Định nghĩa 1.4.4 (Hàm Lagrange, hàm mục tiờu). Cho Σ = (X, f, U)là một hệ điều khiển.
i) Hàm Lagrange cho Σ là một ỏnh xạ L :Xìcl (U) → R liờn tục sao cho tương ứng x7→L(x, u) thuộc lớp C1 với mỗiu∈cl (U).
ii) Nếu L là một hàm Lagrange thỡ (ξ, à) ∈ Ctraj (Σ) là L- chấp nhận được nếu hàm t7→L(ξ(t), à(t))khả tớch trờn I, với I là khoảng thời gian của (ξ, à).
Tập hợp cỏc quỹ đạo được điều khiển (cỏc cung được điều khiển) L- chấp nhận được củaΣ được ký hiệu là Ctraj (Σ, L),(Carc (Σ, L)).
(iii) Nếu L là một hàm Lagrange thỡ hàm mục tiờu tương ứng là ỏnh xạ JΣ,L :
Ctraj(Σ)→R xỏc định bởi:
JΣ,L(ξ, à) =RIL(ξ(t), à(t)) dt,
và quy ước rằng JΣ,L(ξ, à) = ∞nếu (ξ, à) khụng là L- chấp nhận được.
Chỳng ta sẽ cố gắng cực tiểu húa hàm mục tiờu trờn một vài tập cỏc quỹ đạo được điều khiển, đặc biệt là cỏc quỹ đạo được điều khiển từ một tập con S0 của X đến một tập con khỏcS1 của X. Bõy giờ ta xỏc định chớnh xỏc cỏc bài toỏn chỳng ta sẽ nghiờn cứu. Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển,L là một hàm Lagrange, S0 và S1 là cỏc tập con của X. Kớ hiệu Carc (Σ, L, S0, S1) ⊂ Carc (Σ) là tập hợp cỏc cung được điều khiển cú cỏc tớnh chất sau:
1. Nếu (ξ, à) ∈Carc (Σ, L, S0, S1) thỡ (ξ, à) được định nghĩa trờn khoảng thời gian cú dạng [t0, t1]với t0, t1 ∈R thỏa món t0 < t1;
2. Nếu (ξ, à)∈Carc (Σ, L, S0, S1)thỡ (ξ, à)∈Carc(Σ, L);
3. Nếu (ξ, à)∈Carc (Σ, L, S0, S1)xỏc định trờn khoảng thời gian [t0, t1] thỡ
ξ(t0)∈S0 và ξ(t1)∈S1.
Bài toỏn 1. (Bài toỏn điều khiển tối ưu trờn khoảng tự do)
Cho Σ = (X, f, U)là một hệ điều khiển, L là một hàm Lagrange của Σvà S0, S1 ⊂
X. Quỹ đạo được điều khiển (ξ∗, à∗) ∈ Carc (Σ, L, S0, S1) được gọi là nghiệm của bài toỏn điều khiển tối ưu trờn khoảng tự do đối với Σ, L, S0, và S1 nếu JΣ,L(ξ∗, à∗) ≤
JΣ,L(ξ, à) với mỗi (ξ, à) ∈ Carc (Σ, L, S0, S1). Hóy tỡm điều kiện cần cho nghiệm (x∗, à∗).
Tập hợp cỏc nghiệm của bài toỏn này được kớ hiệu là P(Σ, L, S0, S1).
Cho t0, t1 ∈ R thỏa món t0 < t1, chỳng ta kớ hiệu Carc (Σ, L, S0, S1,[t0, t1]) là tập con củaCarc (Σ, L, S0, S1) bao gồm cỏc cung được điều khiển trờn [t0, t1].
Bài toỏn 2. (Bài toỏn điều khiển tối ưu trờn khoảng cố định)
Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển L là một hàm Lagrange của Σ, S0, S1 ⊂X
và t0, t1 ∈R thỏa món t0 < t1.
Một quỹ đạo được điều khiển (ξ∗, à∗) ∈ Carc (Σ, L, S0, S1,[t0, t1]) được gọi là một nghiệm của bài toỏn điều khiển tối ưu trờn khoảng cố định đối với Σ, L, S0 và S1 nếu
JΣ,L(ξ∗, à∗)≤JΣ,L(ξ, à) cho mỗi (ξ, à)∈Carc (Σ, L, S0, S1,[t0, t1]). Hóy tỡm điều kiện cần cho nghiệm (x∗, à∗).
Tập hợp cỏc nghiệm của bài toỏn này được kớ hiệu là P(Σ, L, S0, S1,[t0, t1]). Để đưa ra cỏc điều kiện cần đối với nghiệm của bài toỏn điều khiển tối ưu, chỳng ta cần tới cỏc nguyờn lý cực trị. Cỏc nguyờn lý cực trị khụng giải bài toỏn mà đưa ra những hạn chế mà cỏc nghiệm chấp nhận được phải thỏa món nếu muốn là nghiệm của bài toỏn đú.
Vớ dụ 1.4.3 (Về bài toỏn điều khiển tối ưu).
1. Trường hợp hàm Lagrange L(x, u) = 1, khi đú hàm mục tiờu chớnh là khoảng thời gian I của quỹ đạo nờn bài toỏn điều khiển tối ưu lỳc này được gọi là bài toỏn điều khiển tối ưu thời gian.
2. Xột hệ điều khiển tối ưu tuyến tớnh Σ = (A, B,Rm)với hàm Lagrange
LQ,R(x, u) = 1
2Q(x, x) + 1
2R(u, u), (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
trong đú Q là một dạng song tuyến tớnh đối xứng trong khụng gian trạng thỏi
Rn, R là một dạng song tuyến tớnh xỏc định dương đối xứng trong khụng gian điều khiểnRm.Bài toỏn điều khiển tối ưu này được gọi làbài toỏn điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tớnh.