Phân tích sách giáo khoa

4. Tổ chức luận văn

2.2. Phân tích sách giáo khoa

Số trung vị được trình bày trong bài 3: “Số trung bình cộng. Số trung vị. Mốt” (đối với SGKcb), trong bài 3: “Các số đặc trưng của mẫu số liệu” (bao gồm số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn) (đối với SGKnc), sau khi học sinh đã học cách trình bày một bảng số liệu: bảng phân bố tần số, tần suất, biểu đồ,… Nội dung các tham số định tâm được gợi ý dạy trong thời gian 2 tiết (90 phút) (SGVcb) và trong thời gian 3 tiết (135 phút) (SGVnc). Ngoài phần ôn tập các kiến thức về thống kê đã học ở lớp 7, sách giáo khoa lớp 10 (SGKcb, SGKnc) còn đưa những vấn đề mới như cách tính số trung bình trong trường hợp bảng phân phối tần số ghép lớp và số trung vị. Trong đó, số trung vị hoàn toàn mới mẻ với học sinh. Như vậy, liệu với 90 phút (hoặc 135 phút) có đủ để giáo viên làm rõ ý nghĩa và vai trò của các tham số định tâm, đặc biệt là số trung vị? Kiến thức về số trung vị sẽ chiếm lượng thời gian bao nhiêu trong tiết học?Liệu giáo viên có trình bày theo đúng trật tự của sách giáo khoa (số trung bình  số trung vị  mốt) hay sẽ có cách lựa chọn khác? Nếu có, nguyên nhân của sự thay đổi đó là gì?

Để thuận tiện cho việc phân tích, chúng tôi tóm tắt nội dung các tham số định tâm được trình bày trong SGKnc và SGKcb trong bảng sau:

Bảng 2.1. Cấu trúc trình bày các tham số định tâm trong SGKnc và SGKcb

SGKnc

(thời gian gợi ý: 135 phút)

SGKcb

(thời gian gợi ý: 90 phút)

1. Số trung bình

− Số trung bình trong trường hợp dữ liệu được cho dưới dạng bảng phân bố tần số ghép lớp

− Ý nghĩa của số trung bình

− Có 2 ví dụ

2. Số trung vị

− Thuật toán tìm số trung vị.

− Có 1 ví dụ và 2 hoạt động

3. Mốt

− Định nghĩa mốt

I. Số trung bình

− Số trung bình trong trường hợp dữ liệu được cho dưới dạng bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp (nêu cụ thể từng trường hợp)

− Có 2 ví dụ, 1 hoạt động

II. Số trung vị

− Thuật toán tìm số trung vị

− Có 2 ví dụ và 1 hoạt động

− Có 2 ví dụ

(Ngoài ra còn trình bày về phương sai, độ lệch chuẩn)

Bài tập: Có 3 bài tập áp dụng

4 bài tập trong phần “Luyện tập” (phần tiếp theo, 45 phút)

− Định nghĩa mốt

− Có 1 ví dụ

Bài tập: Có 5 bài tập áp dụng

Xét về cấu trúc: Số trung vị được trình bày sau số trung bình cộng, trước mốt. SGKnc và SGKcb đều nêu một ví dụ trong đó các giá trị của mẫu số liệu có sự chênh lệch lớn, nên số trung bình không là một đại diện tốt, sau đó giới thiệu một đặc trưng khác thích hợp hơn, đó là số trung vị. Từ điều này ta có thể nhận xét rằng

vai trò của số trung vị được nêu trong sách giáo khoa lớp 10 là “giá trị đại diện”

của mẫu số liệu: trong một số trường hợp, chẳng hạn như các số liệu thống kê có sự

chênh lệch lớn, số trung bình không đại diện được cho các số liệu đó, thì số trung vị sẽ thay thế vai trò của số trung bình, trở thành đại diện của mẫu dữ liệu.

Sau đó, SGKnc và SGKcb nêu thuật toán tìm số trung vị như sau:

Giả sử ta có một mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Nếu N là một số lẻ thì số liệu đứng thứ ^{N 1}

2 +

(số liệu đứng chính giữa) gọi là số trung vị.

Trong trường hợp N là một số chẵn, ta lấy số trung bình cộng của hai số liệu đứng thứ N

2 ^và N

1

2 + làm số trung vị. Số trung vị được kí hiệu là M_e

(SGKnc, trang 172) Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm (hoặc không tăng). Số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu là M_e là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử là chẵn.

