6.1. Kết quả câu 1
Có 35 trên tổng số 198 bài không viết gì hoặc không ra được kết quả ở câu hỏi này.
Bảng 4.13. So sánh sự lựa chọn chiến lược trong câu 1 giữa HS lớp 6 và 10
91 984 1003
Chiến lược
Lớp S6 ố lượng Số lượng Số lượng 10 6 10 6 10 ch 1 S - chia hết 0 0 48 36 0 0 dv 1 S - đơn vị 17 11 2 10 29 24 thu 1 S - thử 39 29 1 0 4 8 can 1 S - căn
Tổng số câu trả lời của HS có
thể phân chia theo chiến lược 56 40 51 46 33 32 Số HS thành công 49 73 57 67 11 58
Sự phân bố chiến lược ở bảng 4.13 cho thấy sự tương đồng trong sự lựa chọn chiến lược của HS ở cả lớp 6 lẫn lớp 10 trong từng trường hợp.
Tuy nhiên, có một điểm khác biệt trong kết quả thực nghiệm ở lớp 10 so với lớp 6: ở câu này, số HS thành công trong nhiệm vụ phân tích 91 ra thừa số nguyên tố ở lớp 10 nhiều hơn so với số HS thành công trong việc phân tích 2 số còn lại. Trong khi đó, ở lớp 6, số HS phân tích đúng số 984 mới chiếm số lượng nhiều nhất. Đối với số 91 và 1003, tỷ lệ HS lớp 10 có được đáp án đúng cũng nhiều hơn tỷ lệ HS lớp 6 làm đúng. Điều này theo chúng tôi có thể được giải thích bởi việc HS lớp 10 có kỹ năng sử dụng máy tính thành thạo hơn, cộng với việc HS đã có nhiều kinh nghiệm tính toán hơn HS lớp 6 nên các em dễ nhận ra số nào là số nguyên tố, số
nào là hợp số. Minh chứng là số HS lớp 10 không sử dụng nháp rất nhiều so với số HS lớp 6 không viết gì ở nháp, chứng tỏ là các em lớp 10 có thể đọc kết quả trực tiếp từ máy tính. Bên cạnh đó, do kỹ năng sử dụng máy tính tốt hơn nên các em HS lớp 10 có thể thử được nhiều ước hơn nên dễ đi đến thành công hơn.
Vì việc phân biệt rõ ràng giữa số HS sử dụng chiến lược 2
thu
S và 2can
S trong câu hỏi này đòi hỏi chúng tôi phải quan sát từng em HS trong lúc làm thực nghiệm và ghi nhận một số dấu hiệu từ giấy nháp mà do điều kiện khách quan, chúng tôi không thể thực hiện được điều này nên đây là một hạn chế của thực nghiệm. Tuy vậy, kết quả trên cũng cho thấy máy tính bỏ túi đóng vai trò rất quan trọng trong kiểu nhiệm vụ này. Rất khó để HS phát hiện ra 13 là ước của 91 hay 1003 17 mà chỉ thông qua việc tính nhẩm hay nhìn vào mặt số mà đoán biết được ngay.
Bên cạnh đó, như ở bài thực nghiệm ở lớp 6, chúng tôi cũng nhận thấy sự kết hợp giữa dv
1
S và ch 1
S với yêu cầu phân tích số 984 ra thừa số nguyên tố. Có 12 HS thành công khi phân tích 91 và 1003 ra thừa số nguyên tố nhưng lại để 123 trong dạng phân tích của 984; 1 HS phân tích đúng số 91 ở câu 1 nhưng đến câu 2c thì lại không phân tích số này trong dạng phân tích của 1365 và còn một số bài làm khác không phân tích được hai số 1365 và 1768 ở câu 2c. Kết quả này cho thấy: HS sẽ cố gắng tìm ước của những số mà đề bài trực tiếp yêu cầu phân tích ra thừa số nguyên tố. Nhưng vì không nắm rõ cách kiểm tra một số có là số nguyên tố hay không nên khi phân tích một số ra thừa số nguyên tố chỉ là một nhiệm vụ trung gian thì HS sẽ dùng 2dv
S - đơn vị hay kinh nghiệm cá nhân để nhận định một số có là số nguyên tố hay không.
