Thực nghiệm được tiến hành trên 102 HS của lớp 10I ở trường THCS – THPT Đinh Thiện Lý (ĐTL), quận 7; lớp 10/7 trường THPT Bùi Thị Xuân (BTX), quận 1 và lớp 10 chuyên Toán – Hóa – Sinh trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai (MK), quận 3, thành phố Hồ Chí Minh.
4.1. Kết quả câu 1
Có 13/90 bài không viết gì hoặc không ra được kết quả ở câu hỏi này. Ngoài ra, có một số bài làm mà HS không nháp gì ở phía sau, cũng như không sử dụng chiến lược tương tự ở những câu hỏi phía dưới nên chúng tôi chưa nhận định được các em này đã sử dụng chiến lược nào.
Bảng 4.7. Thống kê các chiến lược trong câu 1 ở lớp 10
91 984 1003
Chiến lược Số lượng Số lượng Số lượng ch 1 S - chia hết 0 36 0 dv 1 S - đơn vị 11 10 24 thu 1 S - thử 29 0 8 can 1 S - căn
Tổng số câu trả lời của HS có
thể phân chia theo chiến lược 40 46 32
Số HS thành công 73 67 58
Số HS trả lời mỗi câu hỏi và số HS thành công trong câu này cho thấy số 1003 gây khó khăn cho HS. Bảng 4.7 cũng cho thấy: chiến lược mà số đông HS lựa
chọn cho thấy ứng với mỗi số, HS sử dụng chiến lược khác nhau: đối với số 91, chỉ có chiến lược dv
1
S và thu 1
S được HS sử dụng. Trong khi đó, với số 984, hầu hết HS chọn chiến lược ch
1
S . Cuối cùng, với số 1003, những HS đã sử dụng dv 1
S với số 91 vẫn lựa chọn chiến lược này, còn trong 29 HS chọn chiến lược thu
1
S thì có 21 em cũng không thử đến ước 17 nên cuối cùng chọn dv
1 S .
Bên cạnh đó, chúng tôi cũng nhận thấy sự kết hợp giữa dv 1
S và ch 1
S với yêu cầu phân tích số 984 ra thừa số nguyên tố một số bài làm của HS: sau khi phân tích 984 thành 984 = 23. 123, có 10 HS dừng lại việc phân tích vì cho rằng 123 là số nguyên tố, chứng tỏ những HS này đang sử dụng cả chiến lược đơn vị trong câu này.
Số lượng chênh lệch giữa những bài làm chúng tôi có thể phân chia thành các chiến lược và số HS thành công ở mỗi câu nhỏ chính là số HS không sử dụng nháp cho câu này. Điều này chứng tỏ HS ở lớp 10 có thể tính toán trên máy tính, ghi nhớ dữ liệu và đọc kết quả trực tiếp từ đó mà không cần ghi chú lại trên nháp. Đặc biệt, ở số 91, số lượng HS không sử dụng nháp nhiều hơn so với số 984 và 1003. Theo ghi nhận của chúng tôi từ phần nháp sau bài làm của HS, những HS sử dụng nháp ở yêu cầu phân tích số 984 hầu hết đều làm theo dạng phân tích cột dọc hoặc bậc thang. Cộng với việc có nhiều HS phân tích đúng số 91, có thể nói, với đặc điểm cấu tạo chỉ có 2 chữ số cũng như 91 có ước nguyên tố là 7 đã tạo điều kiện rất thuận lợi cho HS khi thử các ước trên máy tính và do đó dễ dẫn đến thành công ở câu này mà HS không cần phải dùng đến nháp.
Ngoài những bài làm đúng thì cũng có một số bài làm sai của HS như sau: Số 01 – BTX phân tích số 984 thành: “ 3 2 . 3 41 984= ”. Các số trong bài làm này đều giống với các thừa số trong dạng phân tích, tuy nhiên kết quả cuối cùng của HS này lại sai.
Đặc biệt, bài số 25 – MK phân tích đúng số 91 nhưng lại cho 984 và 1003 là số nguyên tố. Đây là bài làm đầu tiên và duy nhất trong thực nghiệm của cả lớp 6 lẫn lớp 10 cho rằng 984 là số nguyên tố.
