Phân tích hậu nghiệm

4. Tổ chức luận văn

4.4. Phân tích hậu nghiệm

Sản phẩm thu được:

− Giấy nháp, phiếu trả lời của 6 nhóm.

− Ghi âm 6 nhóm.

− Ghi hình 1 nhóm và ghi hình quá trình thực nghiệm.

a) Pha 1

Thông qua sản phẩm thu được, chúng tôi nhận thấy các nhóm bắt đầu khá tốt trong việc hình thành lời giải 1 của câu hỏi 1. Hầu hết các nhóm đều sử dụng chiến lược Sbđt là cách giải đầu tiên của nhóm:

Sở dĩ chiến lược Sbđtđược ưu tiên hơn so với các chiến lược khác có thể là vì trong tiết trước, khi ôn lại kiến thức về số trung vị, cách tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số, chúng tôi có nhắc lại một số bất đẳng thức thông dụng: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối,... Điều này ảnh rõ ràng có ảnh hưởng đến việc chọn chiến lược của các nhóm (xem thêm biên bản của nhóm 5, đoạn từ 1 – 27, phụ lục 6): 11. HS2: Nháp trước nhá. x + 1 đúng không, x – 2 nè. (HS2 ghi ra nháp: x 1 x 1 x 2 2 x A 3 x 3 0  + ≥ +  − ≥ − _⇒ ≥  − ≥ _ )

12. HS2: Cộng lại, ra là 3. Như vậy, A 3≥ . Đúng không? 13. HS4: Điều kiện xảy ra.

14. HS2: x lớn hơn bằng 1, trừ 1; x bé hơn bằng 2, x = 3. Đúng không?

15. HS3: Không được, không được. Xếp lại đi… xếp lại cho nó.. Cái số lớn nhất, bé hơn số lớn nhất và lớn hơn số nhỏ nhất.

16. HS4: Đây nè, cái này bé hơn bằng 0 nè.

Mặc dù trong phiếu bài làm của các nhóm không xuất hiện chiến lược Sxd và Sđồ_thị, nhưng thông qua ghi âm và nháp thu được, chúng tôi nhận thấy có 5/6 nhóm thảo luận về hai chiến lược này:

28. HS2: (Ghi xong cách 1) Vậy là được rồi, thử tìm cách khác đi. 29. HS1: Xét dấu đi.

30. HS2: Xét dấu hả?

31. HS1: Xét dấu đi, lập bảng xét dấu đó.

123. HS4: Còn cách nào nữa không?

124. HS2: Hay là mình vẽ đồ thị.

(Các HS ngập ngừng)

(Xem thêm đoạn 130 – 141 biên bản nhóm 5, phụ lục 6)

Tuy nhiên, các HS đều gặp khó khăn khi sử dụng chiến lược Sxd và S_{đồ_thị}. Cụ thể, 5/6 nhóm lập bảng xét dấu các nhị thức bậc nhất trong dấu giá trị tuyệt đối nhưng không biết xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số. Có 1/6 nhóm xét được giá

trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng

(

]

Với cách trình bày này, HS giải thích:

“Để B đạt min thì ít nhất một trong bốn giá trị tuyệt đối này phải bằng 0. Em xét nghiệm. Cái thứ nhất nghiệm là -1, rồi bằng 3, 2 và 7.5 (HS chỉ các giá trị tuyệt đối |x+1|, |x-3|, |x-2| và |x-7,5|). Rồi thế các giá trị này vào biểu thức B thì được đáp số như thế này (HS chỉ các giá trị của B trong ứng với từng giá trị của x (-1, 3, 2, 7.5) lần lượt

là 15.5, 9.5, 9.5, 18.5). Suy ra được B nhỏ nhất là 9.5. Trong khoảng từ 2 đến 3 thì B min là 9.5”

….(GV và các HS khác thắc mắc về việc nhóm này chỉ xét giá trị biểu thức tại x 2= , x=3 nhưng lại có thể kết luận hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trong đoạn [2 ;3]. HS giải thích rằng đã thử một giá trị thuộc đoạn [2 ;3] là x = 2.5 và nhận thấy nhận xét của mình là đúng). Sau khi tham khảo ý kiến của một nhóm khác, HS trả lời:

“Bài này thực ra là vẽ đồ thị. Trong khoảng từ 2 đến 3 thì thấy đường đi ngang, đồ thị của hàm số đi ngang…”

Như vậy, thông qua câu trả lời của HS, chúng tôi nhận thấy xuất hiện chiến lược sau: Sđiểm_mút: Xét hàm số ^N i i 1 y x a = =

∑

− Tính các giá trị Sicủa hàm số lần lượt tại các giá trị ai.

