6. Cấu trúc luận văn
2.1. Hệ thống bài tập về toán chuyển động nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp
2.1. Hệ thống bài tập về toán chuyển động nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 lớp 5
Toán chuyển động là dạng toán rất phong phú và đa dạng. Trong các sách tham khảo, tài liệu bồi giỏi, các tác giả phân chia thành các dạng toán khác nhau. Sự phân chia này chỉ mang tính tương đối. Trên thực tế tùy thuộc vào thời lượng bồi dưỡng và năng lực thực tế của học sinh mà giáo viên phân chia thành các dạng phù hợp nhằm tạo điều kiện thuận lợi nhất giúp các em luyện tập trên lớp cũng như ở nhà. Các bài tập được sắp xếp theo từng dạng toán, trong mỗi dạng toán đó lại được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó. Có thể chia các bài toán chuyển động đều ở lớp 5 thành các dạng sau:
- Các bài toán chỉ có một chuyển động tham gia. - Các bái toán có hai chuyển động cùng chiều. - Các bài toán có hai chuyển động ngược chiều. - Các bài toán về vật chuyển động trên dòng nước. - Các bài toán về vật chuyển động có chiều dài đáng kể. 2.1.1. Các bài toán chỉ có một chuyển động tham gia
Các đại lượng và công thức thường dùng trong tính toán
- Vận tốc, kí hiệu là v. Đơn vị đo thường dùng: km/giờ hoặc m/phút hoặc km/phút hoặc m/giây.
- Quãng đường, kí hiệu là s. Đơn vị đo thường dùng: mét (m) hoặc ki- lô-mét (km).
40 - Các công thức cơ bản:
+ Vận tốc = quãng đường : thời gian v = s : t + Quãng đường = vận tốc x thời gian
s = v x t + Thời gian = quãng đường : vận tốc t = s : v
Lưu ý:
- Trong mỗi công thức trên, các đại lượng phải sử dụng cùng một hệ thống đơn vị đo.
- Với cùng vận tốc thì quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian. - Trong cùng thời gian thì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc.
- Trên cùng quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Phương pháp giải thường dùng
Những bài tập này thường xoay quanh yêu cầu tìm một trong ba đại lượng (thời gian, quãng đường hoặc vận tốc). Tuy nhiên với những bài tập khó thì không phải lúc nào cũng xuất hiện đầy đủ hai đại lượng, yêu cầu tìm đại lượng còn lại mà chúng thường ẩn đi dưới một mối quan hệ khác. Vì vậy, các em không thể áp dụng công thức một cách trực tiếp để tìm ra đại lượng còn thiếu mà cần phải giải một bài toán phụ để từ đó tìm ra câu trả lời của bài toán.
Ví dụ:
+ Tính quãng đường khi biết vận tốc và phải giải bài toán phụ để tìm thời gian.
+ Tính quãng đường khi biết thời gian phải giải bài toán phụ để tìm vận tốc.
41
+ Tính quãng đường khi phải giải bài toán phụ để tìm thời gian và vận tốc.
Ở một số bài tập, đại lượng quãng đường cần sử dụng để tìm đại lượng khác nhưng đại lượng quãng đường cũng không cho biết cụ thể. Đối với những bài tập này ta có thể xét quãng đường vật chuyển động trên một đoạn đường nào đó, chẳng hạn là 1km.
Khi giải các bài toán này ta có thể sử dụng nhiều phương pháp giải toán, có thể kể tới một số phương pháp điển hình như:
+ Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng. + Phương pháp rút về đơn vị. + Phương pháp tỉ số.
+ Phương pháp suy luận lôgic.
Bài tập
Bài 1: Một người phải đi 95 km bằng xe lửa, ô tô và đi bộ. Lúc đầu
người ấy đi xe lửa trong 2 giờ với vận tốc 35 km/giờ, sau đó đi ô tô trong 30 phút với vận tốc 44 km/giờ. Hỏi người ấy còn phải đi bộ bao nhiêu ki-lô-mét nữa mới đến nơi?
Giải Quãng đường người ấy đi xe lửa là:
35 x 2 = 70 (km). Quãng đường người ấy đi ô tô là:
(44 x 30) : 60 = 22 (km). Quãng đường người ấy đi xe lửa và ôtô là:
70 + 22 = 92 (km). Quãng đường người ấy đi bộ:
95 – 92 = 3 (km).
42
Bài 2: Mỗi buổi sáng Huy đi từ nhà lúc 6 giờ 30 phút thì đến trường
lúc 7 giờ kém 55 phút. Sáng nay Huy đi khỏi nhà được 250m thì phải quay lại lấy mũ đội đầu, vì thế bạn đến trường lúc 7 giờ 5 phút. Hỏi vận tốc trung bình Huy đi đến trường là bao nhiêu? (Thời gian vào nhà lấy mũ không đáng kể).