4.2. Kết quả câu 2
4.2.1. Kết quả câu 2a
Bảng 4.8. Thống kê các chiến lược trong câu 2a ở lớp 10 ƯCLN(18; 36)
Chiến lược Số lượng
lk 2 S - Liệt kê 36 chon 2 S - Chọn ước 5 pt 2 S - Phân tích 27 ps 2 S - Phân số 2 Eu 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
S - Thuật toán Euclide 0 ub
2
S - Quan hệ ước-bội 11 Số HS có kết quả đúng 81
Trong câu này, có 7 HS liệt kê cả số 0 vào các ước của 2 số: Bài số 23 – ĐTL; 17 – ĐTL; 13 – ĐTL; 06 – ĐTL; 18 – BTX, 17 – BTX; 11 – BTX.
Qua bảng 4.8 ở trên, số lượng HS chọn chiến lược liệt kê và phân tích ra thừa số nguyên tố có kết quả đúng chiếm số lượng nhiều hơn hẳn so với các chiến lược còn lại. Chiến lược liệt kê được HS lựa chọn nhiều nhất trong câu này. Tuy nhiên, trong 36 HS sử dụng 2
lk
S , có 9 HS liệt kê thiếu ước của cả 2 số nhưng có 7 HS trong số đó ra kết quả đúng vì các HS này đều có kể 18 trong tập hợp ước của cả hai số. Ngoài ra, có 4 HS liệt kê thiếu ước của 36 nhưng các ước của 18 vẫn đủ nên chúng tôi nhận định 4 HS này làm theo chiến lược chon
2
S - Chọn ước. Chúng tôi nhận thấy, ở câu này, HS còn sử dụng chiến lược 2
ub S và s 2 p S : có 11 em HS chọn 2 ub S và 2 em làm theo s 2 p
S . Tất cả các em này đều ra kết quả đúng. Ngoài ra, có một số bài giải chưa đúng của HS như sau:
Bài số 02 – BTX liệt kê các ước đúng (trong đó có cả ước âm) rồi kết luận: ƯCLN(18; 36) = {18; – 18}
Bài số 11 – MK viết ƯCLN thành tập hợp các ước chung. ƯCLN = {±1; ± 2; ± 3; ± 6; ± 9; ± 18}
Hai bài làm trên cho thấy: HS không nắm rõ về định nghĩa của ƯCLN nên khi kết luận lại ra kết quả sai dù các em liệt kê các ước đúng.
Đặc biệt, ở các bài số 33; 32 và 28 ở trường Bùi Thị Xuân, các em phân tích ra thừa số nguyên tố xong rồi lại liệt kê các ước và đi theo chiến lược liệt kê. Bước chuyển đổi chiến lược này chứng tỏ dù đã phân tích được các số ra thừa số nguyên tố thì các em cũng không nhớ được cách chọn thừa số và số mũ.
4.2.2. Kết quả câu 2b
Bảng 4.9. Thống kê các chiến lược trong câu 2b ở lớp 10 ƯCLN(32; 45)
Chiến lược Số lượng
lk 2 S - Liệt kê 29 chon 2 S - Chọn ước 7 pt 2 S - Phân tích 30 ps 2 S - Phân số 2 Eu 2
S - Thuật toán Euclide 0
Số HS trả lời 68
Có 13 HS không tham gia trả lời câu này.
Có 23 HS cho rằng không có ƯCLN(32; 45). Đó là các bài: 07; 08; 09; 10; 11; 12 của trường ĐTL; bài số 11; 03; 06; 07; 16; 36; 38; 39; 40; 41; 42; 10, 32 của trường BTX; các bài số 04; 16; 14; 30 ở trường MK. Trong số những bài làm này, có 11 HS phân tích ra thừa số nguyên tố đúng nhưng kết luận là không có ƯCLN. Ngoài ra, còn có HS số 23 – ĐTL cho rằng ƯCLN của 32 và 45 là 0.
Mặc dù 32 và 45 là những số dễ phân tích ra thừa số nguyên tố nhưng trong bảng 4.9 cho thấy: chỉ có 27 HS phân tích đúng hai số này và 3 HS phân tích sai. Chiến lược liệt kê cũng được ưu tiên hơn trong câu này khi số HS chọn lk
2
S - Liệt kê nhỉnh hơn 2
pt
S - Phân tích, từ đó cho thấy chiến lược 2
pt
S - Phân tích không còn chiếm ưu thế tuyệt đối trong sự lựa chọn như ở lớp 6 nữa. Bên cạnh đó, có 3 HS dù có kết quả phân tích đúng nhưng không tìm ra được ƯCLN đúng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Với chiến lược liệt kê, trong 18 HS ra kết quả đúng bằng việc lựa chọn chiến lược này, có 3 HS liệt kê thiếu ước của cả 32 và 45 nhưng vẫn ra kết quả đúng vì cả
3 em này đều có liệt kê 1 trong tập hợp ước của hai số. Tuy vậy, bên cạnh đó, ở bài số 30 – MK và 11 – BTX, dù liệt kê các ước của 32 và 45 đúng, trong đó có cả ước là 1 nhưng cuối cùng hai em HS này lại kết luận ƯCLN là ∅.