− So sánh các Si , chọn Si nhỏ nhất, gọi là Si_min.

− Nếu có một giá trị ak ứng với Si_min thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại ak. Nếu có hai giá trị ak và a_l ứng với Si_min thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại mọi x nằm giữa hai giá trị ak và a_l (bao gồm cả hai đầu mút là ak và a_l). Rõ ràng trong chiến lược Sđiểm_mút, HS không xác định được cận dưới của

hàm số ^N i

i 1

y x a

=

=

∑

N

i i 1

y x a

=

=

∑

i 1

y x a

=

=

∑

đối với một số hàm số mà biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không là nhị thức bậc nhất thì điều này không còn đúng. Do đó, chúng tôi yêu cầu HS nêu ra cơ sở lý luận khi sử dụng chiến lược này.

Để giải thích cho chiến lược Sđiểm_mút, HS quay lại với chiến lược quen thuộc là chiến lược Sđồ_thị. Điều này có thể hiểu là do HS đã được rèn luyện kĩ năng vẽ và “đọc” đồ thị (xác định thông tin từ đồ thị) ở các cấp lớp trung học cơ sở và lớp 10, nên HS có cơ sở để giải thích cho các lập luận của mình.

Như vậy, trong pha 1, HS đã sử dụng các chiến lược Sbdt, S_{đồ_thị,} S_xd (xuất hiện thêm chiến lược Sđiểm_mút so với phân tích ban đầu của chúng tôi) và chiến lược

S_tk hoàn toàn vắng mặt. Sau đây là bảng thống kê các chiến lược mà HS sử dụng

trong pha 1:

Bảng 4.1: Bảng thống kê các chiến lược HS sử dụng trong câu hỏi 1

Chiến lược S_bdt S_{đồ_thị} S_xd S_{điểm_mút} S_tk

Số nhóm 6 2 5 1 0

b) Pha 2

Những phân tích trong pha này chủ yếu chúng tôi dựa vào phiếu số 2, giấy nháp và băng ghi âm cuộc thảo luận của các nhóm.

Khó khăn của một số HS trong pha này là không nhớ thuật toán tìm số trung vị, từ đó dẫn đến việc đưa ra các suy luận về định nghĩa số trung vị như “số trung vị là số đứng ở vị trí chính giữa”, “số trung vị là trung bình cộng của các số”…

Một số sự nhầm lẫn ban đầu của HS như sau:

“

( )

Phần lớn các HS đều xác định số trung vị dựa vào kĩ thuật 1 Tính

τ (chúng tôi đã nhắc lại kĩ thuật này trong phần ôn tập cho HS ở tiết trước)19. Sau pha 2, chưa có

HS nào nhận ra mối liên hệ giữa câu hỏi 1 và câu hỏi 2. Các HS chỉ giải quyết hai

câu hỏi này như hai bài toán độc lập.

c) Pha 3

Pha 3 diễn ra nhanh chóng với việc giải quyết nhiệm vụ quen thuộc đối với HS: tính giá trị biểu thức tại giá trị x cho trước. Tất cả các nhóm đều đưa ra kết quả đúng.

Tuy nhiên, sau khi tính giá trị của biểu thức tại số trung vị của mẫu dữ liệu tương ứng, một số nhóm nhận xét được mối quan hệ giữa câu hỏi 1 và 2, từ đó thu nhận chiến lược Stk. Chẳng hạn, nhóm 3 thảo luận như sau:

HS3: Số trung vị của một biểu thức sẽ là… HS4: Tại đó thì…

HS1: Số trung vị của nghiệm…

HS1: Số để cho… tại đó… tại đó… giá trị… HS1: Nhỏ nhất! Nhỏ nhất!

HS3: Hiểu nãy giờ Cô muốn làm gì rồi. x = Me, Me = 2. Thế vào A ta có… HS3: Đúng rồi, số trung vị của nghiệm. Ồ!...

…

HS3: Số trung vị của nghiệm.

HS1: Không phải nghiệm, không phải nghiệm. Sao cái đó là nghiệm được. HS3: Nghiệm đúng rồi. Nghiệm của cái này đó.

HS1: Nghiệm của từng biểu thức hả?