Giải
Đổi: 7 giờ kém 5 phút = 6 giờ 55 phút.
Thời gian Huy đi đến trường sáng nay muộn hơn mọi ngày là: 7 giờ 5 phút – 6 giờ 55 phút = 10 phút.
Do đi được 250m Huy quay trở lại nên quãng đường sáng nay Huy đi nhiều hơn mọi ngày là:
250 x 2 = 500 (m).
10 phút chính là thời gian Huy đi quãng đường 500m. Vậy vận tốc trung bình Huy đi đến trường là:
500 : 10 = 50 (m/phút).
Đáp số: 50 m/phút.
Bài 3: Một ô tô dự định chạy từ tỉnh A đến tỉnh B lúc 16 giờ.
- Nếu chạy với vận tốc 60 km/giờ thì ô tô sẽ đến B lúc 15 giờ. - Nếu chạy với vận tốc 40 km/giờ thì ô tô sẽ đến B lúc 17 giờ. Hỏi ô tô phải chạy với vận tốc bao nhiêu để đến B đúng 16 giờ?
Giải
Cách 1:
Với vận tốc 60 km/giờ thì ô tô đi 1 km hết 1 phút.
Với vận tốc 40 km/giờ thì ô tô đi 1 km hết 1 phút 30 giây. 250 m
43
So với khi chạy với vận tốc 60 km/giờ thì ô tô chạy với vận tốc 40 km/giờ sẽ đến B chậm hơn 17 -15 = 2 (giờ), tức 7 200 giây.
Cứ chạy 1 km với vận tốc 40 km/giờ sẽ chậm hơn khi chạy với vận tốc 60 km/giờ là:
1 phút 30 giây – 1 phút = 30 giây. Do đó quãng đường AB dài là:
7 200 : 30 = 240 (km).
Thời gian ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 60 km/giờ là: 240 : 5 = 48 (km/giờ).
Đáp số: 48 km/giờ.
Cách 2:
Nếu chạy với vận tốc 40 km/giờ thì trong 1 giờ ô tô sẽ chạy được ít hơn 20 km so với khi chạy với vận tốc 60 km/giờ. Lúc đó ô tô sẽ đến B muộn hơn 2 giờ. Hai giờ này ứng với quãng đường:
40 x 2 = 80 (km).
Cứ mỗi giờ chạy ít hơn 20 km, vậy để có thể chạy ít hơn 80 km, ô tô phải tốn hết:
80 : 20 = 4 (giờ).
Ô tô chạy với vận tốc 60 km/giờ trong 4 giờ thì tới B, vậy quãng đường AB là:
60 x 4 = 240 (km). Thời gian quy định để chạy từ A đến B là:
4 = 1 = 5 (giờ). Vậy vận tốc phải tìm là:
240 : 5 = 48 (km/giờ).
44
Bài 4: Một ô tô phải chạy từ A đến B. Sau khi chạy được 1 giờ thì ô tô
giảm vận tốc chỉ còn bằng 5 3
vận tốc ban đầu, vì thế ô tô đến B chậm mất 2 giờ. Nếu từ A, sau khi chạy được 1 giờ, ô tô chạy thêm 50 km nữa rồi mới giảm vận tốc thì ô tô đến B chỉ chậm 1 giờ 20 phút. Tính quãng đường AB.
Giải
Nhận xét: Trên cùng một quãng đường thì thời gian và vận tốc là hai
đại lượng tỉ lệ nghịch. Giả sử vận tốc lúc đầu là 5 phần thì vận tốc lúc sau chỉ là 3 phần. Do đó nếu đi với vận tốc ban đầu hết một khoảng thời gian là 3 phần thì khi đi với vận tốc lúc sau hết một khoảng thời gian là 5 phần.
Cách 1:
Giả sử sau một giờ ô tô chạy tới C.
- Nếu thời gian đi trên đoạn đường CB theo vận tốc ban đầu là 3 phần thì thời gian đi trên đoạn đường CB theo vận tốc đã giảm là 5 phần.
Hai phần nhiều hơn ứng với 2 giờ. Vậy 1 phần là một giờ, suy ra thời gian đi trên đoạn CB với vận tốc ban đầu là 3 giờ.
- Nếu thời gian đi trên đoạn đường DB theo vận tốc ban đầu là 3 phần thì thời gian đi trên đoạn DB theo vận tốc đã giảm là 5 phần.