4.2.3. Kết quả câu 2c
Bảng 4.10. Thống kê các chiến lược trong câu 2c ở lớp 10 ƯCLN(1365; 1768)
Chiến lược Số lượng
lk 2 S - Liệt kê 23 chon 2 S - Chọn ước 10 pt 2 S - Phân tích 43 ps 2 S - Phân số 4 Eu 2
S - Thuật toán Euclide 0
Tổng số HS trả lời 80
Có 27 HS không trả lời câu hỏi này.
Theo bảng 4.10, với đặc điểm có dấu hiệu chia hết rõ ràng, chiến lược phân tích hai số này ra thừa số nguyên tố là chiến lược được lựa chọn nhiều nhất (43 HS) và số HS thành công khi sử dụng nó cũng khá cao: 37 HS. Ngoài ra, do trong dạng phân tích của hai số này, 13 là thừa số chung duy nhất và có số mũ là 1 nên việc lựa chọn thừa số chung cũng như số mũ rất đơn giản nên cả 37 HS thành công trong việc phân tích đều ra được kết quả đúng.
Ở câu này, số lượng HS lựa chọn chiến lược liệt kê đã suy giảm khá nhiều so với câu 2b. Mặt khác, dù có 23 HS sử dụng lk
S2 nhưng duy nhất chỉ có bài số 06 – MK liệt kê đủ ước của cả hai số và ra kết quả đúng. Những HS còn lại có được kết quả đúng ở câu này dù liệt kê chưa đầy đủ là do các em đều đã nêu được 13 là ước của mỗi số đề cho. Ngoài ra, còn hơn 8 HS nữa cũng chọn chiến lược này nhưng đã không thành công vì chưa tìm được ước 13 của hai số này. Như vậy, số chữ số cũng như số lượng ước của hai số này (mỗi số có 16 ước nguyên dương) là một trở ngại không nhỏ trong việc giải quyết nhiệm vụ tìm ƯCLN(1365; 1768).
Bên cạnh đó, vẫn có 2 bài giải cho rằng 0 là ước của mọi số: bài số 23 – ĐTL ra ƯCLN = 0 còn bài số 17 – BTX chọn lk
2
S nhưng liệt kê thiếu ước, trong các ước mà HS này nêu ra có số 0. Cuối cùng, HS này cũng không ra được ƯCLN. Bên cạnh đó, còn 3 bài làm khác kết luận “không có ƯCLN” nhưng không giải thích, không nháp là các bài số 10 – ĐTL; 09 – ĐTL; 10 – BTX; 02 – BTX.
Qua 3 câu hỏi ở câu 2, chúng tôi cũng nhận thấy chiến lược chon
S2 có số lượng HS lựa chọn khá ổn định. Thế nhưng, trong câu này, cả 5 HS sử dụng chiến lược này đều không thành công, chứng tỏ việc sử dụng chọn ước đối với các số có nhiều chữ số cũng như nhiều ước khá nguy hiểm. Chúng tôi trích dẫn một số bài làm điển hình của HS có sử dụng chiến lược chon
2
S - Chọn ước như sau: Bài số 01 – BTX viết:
Không có ƯCLN
Vì số tận cùng 1365 là số 5 ⇒5, số tận cùng của 1768 là số 8 ⇒2. Bài số 17 – MK, 13 – MK giải thích:
ƯCLN(1365; 1768) = {1} do 1365 là 1 số lẻ, 1768 là 1 số chẵn nên giữa 2 số sẽ không có ƯCLN.
4.3. Kết quả câu 3
Bảng 4.11. Thống kê các chiến lược trong câu 3 ở lớp 10 BCNN(840; 180)
Chiến lược Tính ra BCNN đúng Số lượng lk 2 S - Liệt kê 1 chon 2 S - Chọn bội 4 pt 2 S - Phân tích 35 ps 2 S - Phân số 14 Tổng số HS trả lời 54
39 HS không làm câu này. Còn 11 HS do không nháp gì cả mà ra ngay đáp số nên chúng tôi cũng không xác định được HS đã chọn chiến lược nào.
Chỉ còn 1 HS lựa chọn chiến lược liệt kê ở câu này (bài làm số 11 – MK). HS này liệt kê các bội chung với 2520 là bội chung đầu tiên. Tuy nhiên bài này không kết luận gì cuối cùng. So với số HS sử dụng lk
S2 khá nhiều ở các câu trên, thậm chí ở câu 2c với hai số đã cho (1365 và 1768) khá lớn, lớn hơn cả 180 và 840, vẫn có 23 HS lựa chọn thì ở câu này cho thấy sự thay đổi chiến lược đáng kể ở HS.
Số lượng HS sử dụng chiến lược chọn bội và phân tích có thay đổi một chút nhưng chiến lược pt
S2 - Phân tích vẫn được HS lựa chọn nhiều nhất. Bên cạnh 30 HS phân tích đúng và có kết quả đúng, vẫn có hai bài làm của HS số 33 – BTX và 41 – BTX dù phân tích đúng nhưng chọn thừa số sai, dẫn đến BCNN mà hai em ra được chưa đúng. Và đặc biệt là ở câu hỏi này, số lượng HS chọn ps (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
S2 - Phân số tăng lên nhiều và tất cả HS đi theo chiến lược này đều ra được kết quả đúng.
Trong số những bài làm sai, chúng tôi lưu ý một bài làm như sau: ... ; 15 ; 12 , 10 , 5 840 180 ⇒BCNN là những số chẵn.
[Trích bài làm của HS mang số thứ tự 35 – BTX]
Những dòng trên cho thấy trong suy nghĩ của HS, BCNN của hai số cũng tương tự như bội chung: đó không phải là một số duy nhất mà có thể mang nhiều giá trị.
4.4. Kết quả câu 4
Dù có 42 HS trả lời đúng ở câu 2b: tìm ra được ƯCLN(32; 45) =1 nhưng đến câu này, chỉ còn 29 HS biết được lời giải thích trên là sai và một số em trong đó có chỉ ra ƯCLN(3; 5) = 1. Ngay cả trong số 29 bài cho rằng lời giải thích trên là sai thì cũng có đến 12 bài lúc đầu cho là đúng rồi sau đó mới sửa lại là sai. Còn lại, có 41 HS cho rằng 3 và 5 không có ước chung nào.
Bài 43 – BTX viết:
Theo em mệnh đề trên là đúng vì 3 và 5 không có ước chung nào khác ngoài 1 và chính nó.
Bài làm này đang nhầm lẫn hai khái niệm: giữa số nguyên tố và số nguyên tố cùng nhau. Thậm chí, HS này còn cho rằng 3 và 5 cũng là ước chung của hai số.
4.5. Kết quả câu 5
Bảng 4.12 – Thống kê câu trả lời trong câu 5 ở lớp 10 Rút ra 1 lần và
đúng Rút ra hơn 2 lần/ chưa triệt để
Số HS trả lời 35 25
Có 62 HS tham gia trả lời câu hỏi này, trong đó, theo bảng 4.12, có 35 HS rút thừa số chung ra đúng chỉ sau 1 bước và 25 HS rút hết thừa số chung ra ngoài sau hơn 2 bước. Điển hình là bài làm của HS dưới đây:
Bài số 34 – BTX làm như sau:
) 14 5 3 ( 12 ) 42 15 9 ( 4 ) 168 60 36 ( 4 3 2 4 3 2 4 3 2 x y xy xy A x y xy xy A x y xy xy A − + = − + = − + =
Trong số 35 HS phân tích đa thức trên thành nhân tử đúng sau 1 bước, chỉ có 5 HS giải thích việc đưa 12 ra ngoài làm thừa số chung vì 12 chính là ƯCLN của 36; 60 và – 168. Ví dụ như bài làm sau:
Bài số 01 – MK viết:
Có ƯCLN(36; 60; –168) = 12 ⇒A = 12xy(3xy2 + 5y3 – 14x4)
Các bài làm số 02 – MK; 04 – MK và 15 – MK cũng làm theo kiểu tìm ƯCLN của các hệ số rồi mới rút thừa số chung. Đặc biệt là bài số 25 – BTX viết trong nháp tìm ƯCLN của 36; 60 và 168 bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố rồi tìm được ƯCLN của ba số đó là 12.
Ngoài ra, chúng tôi ghi nhận trong nháp của bài số 08 – MK, HS này viết đa thức đã cho lại thành: 22. 32. x2.y3 + 3.5.22. xy4 – 23.3.7x5y. Cách viết này rõ ràng đã
tạo điều kiện thuận lợi cho việc rút thừa số chung một cách triệt để và cách viết này