6.2. Kết quả câu 2
6.2.1. Kết quả câu 2a
(Xem bảng ở trang bên)
Bảng 4.14. So sánh sự lựa chọn chiến lược trong câu 2a giữa HS lớp 6 và 10 ƯCLN(18; 36)
Lớp 6 10 lk 2 S - Liệt kê 5 36 chon 2 S - Chọn ước 0 5 pt 2 S - Phân tích 85 27 ps 2 S - Phân số 0 2 Eu 2
S - Thuật toán Euclide 0 0 ub
2
S - Quan hệ ước-bội 2 11
Tổng số HS trả lời 92 81
Bảng 4.14 ở trên cho thấy: chiến lược được phần đông HS lựa chọn là 2
pt S - Phân tích và 2lk
S - Liệt kê. Số liệu cũng cho thấy số lượng HS lựa chọn chiến lược liệt kê ở lớp 10 nhiều hơn nhiều so với số HS ở lớp 6 chọn cùng chiến lược, và đó cũng là chiến lược được nhiều HS lớp 10 lựa chọn nhất cho câu này. Điều này thể hiện chiến lược 2
pt
S - Phân tích vẫn có một ưu thế nhất định trong sự lựa chọn của HS. Nhưng bên cạnh đó, chiến lược gắn với định nghĩa ƯCLN là điều bản chất nhất còn đọng lại ở HS sau 4 năm về đối tượng này, được thể hiện trên số HS sử dụng
2
lk
S - Liệt kê ở lớp 10.
Kết quả trên cũng cho thấy ở câu này, số HS của cả hai khối có kết quả sai khá ít.
6.2.2. Kết quả câu 2b
(Xem bảng ở trang bên)
Bảng 4.15. So sánh sự lựa chọn chiến lược trong câu 2b giữa HS lớp 6 và 10 ƯCLN(32; 45)
Lớp 6 10 lk 2 S - Liệt kê 3 18 chon 2 S - Chọn ước 0 6 pt 2 S - Phân tích 24 16 ps 2 S - Phân số 0 2 Eu 2
S - Thuật toán Euclide 0 0 Tổng số HS trả lời 27 42
Kết quả cho thấy từ bảng 4.15 là số lượng HS có câu trả lời đúng đã giảm nhiều so với ở câu 2a. Đặc biệt, có rất nhiều HS (58 em) dù phân tích tích đúng 32 và 45 đi nữa vẫn không có được đáp án đúng.
Ngoài ra, chiến lược liệt kê vẫn được các em lớp 10 lựa chọn khá nhiều dù không phải em nào cũng có kết quả đúng. Hơn nữa, số chiến lược được HS lớp 10 lựa chọn đa dạng hơn so với chỉ có 2 chiến lược của HS lớp 6. Chiến lược chọn ước cũng là một sự lựa chọn khá tốt với số lượng HS sử dụng khá ổn định. Đối với HS lớp 6, chiến lược phân tích vẫn chiếm ưu thế gần như tuyệt đối trong câu này và gần 2 phần 3 trong số HS đó ra kết quả sai. Và bắt đầu từ câu này, câu trả lời “Không có ƯCLN” hay là “ƯCLN = 0” bắt đầu xuất hiện mà hầu hết là trong các bài làm đi theo chiến lược phân tích, cho thấy chiến lược này đã che mất ước chung duy nhất là 1 của hai số này. Đó cũng là kết quả của việc HS chưa được gặp hoặc ít có cơ hội được tìm ƯCLN của hai số nguyên tố cùng nhau mà chúng tôi đã đề cập trong phần phân tích sách giáo khoa. Kết quả này giúp chúng tôi kiểm chứng H1: đối với HS, hai số nguyên tố cùng nhau thì không có ƯCLN hay 1 và –1 không được xem là ước chung của hai số bất kì.
6.2.3. Kết quả câu 2c
Bảng 4.16. So sánh sự lựa chọn chiến lược trong câu 2c giữa HS lớp 6 và 10 ƯCLN(1365; 1768)
Chiến lược Số lượng Lớp 6 10 lk 2 S - Liệt kê 2 15 chon 2 S - Chọn ước 0 5 pt 2 S - Phân tích 61 40 ps 2 S - Phân số 0 4 Eu 2
S - Thuật toán Euclide 0 0
Tổng số HS trả lời 63 64
Có 29 HS lớp 6 và 27 HS lớp 10 không làm câu này.