(SGKcb, trang 121)

Hai thuật toán tìm số trung vị được nêu trong SGKcb và SGKnc có bản chất giống nhau. Tuy nhiên, chúng tôi băn khoăn rằng cách trình bày của chúng có thể tạo nên một số điểm thuận lợi hoặc khó khăn cho HS như sau:

SGKnc SGKcb

− Yêu cầu sắp xếp các giá trị của mẫu theo thứ tự không giảm. Tuy nhiên, bước này không được nhấn mạnh như trong SGKcb. Cụm từ “giả sử ta có … được sắp xếp theo thứ tự không giảm” không có tính nhấn mạnh, độc giả có thể không chú ý và bỏ qua bước kiểm tra tính thứ tự của các số liệu trong mẫu.

− HS có thể dễ dàng tìm số trung vị bằng cách thay giá trị N vào công thức trong thuật toán.

− Yêu cầu sắp xếp các giá trị của mẫu theo thứ tự không giảm (hoặc không tăng) là bước đầu tiên của thuật toán tìm số trung vị, được nêu cụ thể thành bước riêng biệt.

− HS phải xác định được giá trị “đứng giữa” dãy dữ liệu trước khi tính số trung vị dựa vào công thức trong thuật toán. Ở đây, SGKcb không chỉ ra cách tìm giá trị đứng giữa dãy dữ liệu. Chúng tôi nhận thấy rằng điều này có thể gây khó khăn cho HS trong việc tìm số trung vị.

Để minh họa cho thuật toán trên, sách giáo khoa trình bày một ví dụ về tính số trung vị:

“Ví dụ 3. Điều tra về số học sinh trong 28 lớp học, ta được mẫu số liệu sau (sắp xếp theo thứ tự tăng dần):

38 39 39 40 40 40 40 40 40 41 41 41 42 42 43 43 43 43 44 44 44 44 44 45 45 46 47 47 Số liệu đứng thứ 14 là 42, đứng thứ 15 là 43. Do vậy, số trung vị là

e 42 43 M 42 5 2 ^, + = = . (SGKnc trang 173)

Ví dụ 3. Điểm thi Toán của bốn học sinh lớp 6 được xếp thành dãy không giảm là 1; 2,5; 8; 9,5.

Trong dãy này có hai số đứng giữa là 2,5 và 8.

Khi đó, ta chọn số trung vị là trung bình cộng của hai số này

e 2 5 8 M 5 25 2 , , + = =

(SGKcb trang 121)” Và hoạt động:

H2 Đo chiều cao của 36 học sinh của một trường, ta có mẫu số liệu sau, sắp xếp theo thứ tự tăng (đơn vị: cm):

160 161 161 162 162 162 163 163 163 164 164 164 164 165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167 168 168 168 168 169 169 170 171 171 172 172 174

Tìm số trung vị của mẫu số liệu này.

(SGKnc trang 173)

Trong bảng phân bố tần số, các số liệu thống kê đã được sắp thứ tự thành dãy không giảm theo các giá trị của chúng.

Hãy tìm số trung vị của các số liệu thống kê cho ở bảng 9.

Số áo bán được trong một quý ở một cửa hàng bán áo sơ mi nam

Cỡ áo 36 37 38 39 40 41 42 Cộng

Tần số

(số áo bán được) ^{13 45 126 110 126 40 5 465}

Bảng 9

(SGKcb trang 121)” Mặc dù trong các ví dụ và hoạt động đưa ra, đề bài đều có nhắc đến việc các giá trị của dữ liệu đã được sắp xếp; nhưng chúng tôi nghi ngờ rằng có thể việc dữ liệu được sắp xếp sẵn vô tình khiến học sinh bỏ qua bước kiểm tra tính thứ tự của các giá trị trong mẫu. Vậy trong tiết học về số trung vị, giáo viên có đưa ra các trường hợp mẫu số liệu chưa được sắp xếp thứ tự? phản ứng của học sinh như thế nào khi gặp những trường hợp này?

Không chỉ vậy, chúng tôi còn nhận thấy rằng yêu cầu tìm số trung vị của mẫu số liệu được đề cập như là một nhiệm vụ cơ bản, có tính lặp lại (thông qua ví dụ và hoạt động). Ý nghĩa số trung vị không hề được nhắc đến. Trong các phân tích ở phần trước, chúng tôi ghi nhận rằng một trong các yêu cầu khi học về các tham số định tâm được chương trình nêu rõ: “biết được một số đặc trưng của dãy số liệu: số trung bình, số trung vị, mốt và ý nghĩa của chúng”, và trong sách giáo viên, yêu cầu này cũng được lặp lại: “giáo viên khi dạy cần chú ý để cho học sinh hiểu rõ ý nghĩa của các số đặc trưng trong những tình huống thực tế” (SGVnc), “bước đầu cho học

