Thực nghiệm được tiến hành trên 96 HS của các lớp 6A1, 6A3, 6A4 trường THCS – THPT Đinh Thiện Lý. Thời điểm chúng tôi thực nghiệm là sau khi HS học xong bài học về rút gọn phân số.
Có 22 trên tổng số 96 bài không viết gì hoặc không ra được kết quả gì ở câu hỏi này. Số lượng trên phần nào cho thấy đây là một kiểu nhiệm vụ lạ hoặc gây khó khăn nhất định cho các em.
Bảng 4.1. Thống kê các chiến lược trong câu 1 ở lớp 6
91 984 1003
Chiến lược Số lượng Số lượng Số lượng ch 1 S - chia hết 0 48 0 dv 1 S - đơn vị 17 2 29 thu 1 S - thử 39 1 4 can 1 S - căn
Tổng số câu trả lời của HS có
thể phân chia theo chiến lược 56 51 33
Số HS thành công 49 57 11
(Những ô số tô in đậm tương ứng với những chiến lược mà chúng tôi dự đoán sẽ được số đông HS lựa chọn.)
Qua tổng số câu trả lời của HS có thể phân chia theo chiến lược ở từng câu hỏi và số HS thành công trong mỗi câu này cho thấy: rõ ràng số 1003 gây khó khăn nhất định cho HS. Số HS tham gia trả lời câu hỏi này ít hơn hẳn so với hai số trước đó, trong đó có đến 29 em cho rằng 1003 là số nguyên tố. Thêm nữa, số HS thành công ở câu này lại càng ít hơn: chỉ có 11 trên tổng số 96 HS có đáp án đúng. Ngoài 4 HS làm theo chiến lược thử từng ước, có 7 HS làm đúng nhưng không nháp gì trong phần giấy nháp cũng như không thể hiện mình đã chọn chiến lược gì ở bài làm của các câu tiếp theo; hoặc chia thẳng 1003 cho 17 nên chúng tôi không xác định được các em đã sử dụng chiến lược thu
1
S hay can 1
S . Đó cũng là lý do mà số HS có câu trả lời có thể phân chia thành các chiến lược ở trường hợp 984 ít hơn số HS có câu trả lời đúng. Tuy nhiên, theo quan sát của chúng tôi lúc cho HS làm thực nghiệm thì có thể nói, HS không sử dụng chiến lược can
1
S cho kiểu nhiệm vụ này. Chúng tôi nhận thấy hầu hết HS chỉ dùng máy tính để chia thử từng ước cho đến khi nào nhận được thương là số tự nhiên thì ngừng lại chứ chưa thấy HS có xét xem phải thử đến số nguyên tố nào là được. Mặt khác, chiến lược thu
1
S hay can 1
nhau ở chỗ: trong cả hai chiến lược, HS đều phải thử từng ước nguyên tố. Tuy nhiên, với chiến lược can
1
S , HS sẽ xác định được mình sẽ thử đến lúc nào thì dừng quá trình này lại. Trong khi đó, chiến lược thu
1
S cũng là các bước thử các ước nguyên tố nhưng mang tính ngẫu nhiên nhiều hơn.
Một nhận xét thứ hai chúng tôi rút ra được từ bảng thống kê 4.1: chiến lược mà số đông HS lựa chọn cho thấy ứng với mỗi số, HS sử dụng chiến lược khác nhau. Đối với số 91, chỉ có chiến lược dv
1
S và thu 1
S được HS sử dụng. Trong khi đó, với số 984 có dấu hiệu chia hết cho 2 rất rõ ràng thì hầu hết HS chọn chiến lược ch
1 S . Sang đến số 1003, những HS đã sử dụng dv
1
S với số 91 thì tiếp tục lựa chọn chiến lược này, còn một số HS chọn chiến lược thu
1
S cũng đã không thử đến ước 17 nên cuối cùng chọn dv (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1
S . Điều này cũng giúp chúng tôi phần nào phân biệt được những HS nào chọn chiến lược thu
1
S và can 1
S : đối với HS sử dụng thu 1
S , các em sẽ phân tích được số 91 vì chỉ cần thử tới ước là 7 còn với số 1003. Do không chọn can
1
S , các em không xác định được số nguyên tố cuối cùng cần xét nên chưa thử đến ước 17 đã kết luận 1003 là số nguyên tố. Bên cạnh đó, với những HS phân tích đúng 91 nhưng không thành công với 1003, các em còn kết hợp chiến lược dv