Kết quả thực nghiệm cho thấy có một sự khác biệt trong so sánh số lượng HS làm đúng và sai ở mỗi khối. Trong khi ở lớp 6, số HS có kết quả sai nhiều hơn hẳn so với số HS có đáp án đúng thì ở lớp 10, kết quả này lại ngược lại. HS vẫn ưu tiên sử dụng chiến lược phân tích, đặc biệt là HS lớp 6. Đến lớp 10, HS vẫn duy trì sự lựa chọn này.
Qua cả 3 câu trên, chiến lược 2
Eu
S - Thuật toán Euclide không hề được HS nào lựa chọn, ngay cả HS lớp 10 đã được học về thuật toán này trong môn Tin học ngay ở HK1. Trong khi đó, chiến lược phân tích ra thừa số nguyên tố có ảnh hưởng rất lớn trong sự lựa chọn của HS, dù là HS lớp 6 mới vừa học về ƯCLN hay HS lớp 10 đã học qua 4 năm, cho thấy tính hợp lý của giả thuyết H2: Học sinh luôn ưu tiên phân tích ra thừa số nguyên tố khi tìm ƯCLN của hai số, thậm chí trong các trường hợp gây bất lợi cho chiến lược này.
6.3. Kết quả câu 3
Bảng 4.17. So sánh sự lựa chọn chiến lược trong câu 3 giữa HS lớp 6 và 10 BCNN(840; 180)
Chiến lược Số lượng Lớp 6 10 lk 2 S - Liệt kê 1 1 chon 2 S - Chọn bội 2 4 pt 2 S - Phân tích 70 35 ps 2 S - Phân số 0 14 Tổng số HS trả lời 73 54
Trong câu này, có 22 em lớp 6 và 39 HS lớp 10 không làm.
Do đặc điểm phải chọn tất cả các thừa số với số mũ lớn nhất mới tính được BCNN, cộng với việc hai số này có cả thừa số chung và riêng với số mũ của các thừa số chung chênh lệch nhau, HS nào phân tích 840 và 180 sai sẽ tìm ra BCNN sai. Nhưng HS phân tích các số đúng cũng không đảm bảo cho kết quả cuối cùng đúng. Thực nghiệm cho thấy có 15 HS dù phân tích đúng nhưng BCNN tính được lại không chính xác do chọn thừa số và số mũ sai.
Số HS lớp 6 không làm câu này cũng thể hiện các em đang gặp khó khăn trong kiểu nhiệm vụ này, dù rằng đây là kiến thức mới được học ở học kì 1. Do các số 840 và 180 được cho với mục đích là tạo điều kiện thuận lợi cho chiến lược 2
pt S - Phân tích nên có thể nói, nhiệm vụ phân tích ra thừa số nguyên tố không phải là trở ngại lớn cho HS ở câu này. Như vậy, việc 22 HS lớp 6 không làm cộng với 31 HS làm sai câu này so với số lượng đông đảo các em tham gia giải câu 2 phản ánh HS đang lúng túng khi tiếp nhận cùng lúc kỹ thuật tìm ƯCLN và BCNN.
Bên cạnh đó, thực nghiệm còn cho thấy: tất cả HS chọn chiến lược phân số ở lớp 10 đều ra được kết quả đúng còn HS lớp 6 thì không em nào chọn chiến lược này trong tất cả các câu hỏi, dù trong thời điểm thực nghiệm, HS lớp 6 đã học qua bài phân số và đã thực hành kỹ năng đơn giản phân số.
Kết quả thực nghiệm phản ánh rất rõ ràng nhận định của chúng tôi: 91 HS tin rằng có 2 số mà ƯCLN của chúng không tồn tại, dù là HS lớp 6 hay lớp 10. Điều này được khẳng định chắc chắn hơn qua bài của một số HS dù đã làm đúng ở câu 2b nhưng vẫn kết luận 3 và 5 không có ước chung; hay ở những bài làm mà HS liệt kê 1 trong tập hợp ước chung nhưng kết quả cuối cùng vẫn cho mệnh đề trên là đúng.
6.5. Kết quả câu 5
Bảng 4.12 – Thống kê câu trả lời trong câu 5 ở lớp 10 Rút ra 1 lần và
đúng Rút chưa triệt để ra hơn 2 lần/
Số HS trả lời 35 25
Có 62 HS tham gia trả lời câu này. Những HS nào tìm ƯCLN của các hệ số đúng đều phân tích đa thức thành nhân tử đúng chỉ qua một lần rút thừa số chung. Bên cạnh đó, có đến 25 HS phải làm qua 2 bước rút thừa số chung mới xong. Mặt khác, trong số HS có làm câu này, tất cả HS đều rút được xy ra ngoài làm thừa số chung, cho thấy cách viết theo dạng thừa số với số mũ tạo điều kiện thuận lợi cho kiểu nhiệm vụ phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách rút thừa số chung. Thêm vào đó, thừa số chung rút ra được ở dạng phân tích cuối cùng cũng chính là ƯCLN của các đơn thức trong đa thức với cách tìm tương tự như ƯCLN của các số.
