Thực nghiệm của chúng tôi được xây dựng với mục đích làm rõ giả thiết H2: Học sinh luôn phân tích ra thừa số nguyên tố khi tìm ƯCLN của hai số ngay cả khi có thể nhìn thấy rõ ƯCLN theo định nghĩa.
Thêm vào đó, HS không gặp nhiều bài toán liên quan đến các số nguyên tố cùng nhau. Điều này dẫn đến việc HS cho rằng có số nguyên a, b sao cho ƯCLN của a, b không tồn tại hay ±1 không được xem là ước chung của a, b (H1). Chúng tôi sẽ xem xét giả thuyết này trong thực nghiệm.
Bên cạnh đó, qua thực nghiệm này, chúng tôi cũng muốn kiểm chứng nhận định: ƯCLN không còn được nhắc đến trong kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ phân tích đa thức thành nhân tử nên HS không sử dụng kiến thức về ƯCLN. Hơn nữa, SGK 8.1 cũng không đưa ra kỹ thuật nào cho kiểu nhiệm vụ này.
Ngoài HS lớp 6 là đối tượng chính được lựa chọn, thực nghiệm cũng sẽ được tiến hành trên một số HS lớp 10. Đây là khối lớp mà chương trình môn Tin học giới thiệu thuật toán Euclide để tìm ƯCLN. Do đó, HS có thêm một kỹ thuật nữa để giải quyết kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN, giúp HS có nhiều lựa chọn hơn cho dạng bài này. Thêm vào đó, HS lớp 10 cũng đã tiếp xúc với bài toán phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình lớp 8 nên khá thành thạo với kỹ năng này.
Các câu hỏi thực nghiệm như sau:
CÂU HỎI THỰC NGHIỆM Ở LỚP 6 Câu 1. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 91; 984; 1003
Câu 2. Tìm ƯCLN của các cặp số sau trình bày rõ các bước tính cần thiết a. (18; 36) b) (32; 45) c) (1 365; 1 768)
Câu 4. Lời giải thích sau về phân số tối giản là đúng hay sai? “
5 3
là phân số tối giản vì 3 và 5 không còn ước chung.”
Giải thích sự lựa chọn của em?
CÂU HỎI THỰC NGHIỆM Ở LỚP 10 Câu 1. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 91; 984; 1003
Câu 2. Tìm ƯCLN của các cặp số sau trình bày rõ các bước tính cần thiết a. (18; 36) b) (32; 45) c) (1 365; 1 768)
Câu 3. Tìm BCNN(840; 180) và trình bày rõ các bước tính cần thiết
Câu 4. Lời giải thích sau về phân số tối giản là đúng hay sai? “
5 3
là phân số tối giản vì 3 và 5 không còn ước chung.”
Giải thích sự lựa chọn của em?
Câu 5. Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 36x2y3 + 60xy4 – 168x5y
2.1.Phân tích tiên nghiệm
2.1.1. Các chiến lược có thể xuất hiện
2.1.1.1. Câu 1: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 91; 984; 1003 Chúng tôi dự đoán có các chiến lược sau sẽ xuất hiện trong câu 1:
ch 1
S : sử dụng các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5 và một số ước nguyên tố khác dựa vào bảng cửu chương và cấu tạo số để kiểm tra. Nếu số đã cho không chia hết cho bất kì số nào trong những số này thì kết luận đó là số nguyên tố. Phạm vi hợp thức của chiến lược này là các số đã cho không còn ước nguyên tố nào nằm ngoài bảng cửu chương hoặc số đó có dấu hiệu chia hết ở cấu tạo số quá rõ ràng. Chiến lược này sẽ dẫn đến sai lầm nếu cấu tạo số không cho thấy dấu hiệu chia hết.