HS4: Không phải. Biểu thức thì không có nghiệm.

19Đối tượng thực nghiệm là HS lớp 11, phần lớn HS không nhớ thuật toán tìm số trung vị của mẫu số liệu nên chúng tôi nhắc lại thuật toán này trong phần ôn tập ở tiết trước.

HS3: Tại giá trị của x mà giá trị tuyệt đối bằng 0. Tại x mà giá trị tuyệt đối bằng 0. HS3: Ghi sao? Tại x mà giá trị tuyệt đối của biểu thức bằng 0. Biểu thức này…

HS1: Ghi là cái này bằng 0 khi x = -1, cái này bằng 3 khi x bằng… bằng 0 khi x bằng 3, cái này bằng 0 khi x bằng 2.

HS2: Số trung vị của ba số đó là 2, khi thế vô A thì được giá trị nhỏ nhất. Vậy suy ra…

Như vậy, pha 3 đã thực hiện tốt vai trò “cầu nối” của mình trong việc tạo ra mối liên hệ giữa câu hỏi 1 và câu hỏi 2. Từ đó, giúp HS hình thành được chiến lược mới để giải quyết kiểu nhiệm vụ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ^N i

i 1

y x a

=

=

∑

Chiến lược Stkđã xuất hiện ở 3/6 nhóm.

d) Pha 4

Với bước nhảy về số hạng tử |x – ai| trong pha 4, các HS đã rút ra nhận xét về mối liên hệ của việc tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số và số trung vị của mẫu dữ liệu tương ứng có cơ hội áp dụng chiến lược mới của mình. Ngoài ra, pha 4 còn có tác dụng hỗ trợ pha 3 trong việc tạo “cầu nối”, tạo thêm cơ hội cho HS hình thành chiến lược Stk.

Thật vậy, mặc dù có 2 nhóm vẫn sử dụng chiến lược Sbđt nhưng thông qua băng ghi âm, chúng tôi nhận thấy chiến lược sử dụng số trung vị vẫn được HS nhắc đến:

HS3: Ủa, sao tụi bay không nhận xét trung vị ?

HS1: Gì?

HS3: Số trung vị mình mới làm đó, sao tụi bay không áp dụng?

HS1: Số trung vị đó hả?

HS2: (vẫn tiếp tục cách dùng bất đẳng thức) 192 HS1: Ờ, sử dụng số trung vị.

(Xem thêm đoạn 303 – 310, biên bản nhóm 5, phụ lục 6)

Thông qua băng ghi âm thảo luận và phiếu làm bài của HS cho thấy, có 6/6 nhóm hình thành chiến lược Stk. Trong đó, có 1 nhóm thảo luận chiến lược Stk nhưng hai HS trong nhóm sử dụng chiến lược Sbđt để giải quyết bài toán và đưa đến kết quả sai lầm:

Một trong những trở ngại của HS trong pha 4 là việc hình thành mẫu số liệu từ các giá trị aicủa hàm số. Có 3/5 nhóm xác định sai mẫu số liệu trong lần giải đầu tiên:

− Không quan tâm đến hệ số đứng trước các giá trị tuyệt đối. VD: 2|x – 2| thì HS chỉ ghi một giá trị -2 trong mẫu số liệu.

− Không quan tâm đến dạng của các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. VD: |x + 7| thì HS ghi giá trị là 7 trong mẫu số liệu.

Tuy nhiên, sai lầm này chỉ là nhất thời và hầu hết các nhóm đều nhận ra, sửa chữa kịp thời. Có 1/5 nhóm đếm nhầm số giá trị của mẫu số liệu dẫn đến việc tính toán sai kết quả.

Chúng tôi cho rằng một số sai lầm trong việc hình thành mẫu số liệu không làm giảm sức thuyết phục đối với khẳng định: Sau pha 4, HS hình thành được chiến lược Stk để giải quyết kiểu nhiệm vụ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

N i i 1 y x a = =

∑

Sau khi GV thực hiện thể chế hóa các chiến lược mà HS sử dụng trong câu hỏi 4, tất cả HS có thể thu nhận chiến lược Stk . Điều đó thể hiện trong các thông báo mà HS viết cho bạn để giải thích cách xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số:

e) Pha 5

Nội dung pha 5 giúp chúng tôi điều tra quan niệm của HS về “nghĩa” của số trung vị. Một điều tất yếu là HS không thể phát biểu “nghĩa” của số trung vị là giá trị tối tiểu hóa tổng các độ lệch của nó so với các giá trị còn lại của mẫu số liệu. Có chăng, HS chỉ nhận ra số trung vị của mẫu số liệu chính là giá trị làm cho hàm số