sinh tìm hiểu về số trung vị (ý nghĩa, cách tìm)”(SGVcb). Rõ ràng, mục tiêu hiểu ý nghĩa của số trung vị vẫn được thể chế quan tâm, nhưng trong phần trình bày lý thuyết và các ví dụ minh họa của sách giáo khoa lớp 10, điều này không được nhắc đến. Vậy, kiểu nhiệm vụ này xuất hiện khi nào, ở đâu, gắn liền với những tổ chức toán học nào? giáo viên có ý thức được điều đó? Những “nghĩa” nào của số trung vị đã được thể chế chọn và giới thiệu? Điều đó có bảo toàn hoặc có mối liên hệ gì với ý nghĩa ban đầu5 của số trung vị?

Tìm câu trả lời cho những vấn đề trên, chúng tôi tiếp tục phân tích và chỉ ra các tổ chức toán học xoay quanh các kiểu nhiệm liên quan đến số trung vị tồn tại trong SGKnc và SGKcb.

Các tổ chức toán học về số trung vị được trình bày trong SGKnc và SGKcb

• Kiểu nhiệm vụ Tđd: Chọn tham số định tâm làm “đại diện” cho mẫu số liệu

Kĩ thuật τ_ñd: Khi trong mẫu số liệu xuất hiện giá trị “đặc biệt” (chênh lệch lớn so với các giá trị còn lại) thì số trung vị được chọn làm “đại diện” cho mẫu số liệu.

Công nghệ: Hoàn toàn vắng mặt.

• Kiểu nhiệm vụ T_YN: Nêu ý nghĩa số trung vị

Kĩ thuật τYN: Nếu trong mẫu số liệu xuất hiện giá trị chênh lệch lớn so với các giá trị còn lại hoặc số giá trị quá ít thì ý nghĩa của số trung vị trùng khớp với vai trò của nó: số trung vị là giá trị “đại diện” cho mẫu số liệu (SGKcb).

Nếu các giá trị của mẫu số liệu không chênh lệch lớn thì ý nghĩa của số trung vị M làe : một nửa số giá trị của mẫu số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Me, một nửa còn lại lớn hơn hoặc bằng M (SGKnc). e

Công nghệ θ_YN: Hoàn toàn vắng mặt. Ví dụ 1

“Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toán (thang điểm là 20). Kết quả được cho trong bảng sau đây.

5 “Nghĩa” ban đầu là YN2 đã đề cập ở chương 1: số trung vị của một mẫu số liệu là giá trị làm tối tiểu hóa tổng các độ lệch của nó và các giá trị khác của mẫu số liệu.

Điểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100

a)…

b)Tính số trung vị và mốt. Nêu ý nghĩa của chúng.

(SGKnc trang 177) Gợi ý trả lời

b) M_e =15 5, (vì số liệu đứng thứ năm mươi là 15, số liệu đứng thứ năm mươi mốt là 16). Mốt là 16. Như vậy, có khoảng một nửa số học sinh có điểm dưới 15,5 và số học sinh đạt điểm 16 là nhiều nhất.

(SGVnc trang 230) Ví dụ 2

“Tiền lương hàng tháng của 7 nhân viên trong một công ti du lịch là: 650, 840, 690, 720, 2500, 670, 3000 (đơn vị: nghìn đồng).

Tìm số trung vị của các số liệu thống kê đã cho. Nêu ý nghĩa của kết quả đã tìm được.” (SGKcb, trang 123) Gợi ý trả lời

Sắp thứ tự các số liệu thống kê, ta thu được dãy tăng các số liệu sau

650, 670, 690, 720, 840, 2500, 3000 (nghìn đồng) Từ đó, Me =720 nghìn đồng

Số các số liệu thống kê quá ít

(

)

(SGVcb, trang 133)

• Kiểu nhiệm vụ TTính: Tìm số trung vị của mẫu số liệu

Kĩ thuật 1 Tính

τ : - Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần.

- Nếu số giá trị (N) là số lẻ thì số liệu đứng thứ ^{N 1} 2

+

là số trung vị. Nếu N là số chẵn thì trung bình cộng của hai số liệu đứng thứ ^N

2 ^và N 1 2 + là số trung vị. Kĩ thuật 2 Tính

- Nếu số giá trị là số lẻ thì số trung vị là giá trị đứng giữa dãy, nếu số giá trị là số chẵn thì số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng giữa dãy.

Kĩ thuật 3 Tính

τ : - Lập bảng tần số tích lũy đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần của các giá trị.