Ví dụ: số 91 và số 130 đều chia hết cho 13 nhưng HS dễ dàng nhận thấy điều này ở số 130 hơn ở số 91.
dv 1
S : Chiến lược chữ số hàng đơn vị. Chiến lược này dựa trên kinh nghiệm cá nhân của HS thông qua các nhận xét trong quá trình học và giải các bài tập. Đó là: các số nguyên tố là số chỉ có hai ước là 1 và chính nó nên ngoài số 2, số nguyên tố không thể chia hết cho 2. Vì thế, số nguyên tố không thể là số chẵn; nó cũng không chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng của nó khác 0 và 5. Đặc biệt, chiến lược này cũng bỏ qua dấu hiệu chia hết cho 3 cũng như một số số nguyên tố khác không có dấu hiệu chia hết. Phạm vi hợp thức là các hợp số đã cho đều phải là các số chia hết cho 2 hay 5.
can 1
S : Chiến lược dựa trên phần bài học đã được hướng dẫn trong SGK 6.1: kiểm tra xem số đó lần lượt có chia hết cho các ước nguyên tố có bình phương vượt quá số đã cho hay không. Chiến lược này hợp thức trong mọi trường hợp.
thu 1
S : Chiến lược dựa trên định nghĩa của số nguyên tố. HS lần lượt thử chia số đã cho cho 3; 7; 11; … Việc thử các ước này chỉ thực hiện một số bước đối với các số nhỏ khoảng 2 chữ số chứ HS không biết chính xác khi nào việc thử tìm ước này kết thúc. Do đó, với những hợp số có ước là những số nguyên tố khá lớn, thường là từ 17 trở lên thì cơ may HS thử đến ước đó khá ít. Phạm vi hợp thức của chiến lược này là số đã cho có tất cả các ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng các ước mà HS đã thử.
Tương tự thu 1
S , chiến lược can 1
S cũng thường xuất hiện khi số đã cho không có dấu hiệu chia hết rõ ràng, buộc HS phải thử tìm các ước cho nó. Tuy nhiên, điểm khác biệt giữa chiến lược thu
1
S và can 1
S là nếu HS chọn chiến lược thu 1
S , HS sẽ chỉ giải quyết được các hợp số nhỏ khoảng 2 hoặc 3 chữ số. Trong khi đó, chiến lược can
1 S luôn giúp HS biết chính xác số lần thử và những ước nào cần phải thử. Do đó, nếu áp dụng can
1
S , HS có thể xử lý được cả những số có từ 4 chữ số trở lên.
2.1.1.2. Câu 2: Tìm ƯCLN của các cặp số: (18; 36), (32; 45) và (1 365; 1 768)
Vì kiểu nhiệm vụ của câu 2 là tìm ƯCLN nên một số chiến lược của nó cũng trùng với kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này.
lk 2
S : Liệt kê tất cả các ước của hai số rồi chọn các ước chung, sau đó chọn số lớn nhất trong các ước chung. Phạm vi hợp thức của lk
2
S là tất cả các trường hợp. Chiến lược này dựa trên kỹ thuật τ1 - dùng định nghĩa. Tuy nhiên, lk
2
S khá cồng kềnh, nhất là đối với những số quá lớn hay có quá nhiều ước vì nó còn liên quan đến bài toán xác định xem một số có là số nguyên tố hay không.
chon 2
S : kiểm tra các ước của số nhỏ hơn có khả năng có là ước chung hay không, sau đó lấy số lớn nhất trong các ước chung đó. Chiến lược này dựa trên kỹ thuật τ2 - chọn trong các ước của số nhỏ. Phạm vi hợp thức của chon
2
S là tất cả các trường hợp. Tương tự như lk
2
S , chiến lược này cũng sẽ gây khó khăn cho người thực hiện khi số nhỏ nhất trong các số đã cho cũng khá lớn hoặc có nhiều ước.
pt 2
S : Phân tích các số đã cho ra thừa số nguyên tố một cách triệt để rồi làm theo các bước của kỹ thuật τ3. Phạm vi hợp thức của pt
2
S là các số đã cho có thừa số chung.
ps 2
S : Dựa vào ứng dụng đơn giản phân số của máy tính để tìm ra ƯCLN hay đây là kỹ thuật τ5. Phạm vi hợp thức của ps
2
S là các số được cho phải nằm trong giới hạn tính toán của máy tính.
Eu 2
S : Giải quyết kiểu câu hỏi này dựa vào thuật chia Euclide, tương ứng với kỹ thuật τ4 . Phạm vi hợp thức của chiến lược này là tất cả các trường hợp.
Với riêng câu 2a, ta còn có thêm chiến lược: ub
2
S : Dựa vào quan hệ chia hết của hai số đã cho, ta kết luận ƯCLN là số nhỏ hơn nếu số còn lại chia hết cho nó.
