à, x0, t0,ã), thời gian t ∈ [t0, t1], t > τj, j ∈ {1, ..., k}, và dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố địnhΘ = {θ1, ..., θk} là phần tử vΘ(t)∈Rn xỏc định bởi: vΘ(t) = d ds s=0
ξ(àΘ(s,ã), x0, t0, t), khi giới hạn tồn tại.
í tưởng ở đõy khụng khỏc nhiều so với trong Định nghĩa 2.2.3 ngoại trừ trường hợp chỳng ta thực hiện cựng một kiểu xõy dựng tại nhiều thời điểm. Kết quả sau cho ta điều kiện đủ để tồn tại biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định.
Mệnh đề 2.2.16 (Sự tồn tại của biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định). Giả sử Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển, t0, t1 ∈ R thỏa món t0 < t1, x0 ∈ X và
à∈U(x0, t0,[t0, t1]). Nếu Θ ={θ1, ..., θk} là dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định sao cho τ1, ..., τk∈Leb(à, x0, t0, t)với τj < t, j ∈ {1, ..., k}, thỡ biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định vΘ(t)∈Rn tồn tại và được cho bởi:
vΘ(t) = Φ(à, x0, t0, τ1, t)ãvθ1+...+ Φ(à, x0, t0, τk, t)ãvθk.
Một trong những sự quan sỏt quan trọng đối với biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định liờn quan tới tổ hợp lồi. Để làm điều đú, ta đưa vào kớ hiệu sau:
Nếu Θ = {θ1, ..., θk} là dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định và λ =
{λ1, ..., λk} ⊂R≥0 thỡ ta kớ hiệu λΘ ={λ1θ1, ..., λkθk}, trong đúλ1θ1 là kớ hiệu sau Hệ quả 2.2.
Hệ quả 2.3 (Tổ hợp nún lồi của cỏc biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định). Giả sử Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển, giả sử t0, t1 ∈ R thỏa món t0 < t1, x0 ∈ X và
à ∈ U(x0, t0,[t0, t1]). Nếu Θ = {θ1, ..., θk} là dữ kiện biến phõn đa nhọn trờn khoảng cố định sao cho τ1, ..., τk ∈ Leb(à, x0, t0, t) với τj < t, j ∈ {1, ..., k}, và nếu λ =
{λ1, ..., λk} ⊂R≥0 thỡ vλΘ(t) =λ1Φ(à, x0, t0, τ1, t)ãvθ1 +...+λkΦ(à, x0, t0, τk, t)ãvθk.
Hơn nữa, nếu
k P j=1 λj = 1,thỡ giới hạn d ds s=0
Chỳ ý 5 (Tại sao dựng biến phõn nhọn?). Ta đó thảo luận một chỳt về biến phõn nhọn. Nhưng vấn đề là ở chỗ tại sao nú lại hữu ớch. Núi chung cỏc biến thiờn cho chỳng ta một cỏch quan sỏt cỏc quỹ đạo gần với một quỹ đạo cho trước. Biến phõn nhọn thực hiện điều này theo một cỏch đặc biệt. Nú tỏch cỏc ảnh hưởng của sự thay đổi điều khiển do cỏc giỏ trị khụng đỏng kể với cỏc ảnh hưởng do cỏc giỏ trị khỏc. Khỏi niệm biến phõn đa nhọn sẽ mó húa cỏc ảnh hưởng đú tại cỏc thời điểm khỏc nhau. Cụ thể, biến phõn đa nhọn biểu thị ảnh hưởng tại một thời điểm t đó cho do sự thay đổi tức thời giỏ trị của điều khiển quanh hầu hết cỏc thời điểm (đặc biệt là cỏc điểm Lebesgue) trước t.