KẾT LUẬN
Sau khi phân tích thể chế thông qua việc phân tích các sách giáo khoa Toán 6, 7, 8 và sách Tin học 10, đồng thời qua phân tích kết quả thực nghiệm trên 96 HS lớp 6 và 102 HS lớp 10, chúng tôi đã trả lời được các câu hỏi đã đặt ra ở phần mở đầu. Kết quả nhận được như sau:
Các kỹ thuật tìm ƯCLN được trình bày trong chương I cho thấy sự đa dạng trong các kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng tìm hiểu lịch sử xuất hiện và ứng dụng của một số kỹ thuật trong các tài liệu trong nước cũng như ngoài nước. Từ đó, chúng tôi có thể phần nào lý giải được vì sao không phải tất cả các kỹ thuật này đều được đưa vào chương trình giảng dạy môn toán ở phổ thông, cũng như hình dung được những khó khăn và thuận lợi của HS khi sử dụng các kỹ thuật này.
Khi chỉ tập trung vào nghiên cứu đối tượng ƯCLN trong chương trình môn Toán ở cấp 2, đặc biệt là khối lớp 6, chúng tôi nhận thấy kỹ thuật phân tích các số đã cho ra thừa số nguyên tố (τ3) được thể chế ưu tiên. Tuy nhiên, SGK 6.1 chỉ nêu ra kỹ thuật này chứ không giải thích hay chứng minh. Hơn nữa, kỹ năng phân tích một số ra thừa số nguyên tố không được chú trọng. Thể chế đã tạo điều kiện thuận lợi cho HS trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ này bằng cách chỉ đưa những số từ 3 chữ số trở xuống với các thừa số nguyên tố quen thuộc vào bài học và bài tập.
Ngoài τ3, liệt kê cũng là một kỹ thuật được trình bày trong bài học nhưng nó chỉ xuất hiện với vai trò bước đầu giải thích cho khái niệm ƯCLN. Bên cạnh đó, kỹ thuật tìm ƯCLN thông qua việc đơn giản phân số cũng không được thể chế giới thiệu. HS lớp 6 cũng được học điều này nhưng lại không áp dụng kỹ thuật này trong bài toán tìm ƯCLN. Ngoài ra, thuật chia Euclide dù có thể được xem là thuật toán đầu tiên để giải quyết kiểu nhiệm vụ này nhưng lại không được nhắc đến trong chương trình môn Toán 6. Cho đến lớp 10, khi học về Thuật toán ở môn Tin học, HS mới có dịp tiếp cận thuật chia Euclide.
Ngoài ra, khi nghiên cứu sách Pre-Algebra của Mỹ, chúng tôi đã thấy các tác giả của sách này đã sử dụng sơ đồ Venn để minh họa và phần nào giải thích cho τ3 - kỹ thuật phân tích ra thừa số nguyên tố. Đây cũng là kỹ thuật chính được giới thiệu trong bài học về ƯCLN ở sách này. Bên cạnh đó, sách Pre-Algebra cũng đưa ra kỹ thuật liệt kê hay thuật toán Euclide giúp giải quyết kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN, dù thuật toán Euclide không được giải thích trong quyển sách này.
Hơn nữa, sách Pre-Algebra còn cung cấp một khái niệm mới lạ trong kiểu nhiệm vụ phân tích đa Thức thành nhân tử mà ở chương trình Việt Nam không đề cập: đó là ƯCLN của các đơn thức. Tên gọi này ngoài việc liên hệ với kiến thức vừa học còn nói lên kỹ thuật để rút thừa số chung. Ngay cả trong bài học về phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp rút thừa số chung, SGK lớp 8 cũng không hề nói đến kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này.
Sang đến chương IV, chúng tôi xây dựng bộ câu hỏi thực nghiệm để tìm lời giải đáp cho các câu hỏi được đặt ra ở những chương trước, cũng như trả lời cho giả thuyết nghiên cứu. Thực nghiệm thu được một số kết quả như sau: