4. Tổ chức luận văn
4.3. Phân tích tiên nghiệm
Biến tình huống và biến didactic
V1: Phương thức làm việc (biến tình huống liên quan đến môi trường hoạt động)
Có các giá trị:
− Làm việc cá nhân: có thể làm phong phú các chiến lược.
− Làm việc nhóm: có sự tranh luận để đưa ra chiến lược “tối ưu” (“tối ưu” ở đây có nghĩa là được sự đồng ý của các thành viên trong nhóm, và loại bỏ những lời giải sai).
− Làm việc tập thể cả lớp: có thể hợp thức câu trả lời trước tập thể.
V2: Yêu cầu của các bài toán:: Độ phức tạp của các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, yêu cầu về số cách giải,…
V3: Sự tương ứng giữa số hạng tử ở câu hỏi 1 và số giá trị của mẫu dữ liệu ở câu hỏi 2.
Có các giá trị:
− Mẫu số liệu của câu hỏi 2 là các giá trị a của câu hỏi 1. i
− Mẫu số liệu của câu hỏi 2 xuất hiện giá trị khác a i của câu hỏi 1. Ngoài ra, đối với từng câu hỏi còn có một số biến riêng như sau:
Câu hỏi 1
Vb11: Số hạng tử dạng x−ai (biến tình huống)
Có các giá trị:
− Số hạng tử là số chẵn hay là số lẻ.
− Số hạng tử “ít” hay “nhiều” (ở đây chúng tôi xem số hạng tử từ 1 – 10 là “ít”, trên 10 hạng tử được xem là “nhiều”).
Vb12: Dạng của các hạng tử
Có các giá trị: Dạng x−ai hay ai −x hay x+ −
( )
ai ,… Câu hỏi 4Vb4: Thời gian giải quyết bài toán
Có các giá trị: Ràng buộc thời gian hay không ràng buộc thời gian. Các chiến lược có thể
− Câu hỏi 1 đặt ra kiểu nhiệm vụ “Xác định giá trị của x để các biểu thức A, B đạt giá trị nhỏ nhất”. Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này, có thể có các chiến lược sau:
Chiến lược “vẽ đồ thị” Sđồ_thị: HS vẽ đồ thị của các hàm số đã cho, dựa
vào đồ thị nhận xét giá trị nhỏ nhất của hàm số.
(Đồ thị hàm số y x 1 x 3 x 2= + + − + − )
Chiến lược “bất đẳng thức giá trị tuyện đối” Sbđt: HS sử dụng các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (ví dụ, các bất đẳng thức a a a≥ ∀, ; a + b ≥ +a b,∀a b, ) VD: Xét biểu thức A x 1 x 3 x 2= + + − + − Biến đổi A: A x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 3 x = + + − + − = + + − + − Ta có
( ) ( )
x 1 x 1 x 1 3 x x 1 3 x 3 x 3 x A 4 x 2 4 + ≥ + ⇒ + + − ≥ + + − − ≥ − ⇒ ≥ + − ≥Dấu “=” xảy ra khi
x 1 0 x 1 3 x 0 x 3 x 2 x 2 0 x 2 + ≥ ≥ − − ≥ ⇔ ≤ ⇔ = − = =
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 4 khi x = 2.
Chiến lược “xét dấu” Sxd: HS dựa vào quy tắc xét dấu của nhị thức bậc
nhất để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, đưa hàm số ban đầu về “hàm ghép” các hàm số bậc nhất18. Từ đây, HS có thể xét giá trị nhỏ nhất của hàm số ban đầu trên từng khoảng, đoạn. Cuối cùng, HS kết luận giá trị nhỏ nhất của hàm số và giá trị x cần tìm.
VD: Xét hàm số y x 1 x 3 x 2= + + − + −
Bảng xét dấu:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên từng nửa khoảng, đoạn:
(
−∞ −; 1]
,[
−1 2;]
;[ ]
2 3; ;[
3;+∞)
. Sau đó, xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. Chiến lược “thống kê” Stk: Xét biểu thức N i
i 1
M x a
=
=
∑
− và một mẫusố liệu được tạo ra từ biểu thức M: a a1, 2,a3,....,aN. Xác định số trung vị Me của mẫu số liệu, tính giá trị của biểu thức M tại Me, đó chính là giá trị nhỏ nhất của biểu thức M.
Dựa vào những phân tích trong chương 2 và thực nghiệm 1 của chương 3, chúng tôi cho rằng chiến lược Stk không thể xảy ra trong pha 1. Do đó, cần xây dựng mối liên hệ giữa bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số và bài toán tìm số trung vị của mẫu số liệu để HS có thể thu nhận chiến lược Stk và hiểu được YN2 của số trung vị.