2.1.1.3. Câu 3: Tìm BCNN(840; 180)
Các chiến lược chúng tôi dự kiến sẽ xuất hiện trong câu này là: lk
3
S : Liệt kê một số bội chung của hai số rồi chọn số nhỏ nhất trong đó. Phạm vi hợp thức của lk
3
S là tất cả các trường hợp. Chiến lược này dựa trên kỹ thuật 1
ChonB 3
S : Dựa vào định nghĩa bội chung là bội của tất cả các số, HS chọn số lớn nhất trong các số đã cho rồi nhân số đó lần lượt với 2; 3; 4 ; …. cho đến khi nào kết quả vừa tìm được chia hết cho các số còn lại. Phạm vi hợp thức của ChonB
3 S là tất cả các trường hợp. Chiến lược này rất hiệu quả đối với những số đã cho có BCNN gấp số lớn nhất từ 2 đến khoảng 5 hay 6 lần. Đối với những BCNN quá to; gấp số lớn nhất nhiều hơn 10 lần thì việc tìm BCNN phải thử qua rất nhiều lần, đặc biệt là nếu không có sự trợ giúp của máy tính thì việc tìm bội cũng như kiểm tra xem nó có chia hết cho số còn lại hay không không phải là việc đơn giản.
pt 3
S : Phân tích các số đã cho ra thừa số nguyên tố một cách triệt để rồi làm theo kỹ thuật tìm BCNN được giới thiệu trong SGK 6.1. Đây cũng là kỹ thuật τ3. Phạm vi hợp thức của chiến lược này là tất cả các trường hợp.
ps 3
S : Dựa vào công thức a. b = ƯCLN(a; b). BCNN(a; b) và việc tìm ƯCLN thông qua đơn giản phân số, HS lấy tích a. b chia cho ƯCLN vừa tìm được. Chiến lược này hợp thức trong mọi trường hợp.
2.1.2. Các biến didactic, giá trị lựa chọn và ảnh hưởng của chúng lên chiến lược
2.1.2.1. Trong câu 1, các biến được quan tâm là: a. Biến tình huống mt V : Sử dụng máy tính. b. Biến didactic 1 ch
V : cấu tạo đặc trưng về tính chia hết của số đã cho. 1
dl
V : độ lớn của số đã cho (khái niệm số lớn ở đây cũng chỉ mang tính tương đối)
2.1.2.2. Các biến được quan tâm trong câu 2 a. Biến tình huống
mt
V : Sử dụng máy tính b. Biến didactic
hts
V2 : hình thức biểu diễn số: số được cho ở dạng chưa phân tích hay ở dạng đã phân tích ra thừa số nguyên tố.
1
ch
V : cấu tạo đặc trưng về tính chia hết của số đã cho. 1
dl
V : độ lớn của số đã cho (khái niệm số lớn ở đây cũng chỉ mang tính tương đối)
s _ 1
t sm
V : thừa số nguyên tố và số mũ trong dạng phân tích.
ub
V2 : hai số đã cho có quan hệ ước – bội: một trong hai số là ước của số còn lại.
2.1.2.3. Các biến được quan tâm trong câu 3
Trong câu 3, do kiểu nhiệm vụ tìm BCNN tương đồng với kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN về các kỹ thuật giải cũng như giữa chúng có mối liên hệ ước bội nên các biến ở câu 3 giống với các biến xuất hiện ở câu 2.
2.2. Phân tích các lựa chọn biến và chiến lược trong thực nghiệm
Đối với câu 1, các số chúng tôi đã cho tương ứng với các biến đã nêu để cho thấy ở mỗi sự lựa chọn biến, chiến lược của HS cũng thay đổi theo. Đặc biệt, ứng với biến 1
ch
V với dấu hiệu chia hết không rõ và 1
dl
V với giá trị là số đã cho có 4 chữ số trở lên, số chiến lược xuất hiện nhiều nên chúng tôi sẽ lưu ý lựa chọn hai biến này cho phần thực nghiệm.