1 S .
Bảng 4.1 cũng cho thấy: mặc dù số 984 có nhiều chữ số hơn số 91 nhưng do nó có dấu hiệu chia hết cho 2 đặc trưng nên HS thành công ở câu này khá nhiều. Theo ghi nhận của chúng tôi lúc cho HS làm thực nghiệm, hầu hết HS đều bắt tay vào làm số này trước tiên. Những HS chưa có đáp án đúng ở câu này hầu hết đều đã phân tích được 984 thành 984 = 23. 123. Điều này cho thấy “sức mạnh” của dấu hiệu chia hết cũng như chiến lược ch
1
S đã chi phối HS trong trường hợp này.
Thêm vào đó, số chữ số cũng góp phần làm thay đổi chiến lược của HS, cũng như tăng độ khó của nhiệm vụ. 91 và 1003 đều là những số không có dấu hiệu chia hết. Tuy nhiên, với số 91, bảng 4.1 cho thấy HS lựa chọn chiến lược thử chia nhiều hơn. Nhưng khi đến với số 1003, một số HS trong số này đã chuyển sang dùng chiến lược dv
1
nghiệm của chúng tôi: số chữ số cũng là một biến quan trọng làm thay đổi chiến lược của HS.
Ngoài ra, chúng tôi còn nhận thấy sự kết hợp giữa dv 1
S và ch 1
S với yêu cầu phân tích số 984 ra thừa số nguyên tố. Trong bài làm của HS số 14 – 6A4 và 22 – 6A1 còn số 123 trong dạng phân tích, cho thấy những HS này sử dụng cả chiến lược chia hết và đơn vị với câu này.
Các bài làm đặc biệt:
Bài làm số 29 – 6A3: HS này phân tích được 91 = 7. 13 nhưng khi phân tích 1365 thì lại ghi kết quả là 1365 = 3. 5. 91 mà không phân tích thêm. Điều này càng cho thấy chiến lược thu
1
S đã được HS sử dụng ở câu 1 nhưng đến câu 2, HS chọn dv 1 S Bài số 13 và 20 của lớp 6A3 làm đúng hết bài 1 nhưng không phân tích được các số 1365 và 1768 ở câu 2c. Điều này cho thấy HS đã chọn chiến lược thu
1
S cho số 91 và 1003 ở câu 1.
Ngoài ra còn có một số bài làm sai của HS như sau:
Bài làm số 14 – 6A3 làm sai yêu cầu của đề vì em nêu ước của 984, trong khi đó em lại liệt kê các bội của 91 và 1003.
91 = 455; 2275; 11375; … 984 = 492; 246; 123; …
1003 = 5015; 25075; 123375; …
Hay với bài làm số 26 – 6A4, HS này viết: “984 = 492 2; 246 6; 164 6 …”. HS này còn không biết cách viết một số thành tích các thừa số nguyên tố.
3.2. Kết quả ở câu 2 3.2.1. Câu 2a (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bảng 4.2. Thống kê các chiến lược trong câu 2a ở lớp 6 ƯCLN(18; 36)
Chiến lược Số lượng
lk 2 S - Liệt kê 5 chon 2 S - Chọn ước 0 pt 2 S - Phân tích 85 ps 2 S - Phân số 0 Eu 2
S - Thuật toán Euclide 0 ub
2
S - Quan hệ ước-bội 2
Tổng số HS trả lời 90
(Những ô số tô in đậm tương ứng với những chiến lược mà chúng tôi dự đoán sẽ được số đông HS lựa chọn.)
Phần lớn HS (85 trên 96 HS) chọn chiến lược phân tích, trong đó có 66 HS phân tích đúng và ra kết quả đúng; 13 HS dù phân tích đúng nhưng chọn sai thừa số hay số mũ dẫn đến kết quả ƯCLN tính ra sai và chỉ có 6 HS phân tích sai. Số HS thành công trong việc phân tích số 18 và 36 ra thừa số nguyên tố cho thấy nhiệm vụ phân tích hai số khá đơn giản đối với HS. Bảng thống kê 4.2 cũng cho thấy pt
2 S là chiến lược chủ yếu, trong đó, số HS thành công chiếm tỉ lệ lớn: 66 HS làm đúng trên tổng số 85 HS chọn chiến lược này. Chỉ có 2 HS nhìn thấy quan hệ ước – bội giữa hai số và chọn chiến lược này.