- Nếu số giá trị (N) là số lẻ thì số liệu đứng thứ ^{N 1} 2

+

là số trung vị. Nếu N là số chẵn thì trung bình cộng của hai số liệu đứng thứ ^N

2 ^và N

1

2 + là số trung vị.

Công nghệ θ_Tính: Hoàn toàn vắng mặt

Ví dụ minh họa các kĩ thuật của kiểu nhiệm vụ T_Tính Ví dụ 3 trang 173 SGKnc (đã nêu phía trên)

Điều tra về số học sinh trong 28 lớp học, ta được mẫu số liệu sau (sắp xếp theo thứ tự tăng dần):

38 39 39 40 40 40 40 40 40 41 41 41 42 42 43 43 43 43 44 44 44 44 44 45 45 46 47 47

Minh họa các kĩ thuật (chúng tôi dự kiến)  Kĩ thuật 1

Tính

τ : Ta có N 28 14 2 = 2 = .

Vậy số trung vị của mẫu dữ liệu là: M_e ^{42 43} 42 5

2 ^,

+

= =

 Kĩ thuật 2 Tính

τ : Vị trí chính giữa của dãy số liệu là vị trí 14 và 15. Vậy số trung vị của mẫu dữ liệu là: e

42 43 M 42 5 2 ^, + = =  Kĩ thuật 3 Tính τ : Bảng phân bố tần số tích lũy Giá trị 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 N Tần số 1 2 6 3 2 4 5 2 1 2 2 Tần số tích lũy ¹ 2+1 = 3 3+6 = 9 9+3 = 12 12+2 = 14 14+4 = 18 18+5 = 23 23+2 = 25 25+1 = 26 26+2 = 28

Vị trí thứ 14 và 15 là giá trị 42 và 43 nên số trung vị là e 42 43 M 42 5 2 ^, + = =

Kiểu nhiệm vụ T_Tính có thể được phân chia thành các nhiệm vụ sau:

− t

T

T _ính: Tính số trung vị khi dữ liệu cho dưới dạng “thô” (cho biết tất cả các giá trị của dữ liệu). Ví dụ: 2, 3, 15, 5, 7, 8, 0, 10

− b

T

T _ính: Tính số trung vị khi dữ liệu trình bày dưới dạng bảng phân bố tần số. Ví dụ:

Giá trị 1 3 20 -5

Tần số 7 2 1 10 N = 20

− bgl

T

T _ính: Tính số trung vị khi dữ liệu trình bày dưới dạng bảng phân bố tần số ghép lớp. Ví dụ:

Khoảng giá trị

[

) [

) [

) [

)

Tần số 7 2 1 10 N = 20

− ts

T

T _ính: Tính số trung vị khi dữ liệu trình bày dưới dạng bảng phân bố tần suất. Ví dụ:

Giá trị 1 3 20 -5

Tần suất 20% 10% 35% 35% N = 20 trong đó, nhiệm vụ bgl

T

T_ính và T_T^ts_ính không xuất hiện trong SGKnc và SGKcb. Các kĩ thuật ứng với kiểu nhiệm vụ T_Tínhđều có thể dùng để giải quyết các nhiệm vụ t

T

T _ính, T_T^b_ính, nhưng SGVnc và SGVcb không hướng dẫn sử dụng kĩ thuật nào để giải quyết, nên chúng tôi cho rằng các kĩ thuật được chọn lựa sẽ phụ thuộc vào GV, thông qua các tổ chức didactic được thực hiện trong tiết học.

Bảng 2.1: Bảng thống kê các tổ chức toán học trong SGKnc và SGKcb

Kiểu nhiệm vụ Nhiệm vụ Ví dụ và bài tập giải sẵn ^{Bài tập Tổng cộng} SGKnc SGKcb SGKnc SGKcb SGKnc SGKcb Tính T t T T_{ính (} ⁰¹ 1 Tính τ ) 01 (τ²_Tính) ^{05 04} 09 (81,82%) 06 (66,67%) b T T_ính ^Không có Không có ^{03 01} YN T Không Không 01 02 01 02

có có (9,09%) (22,22%) T_đd 01 01 ^Không có Không có 01 (9,09%) 01 (11,11%) Nhận xét

Thông qua những ghi nhận và bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ về số trung vị được trình bày trong SGK10, chúng tôi nhận thấy rằng:

− Kiểu nhiệm vụ “tìm số trung vị của mẫu số liệu” (TTính) chiếm lượng áp đảo (81,82% đối với SGKnc, 66,67% đối với SGKcb) so với kiểu nhiệm vụ “nêu ý nghĩa của số trung vị” (T_YN) (9,09% đối với SGKnc, 22,22% đối với SGKcb) và