Hai phần nhiều hơn ứng với 1 giờ 20 phút. Vậy thời gian đi trên đoạn DB với vận tốc ban đầu là:
(1 giờ 20 phút x 3) : 2 = 2 giờ. Vậy thời gian đi đoạn CD với vận tốc ban đầu là:
3 giờ - 2 giờ = 1 giờ. 50 km
45
Suy ra vận tốc ban đầu là 50 km/giờ còn quãng đường AB dài: 50 x (3 + 1) = 200 (km).
Đáp số: 200 km.
Cách 2:
Nếu từ C đi thêm 50 km rồi mới giảm vận tốc thì thời gian đến B sớm được:
2 giờ - 1 giờ 20 phút = 40 phút = 3 2
giờ.
Muốn đến sớm được 2 giờ (để đến B đúng thời gian đã định) thì từ C cần đi thêm:
(2 x 50) : 3 2
= 150 (km). Vậy đoạn đường CB dài 150 km.
Vì từ C đã giảm vận tốc nên đúng vào thời gian đã định ô tô mới chỉ chạy được: 150 x 5 3 = 90 (km). Lúc đó ô tô còn cách B một khoảng là: 150 – 90 = 60 (km).
Do đó vận tốc đã giảm khi chạy trên quãng đường CB là: 60 : 2 = 30 (km/giờ).
Vậy vận tốc ban đầu là 50 km/giờ. Suy ra quãng đường AB dài:
50 + 150 = 200 (km).
Đáp số: 200 km.
Bài 5: Sau một ngày đêm một con mối có thể gặm thủng lớp giấy dày
46
cm, còn mỗi bìa cứng dày 2 mm. Hỏi sau thời gian bao lâu thì con mối có thể đục xuyên từ trang đầu của tập I đến trang cuối của tập II ?
Giải Đổi: 4 cm = 40 mm.
Để xâm nhập vào trang đầu của tập I con mối phải đục xuyên qua bìa 1 của tập I. Sau đó con mối phải đục xuyên qua lớp giấy và bìa 2 của tập I rồi đến bìa 1 của tập II rồi lớp giấy của tập II.
Vậy con mối phải đục xuyên qua 3 bìa cứng và 2 lớp giấy, tất cả dày: 3 x 2 + 2 x 40 = 86 (mm).
Thời gian để mối đục xuyên qua 86 mm giấy và bìa là: 86 : 0,8 = 107,5 (ngày).
Hay 107 ngày 12 giờ.
Đáp số: 107 ngày 12 giờ.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Lúc 6 giờ 5 phút mẹ tôi đi từ nhà ra ga, đường dài 6 km. Đi được nửa đường thì sực nhớ ra đã để quên giấy chứng minh nhân dân ở nhà, mẹ tôi quay lại lấy và tới ga lúc 8 giờ 45 phút. Tính vận tốc đi bộ của mẹ tôi?
Đáp số: 4,5 km/giờ.
Bài 2: Một người đi từ A đến B sau khi đi được 2100 m người đó tính rằng: “Ta đã đi hết 36 phút. Nếu cứ giữ tốc độ này thì đến B sẽ muộn 40 phút so với dự tính. Mà ta lại cần đến B sớm hơn dự định 5 phút. Vậy bây giờ ta phải đi với vận tốc 5 km/giờ”. Tính quãng đường từ A đến B, biết rằng người đó đã tính đúng.
Đáp số: 10,85 km.
Bài 3: Hai thành phố X và Y cách nhau 120 km. Lúc 6 giờ sáng một người đi xe máy từ thành phố X với vận tốc 40 km/giờ. Đi được 1 giờ 45 phút
47
người đó nghỉ 15 phút rồi lại tiếp tục đi về thành phố B với vận tốc 30 km/giờ. Hỏi người đó đến thành phố B lúc mấy giờ?
Đáp số: 9 giờ 40 phút.
Bài 4: Một người đi từ A qua B, C để đến D. Quãng đường AB bằng 2 1
quãng đường BC và gấp 3 lần quãng đường CD. Người đó đi quãng đường AB với vận tốc 60 km/giờ, đi quãng đường BC với vận tốc 40 km/giờ, đi quãng đường CD với vận tốc 48 km/giờ. Hỏi người đó đi từ A đến D với vận tốc trung bình là bao nhiêu ki-lô-mét trên giờ?
Đáp số: 10 km/giờ.
Bài 5: Sáng nay, ông Minh phải đi họp. Ông dự định đi từ nhà đến địa điểm họp trong một thời gian nhất định, ông đi xe đạp với vận tốc 12,5 km/giờ. Đi được 5 km, ông gặp bạn cùng xóm đi xe máy về nhà. Sợ muộn giờ nên ông Minh đổi xe cho bạn và đi xe máy với vận tốc 37,5 km/giờ. Ông Minh đến địa điểm họp sớm hơn dự định 40 phút. Tính quãng đường từ nhà ông Minh đến địa điểm họp.