Bài số 23 – 6A3 phân tích ra thừa số nguyên tố sai ở số 18 và phân tích chưa triệt để đối với số 36. Sau đó HS này lại liệt kê các ước của 18 và 36 và cuối cùng kết luận sai.
a) Đổi ra thừa số nguyên tố 18 = 23
36 = 62
Ư(18) = {18; 9; 6; 3; 2}
ƯC(18; 36) = 18. 9. 2. 3. 6 =
Bài số 11 – 6A1: lúc đầu chọn chiến lược phân tích, sau đó lại viết thêm: Bước 1: phân tích ra thừa số nguyên tố (trường hợp câu a không cần bước này vì 36 18 nên 18 là ước chung lớn nhất của 2 số, điều này đúng với tất cả các số nếu số này chia hết cho số kia)
Bước 2: Tìm thừa số chung, lập tích. 3.2.2. Kết quả ở câu 2b
Có 5 HS không làm câu này.
Bảng 4.3. Thống kê các chiến lược trong câu 2b ở lớp 6 ƯCLN(32; 45)
Chiến lược Số lượng
lk 2 S - Liệt kê 4 chon 2 S - Chọn ước 0 pt 2 S - Phân tích 76 ps 2 S - Phân số 0 Eu 2
S - Thuật toán Euclide 0 Tổng số HS trả lời 80
(Những ô số tô in đậm tương ứng với những chiến lược mà chúng tôi dự đoán sẽ được số đông HS lựa chọn.)
Có 68 HS phân tích đúng cả hai số 32 và 45 nhưng có đến 44 HS trong số đó tìm ra ƯCLN sai. Trong 44 HS đó lại có 14 HS cho rằng không có ƯCLN và 6 HS cho rằng ƯCLN là 0. Điều này cho thấy một số HS thực sự nghĩ rằng có 2 số mà chúng không có ƯC vì trong dạng phân tích của chúng không có thừa số nguyên tố chung. Ví dụ bài 03 – 6A1 đã viết:
32 = 25 45 = 32. 5
Hai số 32 và 45 không có thừa số nguyên tố chung nên không có ƯCLN. Số 08 – 6A3; 07 – 6A3 viết dạng phân tích ra thừa số nguyên tố có chứa thừa số 1.
32 = 2. 2. 2. 2. 2. 1 45 = 3. 3. 5. 1 ƯCLN(32; 45) = 1
HS số 14 – 6A3 làm theo cách liệt kê ra đúng kết quả nhưng liệt kê thiếu ước.
Ư(32) = {1; 32; 2; 4; 8} Ư(45) = {1; 45; 3; 5; 9} ƯCLN(32; 45) = {1}
Đặc biệt, bài số 06 – 6A3; 21 – 6A3 và 01 – 6A4 chọn thừa số theo kiểu tìm BCNN. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ngoài ra còn 16 HS làm ra kết quả đúng hoặc sai nhưng do các em không nháp gì nên chúng tôi không phân loại được các em sử dụng chiến lược gì.
3.2.3. Kết quả ở câu 2c
Có 29 HS không tham gia làm câu hỏi này.
Bảng 4.5 – Thống kê các chiến lược trong câu 2c ở lớp 6 ƯCLN(1365; 1768)
Chiến lược Số lượng
lk 2 S - Liệt kê 2 chon 2 S - Chọn ước 0 pt 2 S - Phân tích 61 ps 2 S - Phân số 0 Eu 2
S - Thuật toán Euclide 0
Tổng số HS trả lời 63
(Những ô số tô in đậm tương ứng với những chiến lược mà chúng tôi dự đoán sẽ được số đông HS lựa chọn.)
Có 61 HS chọn chiến lược phân tích hai số này, trong đó có 16 HS phân tích đúng nhưng có đến 45 HS phân tích sai, trong đó có cả những HS đã phân tích đúng số 91 và 1003 ở câu trên. Với 3 HS phân tích sai nhưng ra kết quả đúng là do các em đã phân tích được hai số này ra thành dạng tích có thừa số 13 còn thừa số khác chưa phân tích triệt để. Sự chênh lệch rõ rệt giữa số HS làm đúng và làm sai ở câu này so với hai câu trên cũng cho thấy số có 4 chữ số gây khó khăn cho HS khi sử
dụng chiến lược pt
S2 dù hai số này có dấu hiệu chia hết rõ ràng, từ đó dẫn đến việc HS phân tích sai hoặc phân tích chưa triệt để.