Ở câu 2, với câu a, chúng tôi lựa chọn biến ub
V2 , tức là trong 2 số đã cho có 18 là ước của 36 nhằm tạo cơ hội cho chiến lược ub
2
S xuất hiện. Bên cạnh đó, nhằm làm rõ quy tắc hợp đồng, chúng tôi cũng cố ý chọn số 18 và 36 là 2 số nhỏ, dấu hiệu chia hết của hai số này cũng rất rõ ràng. Yếu tố này tạo điều kiện thuận lợi cho HS thực hiện theo chiến lược pt
2 S .
Ở câu b, cặp số 32 và 45 cũng là những số nhỏ, có dấu hiệu chia hết rõ ràng. HS cũng thường xuyên gặp các số này nên việc phân tích các số này ra thừa số nguyên tố là một nhiệm vụ quen thuộc. Chính sự quen thuộc này cộng với việc HS làm việc theo quy tắc hợp đồng H1 hướng HS theo chiến lược pt
2
S . Và đây chính là ý đồ của chúng tôi: khi làm theo chiến lược này, HS dễ dàng nhận thấy hai số này
không có ước nguyên tố nào chung. Từ đây, HS có hai hướng để kết luận: “hai số đã cho không có ƯCLN” hoặc “ƯCLN của hai số này là 1”. Sai lầm của HS sẽ bộc lộ ngay ở kết luận này.
Ở câu c, cặp số 1 365 và 1 768 lại là những số khá lớn. Tuy nhiên, HS có thể nhận thấy ngay một số ước của hai số này: 1 365 chia hết cho 5 và 1 768 chia hết cho 2. HS sẽ thử chia ngay cho hai ước này và có thể ra được kết quả sau:
1365 = 5. 273 và 1768 = 2. 884 = 2. 2. 442 = 2. 2. 2. 221
Số 273 là một số chia hết cho 3 và dấu hiệu chia hết của nó cũng khá dễ để nhận ra. Thực hiện phép chia 273 cho 3, ta được thương là 91. Đến đây, số 91 là một số không nằm trong bảng cửu chương, cũng không có dấu hiệu chia hết cơ bản nào nên bài toán đặt HS trước nhiệm vụ kiểm tra 91 có phải là số nguyên tố hay không.
Đối với những HS nhận ra được số 91 là hợp số ở câu 1, HS sẽ dễ dàng vượt qua trở ngại này. Tuy nhiên, số 221 cũng không có dấu hiệu chia hết vì ước của nó là 17 và 13. Với hai ước này, HS rất khó nhận ra vì hai số nguyên tố này khá lớn và HS cũng ít có cơ hội tiếp xúc với các ước này theo yêu cầu của thể chế. Do đó, nếu sử dụng thuật chia Euclide hay sử dụng cách đơn giản phân số ở câu này sẽ giúp HS tránh được bước kiểm tra số nguyên tố.
Mặt khác, các số 1365 và 1768 là các số nhỏ so với giới hạn tính toán của máy tính. Do đó, máy tính hoàn toàn có thể giúp HS tính ra ƯCLN của hai số này. Còn đối với chiến lược liệt kê, việc nêu ra tất cả các ước của hai số này rồi chọn ra ước chung, lấy số lớn nhất trong các số được chọn theo như định nghĩa thì có thể nói là cực kỳ khó khăn đối với HS. Số 1365 có dạng phân tích là 1365 = 3. 5. 7. 13 nên có 8 ước, còn 1768 có dạng phân tích là 1768 = 23. 13. 17 nên có tất cả là 16 ước, mà các ước của mỗi số đều không dễ tính vì rất khó để nhận ra ước 13 hay 17 ở hai số này.
Với câu 3, khi xét biến s _ 1
t sm
V , số 840 và 180 được chọn vì trong dạng phân tích ra thừa số của hai số này có các thừa số nguyên tố chung và riêng, trong đó có thừa số 2 và 3 có số mũ khác nhau. Điều này dễ cho thấy sự lựa chọn thừa số chung
hay tất cả các thừa số, số mũ lớn hay nhỏ. Đây là bước rất dễ gây nhầm lẫn với kỹ thuật tìm ƯCLN. Hơn nữa, hai số này khá lớn nên khi HS tính được kết quả cũng khó kiểm tra lại bằng việc tính nhẩm. Mặt khác, nếu HS chọn sai các thừa số, dẫn đến kết quả của HS là bội của BCNN thì HS cũng khó nhận ra số đó lớn hơn BCNN thật sự.
Ở câu 4, câu hỏi được đặt ra với mục đích là kiểm chứng nhận định: “HS cho rằng có số nguyên a, b sao cho ƯCLN(a, b) không tồn tại.” Do đó, số 3 và 5 được chọn vì đây là hai số nhỏ và là hai số nguyên tố. HS dễ dàng nhận thấy ngay 3 không là ước của 5 và chúng không có ước chung nào lớn hơn 1. Qua đó, nếu HS