N

i i 1

y x a

=

=

∑

Nhóm 3: “Với biểu thức A= −x a₁ + −x a₂ + + −... x a_n . Số trung vị của mẫu dữ liệu a1, a2,…, an (a₁≤a₂≤ ≤... a_n) sẽ là giá trị mà tại đó biểu thức A sẽ đạt giá trị nhỏ nhất (với n lẻ) và là giá trị trong khoảng tại đó A đạt GTNN (n chẵn) (Me nằm trong khoảng của giá trị thứ ⁿ

2 ^và n

1 2+ )”

Nhóm 4: “Số trung vị là số trung bình của khoảng chứa nghiệm để phương trình đạt giá trị nhỏ nhất nếu N là số chẵn. Với N là số lẻ thì số trung vị là giá trị mà tại đó biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất”.

Nhóm 5: “Số trung vị có thể dùng để áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số có dạng M= −x a₁ + −x a₂ + + −... x a_n . Định nghĩa số trung vị là số hạng mà tại đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.”

Những quan sát trong pha 5 cho thấy HS có thể hiểu được YN2 của số trung vị. Tuy nhiên, họ chỉ có thể phát biểu ý nghĩa này dưới dạng “ngôn ngữ giải tích”: hàm số, giá trị tuyệt đối,…. Do đó, pha 6 đòi hỏi GV phải thể chế hóa, giúp HS hiểu được YN2 của số trung vị với các thuật ngữ thống kê.

f) Pha 6

Nội dung pha 6 chủ yếu là phần giải thích, vấn đáp của GV với HS nhằm giúp HS hiểu YN2 của số trung vị của một mẫu số liệu: giá trị làm tối tiểu hóa tổng các độ lệch giữa nó so với các giá trị khác của mẫu số liệu.

GV giới thiệu sơ lược nguồn gốc xuất hiện của số trung vị, giải thích các thuật ngữ “tối tiểu”, “độ lệch”,… và thể chế hóa các “nghĩa”, đặc biệt nhấn mạnh YN2 của số trung vị.

Vào thế kỉ 18, Copecnic, Kepler và đ ặc biệt là Newton đã nghiên c ứu thiên văn học dựa trên lý thuyết toán học.

Copecnic Newton Kepler

Công việc của các nhà thiên văn h ọc lại dựa trên công việc đo đạc, điều này không tránh khỏi các sai sót ngay cả khi đã c ó một lý thuyết tốt.

Những sai lầm này sinh ra một phần do con người, một phần do các dụng cụ đo đạc không chính xác tuyệt đối.

Khúc xạ môi trường

Khuyết điểm khi quan sát

Rung động khác nhau

SAI LẦM!!!!!!!!!!!!!

Đo 10 lần, 100 lần, 1000 lần… kết quả của các phép đo không giống nhau tìm cách hạn chế đến mức thấp nhất các sai lầm.

a₁ a₂ a₃ … a_n

Nếu người ta cực tiểu hóa tổng bình phương của cùng những chênh lệch (giữa giá trị đo đư ợc và giá trị chính xác) người ta nhận được số trung bình.

( ) (2 )2 ( )2

1 2 n

x−a + x−a + +... x−a →min

TRUNG BÌNH

Nếu người ta cực tiểu hóa tổng các chênh lệch (giữa giá trị đo được và giá trị chính xác), người ta nhận được trung vị

1 2 n

x−a + −x a + + −... x a →min

TRUNG VỊ

Thuật toán tìm GTNN của hàm số y = |x-a₁|+ x-a₂|+…+ |x-a_n|

Sắp xếp các giá trị aitheo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.

Nếu n là số lẻ thì hàm số đạt GTNN tại giá trị ở vị trí thứ (n+1)/2. Nếu n là số chẵn thì hàm số đ ạt GTNN tại giá trị xOthuộc [a_n/2;a_(n/2)+1]

Thuật toán tìm số trung vị

Ý NGHĨA CỦA SỐ TRUNG VỊ

Số trung vị của mẫu số liệu là giá trị làm cực tiểu hóa tổng các chênh lệch giữa một giá trị x với các giá trị còn lại của mẫu dữ liệu. Số trung vị được hiểu như thế nào trong thống kê?

Giá trị chia đôi m ẫu số liệu thành hai