Trong số 45 HS làm sai câu này, có 5 HS kết luận không có ƯCLN và 3 HS kết luận ƯCLN là 0 và đặc biệt là không có HS nào chọn chiến lược ps
2
S hay Eu 2 S trong cả 3 câu trên.
3.3. Kết quả ở câu 3
Bảng 4.6. Thống kê các chiến lược trong câu 3 ở lớp 6 BCNN(840; 180)
Chiến lược Số lượng
lk 2 S - Liệt kê 1 chon 2 S - Chọn bội 2 pt 2 S - Phân tích 70 ps 2 S - Phân số 0 Tổng số HS trả lời 73
Trong 96 HS tham gia thực nghiệm, có 22 em không làm được câu này. Ở đây, có 53 HS phân tích đúng số 840 và 180; trong số 17 HS phân tích sai thì phần lớn các em đều đã phân tích được một phần của hai số này nhưng có một chút sai sót trong tính toán. Điều này một lần nữa kiểm chứng nhận định: HS thành thạo trong việc phân tích các số nhỏ (3 chữ số trở xuống) với dấu hiệu chia hết rõ ràng. Tuy nhiên, trong số đó có 13 HS dù phân tích đúng nhưng lại chọn thừa số sai, dẫn đến tính ra BCNN sai. Điển hình là ở bài làm của HS số 09 – 6A1: em phân tích đúng cả hai số nhưng chọn thừa số sai: chọn như cách tìm ƯCLN nên dẫn đến kết quả cuối cùng sai.
Ngoài ra, chỉ còn 1 HS chọn chiến lược liệt kê ở câu này mà HS này lại liệt kê thiếu ước nên ra kết quả sai. Ngay cả HS số 14 – 6A3 dùng chiến lược liệt kê cho cả câu 2 ở trên thì đến đây, HS này chọn chiến lược pt
2
S . Tuy HS này phân tích cả hai số đều đúng nhưng lại ra kết quả sai. Theo bảng 4.6 ở trên, số lượng HS làm sai và không làm bài này khá nhiều (53 em). Trong đó, có đến 30 bài làm sai từ chiến lược pt
2
180 có dấu hiệu chia hết rất rõ ràng và các thừa số nguyên tố của hai số này chỉ là 2; 3; 5 và 7. Điều này cho thấy dù mới được học qua ở cuối học kì một nhưng HS vẫn lúng túng khi gặp kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN và BCNN cùng một lúc và số có 3 chữ số vẫn có thể gây khó khăn cho HS dù nó có dấu hiệu chia hết.
Bên cạnh đó, chúng tôi nhận thấy có sự chuyển đổi chiến lược ưu tiên trong bài làm của một số HS. Ví dụ, ở bài làm của em HS số 14 – 6A3: em không dùng chiến lược liệt kê cho câu nữa này dù em đã áp dụng nó cho tất cả các câu ở trên. Đặc biệt, xuất hiện thêm 2 HS chọn chon
2
S - Chọn bội ở câu này ở bài làm của HS số 28 – 6A1 và số 24 – 6A4. Chiến lược này chưa hề xuất hiện ở hai câu trên.
Cũng tương tự như câu 2, không có HS nào chọn chiến lược ps
S2 - Phân số ở câu này. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3.4. Kết quả câu 4
Trong các HS tham gia thực nghiệm, có 23 HS không trả lời câu hỏi này và có 8 HS cho rằng lời giải thích đã cho là sai nhưng những HS này sửa lại không đúng. Ví dụ như bài làm sau đây:
Bài số 15 – 6A4 cho mệnh đề trên là sai và giải thích:
… “3 và 5 có ước chung là 15; 30; 45; … nhưng vẫn là phân số tối giản.”
Có một điều thú vị là HS này đã làm đúng câu 3: tìm BCNN(840; 180); câu 2a và đặc biệt ở là câu 2b, HS này có kết quả đúng là ƯCLN(32; 45) = 1. Tuy nhiên, HS này vẫn còn nhầm lẫn giữa ước chung và bội chung.
Tương tự như vậy, bài số 04 và 16 của lớp 6A4 viết: “
5 3
là phân số tối giản nhưng 3 và 5 có ước chung. Ước chung nó là 15”.