Đáp số: 17,5 km.
2.1.2. Các bài toán có hai chuyển động ngược chiều
Các kiến thức cần cung cấp cho học sinh
- Hai vật có khoảng cách AB, chuyển động ngược chiều nhau và cùng xuất phát thì thời gian để chúng gặp nhau được tính như sau:
Thời gian = khoảng cách : tổng hai vận tốc t = s : (v1 + v2)
- Hai vật có khoảng cách AB, chuyển động ngược chiều và cùng xuất phát thì tổng hai vận tốc được tính như sau:
Tổng hai vận tốc = khoảng cách : thời gian (v1 + v2) = s : t
48
- Hai vật có khoảng cách AB, chuyển động ngược chiều và cùng xuất phát thì khoảng cách được tính như sau:
Khoảng cách = tổng hai vận tốc x thời gian s = (v1 + v2) x t
Phương pháp giải thường dùng
Dù là toán chuyển động nhưng các bài toán dạng này còn chứa đựng nội dung của nhiều loại toán điển hình như: tìm hai số khi biết tổng và hiệu tìm hai số khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ; trung bình cộng của hai số. Do đó khi dạy dạng toán này giáo viên nên cố gắng giúp học sinh nhận diện dạng toán để đưa về cách giải quen thuộc của bài toán điển hình.
Đối với dạng toán này ta thường áp dụng các phương pháp giải sau: + Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
+ Phương pháp tỉ số.
+ Phương pháp rút về đơn vị. + Phương pháp giả thiết tạm.
Bài tập
Bài 1: Hai của hàng A và cửa hàng B cánh nhau 54 km. Nếu cùng một
lúc Xuân đi từ cửa hàng A, Thu đi từ của hàng B ngược chiều nhau thì sau 3 giờ sẽ gặp nhau. Tìm vận tốc của mỗi bạn, biết mỗi giờ Xuân đi nhanh hơn Thu 6 km.
Giải Trong 1 giờ cả hai bạn đi được:
54 : 3 = 18 (km). Vận tốc của Thu là: (18 – 6) : 2 = 6 (km/giờ). Vận tốc của Xuân là: 6 + 6 = 12 (km/giờ). Đáp số: 6 km/giờ; 12km/giờ.
49
Bài 2: Hai địa điểm A và B cách nhau 186 km. Lúc 6 giờ một người đi
xe máy từ A với vận tốc 30 km/giờ về B. Lúc 7 giờ một người khác đi xe máy từ B với vận tốc 35 km/giờ về A. Hỏi lúc mấy giờ thì hai người gặp nhau vàchỗ gặp nhau cách A bao xa?
Giải
Cách 1:
Khi người thứ hai xuất phát thì người thứ nhất đã đi trong khoảng thời gian là:
7 – 6 = 1 (giờ).
Khi người thứ hai xuất phát thì người thứ nhất cách B là: 186 – 30 x 1 = 156 (km).
Thời gian để người thứ hai đi đến chỗ gặp nhau là: 156 : (30 + 35) = 2 5 2 (giờ). 2 5 2 giờ = 2 giờ 24 phút. Thời điểm hai người gặp nhau là:
7 giờ + 2 giờ 24 phút = 9 giờ 24 phút. Quãng đường từ A đến chỗ gặp nhau là:
30 + 30 x 2 5 2 = 102 (km). Đáp số: 9 giờ 24 phút; 102 km. 30 km 156 km A B C
50
Cách 2:
Tỉ số vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai là: 30 : 35 =
7 6
Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có sơ đồ sau:
Quãng đường từ C đến chỗ gặp nhau là: Quãng đường từ B đến chỗ gặp nhau:
Quãng đường từ B đến chỗ gặp nhau là:
156 : (6 + 7) x 7 = 84 (km). Thời gian để người thứ hai đi đến chỗ gặp nhau là:
84 : 35 = 2 5 2 (giờ). 2 5 2 giờ = 2 giờ 24 phút Thời điểm hai người gặp nhau là:
7 giờ + 2 giờ 24 phút = 9 giờ 24 phút. Chỗ gặp nhau cách A là:
186 – 84 = 102 (km).
Đáp số: 9 giờ 24 phút; 102 km.
Bài 3: Một người đi bộ khởi hành từ xã A lúc 8 giờ 45 phút đi đến xã
B, quãng đường dài 24 km, vận tốc 4 km/giờ. Ngày hôm sau, lúc 10 giờ 15