Chiến lược Sxd và Sđồ_thịthường đi chung với nhau. Bởi vì HS chỉ được cung cấp cách vẽ đồ thị hàm số y ax b= + ở lớp 10 bằng cách xét dấu để “phá giá trị tuyệt đối”. Tuy nhiên, nếu không được tạo thêm điều kiện thuận lợi thì chiến lược Sđồ_thị sẽ vẫn ít cơ hội xuất hiện hơn do tính phức tạp của nó. Ngoài ra, HS có thể gặp khó khăn với chiến lược Sxd về việc xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số trên từng khoảng, đoạn,…
Trong các chiến lược của bài toán 1, chúng tôi mong muốn HS sẽ sử dụng chiến lược Sbđt. Đây là chiến lược sử dụng các lập luận, quy tắc logic của toán học để chứng minh, tạo nên sự rõ ràng, HS có thể nhận biết được tính đúng sai một cách chắc chắn. Hơn nữa, chiến lược Sbđt giúp hình thành ý nghĩa và giải thích thuật toán của số trung vị, tạo mối liên hệ giữa số trung vị của mẫu dữ liệu và bài toán tìm giá
x 1+ x−2 x−3 x y −∞ −1 2 3 +∞ 0 0 0 0 0 x 1 − − x 1+ x 1+ x 1+ 2−x 2−x x−2 x−2 3 x− 3 x− 3 x− x−3 4 3x− 6−x x+2 0 3x−4
trị nhỏ nhất của hàm số (Sbđt đòi hỏi phải sắp xếp lại các hạng tử theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần các giá trị ai, và thể hiện rõ giá trị tìm được của x sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 50% số các giá trị ai). Do đó, nếu HS không sử dụng chiến lược Sbđt, GV có thể cung cấp một số gợi ý thông qua phương pháp vấn đáp để giúp HS nhận ra được chiến lược này.
− Câu hỏi 2 yêu cầu HS tìm số trung vị của mẫu dữ liệu. Mẫu dữ liệu đề bài cho có kích thước nhỏ (3 – 4 giá trị) và kĩ thuật tìm số trung vị đã được nhắc lại trong phần chuẩn bị, nên HS đa phần sẽ sử dụng chiến lược là kĩ thuật đã được GV cung cấp (thường là kĩ thuật 1
Tính
τ hoặc 2
Tính
τ , xem chương 2, trang 29 ). Nếu HS gặp khó khăn, GV có thể nhắc lại thuật toán tìm số trung vị đã được học ở lớp 10 để giúp HS giải quyết bài toán.
− Câu hỏi 3 yêu cầu tính giá trị biểu thức. Nhiệm vụ tính giá trị biểu thức tại một giá trị xác định hoàn toàn không gây khó khăn cho HS vì kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này đã được cung cấp trong chương trình toán lớp 7, 8.
− Trong câu hỏi 4, có một bước nhảy khi số hạng tử dạng x−ai tăng một cách đáng kể. Điều này gây nhiều hạn chế đối với chiến lược Sđồ_thị và Sxd . Trong khi đó, để có thể xuất hiện, chiến lược Sbđt và Stk đều có những điều kiện thuận lợi và khó khăn riêng. Chiến lược Sbđt quen thuộc hơn với HS, đặc biệt là sau khi HS đã được rèn luyện kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trong câu hỏi 1. Hơn nữa, chiến lược Stk với kĩ thuật không được thể chế quan tâm, hoàn toàn mới lạ với HS. HS chỉ có thể sử dụng chiến lược Stk nếu nhận xét được mối liên hệ giữa bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong câu hỏi 1 và bài toán tìm số trung vị của mẫu số liệu tương ứng trong câu hỏi 2. Nhằm ưu tiên cho chiến lược Stk, ngoài việc sử dụng câu hỏi 3 làm “cầu nối”, chúng tôi còn chọn biến Vb11: “Số hạng tử dạng x−ai ” với giá trị là “nhiều”. Điều này gây khó khăn cho chiến lược Sbđt trong điều kiện ràng buộc thời gian và có sự thi đua giữa các nhóm.
Phân tích kịch bản
Việc tách thực nghiệm làm sáu pha nhằm mục đích sau:
− Trong pha 1, HS có thể nhìn nhận bài toán trong môi trường giải tích và bằng các phương pháp thuần túy giải tích, đại số như dùng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối,
vẽ đồ thị hàm số,… để xác định giá trị của x làm cho hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. Chúng tôi yêu cầu HS giải bài toán bằng nhiều cách nhằm xem xét những chiến lược có thể xảy ra; qua đó, khảo sát khả năng xuất hiện của chiến lược Stk. Ngoài ra, việc để HS làm việc với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số dạng N i
i 1
y x a
=
=
∑
−trong môi trường giải tích nhằm giúp họ có niềm tin với nhận xét của mình (nếu có) về mối quan hệ giữa câu hỏi 1 và câu hỏi 2 (sau pha 3).
− Pha 2 là sự chuyển hóa đột ngột từ môi trường giải tích sang môi trường thống kê. Thoạt tiên, pha 2 hoàn toàn độc lập với pha 1, nhưng lại là bước chuẩn bị cho sự kết hợp của hai bài toán 1 và 2 được thực hiện ở pha 3. Chúng tôi cho rằng việc giải quyết kiểu nhiệm vụ Ttính với các giá trị đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần không gây khó khăn cho HS, nên HS trả lời cá nhân hoặc làm việc nhóm trong pha này không tạo nên sự khác biệt lớn.
− Pha 3 là tình huống để HS hình thành mối quan hệ giữa bài toán 1 và bài toán 2. Từ đó nhận ra một kĩ thuật khác để giải quyết kiểu nhiệm vụ trong bài toán 1, đồng thời có cơ hội hiểu thêm ý nghĩa (YN2) của số trung vị.
− Sau pha 3, để tạo thêm cơ hội xuất hiện cho chiến lược Stk, chúng tôi thực hiện pha 4 với bước nhảy về số lượng các hạng tử x−ai của biểu thức. Pha này đòi hỏi phải có sự thảo luận giữa các thành viên để chọn ra chiến lược “tối ưu” nhằm vượt qua ràng buộc thời gian để chiến thắng. Do vậy, chúng tôi ưu tiên cách việc nhóm trong pha 4.
− Có thể HS chỉ phát hiện ra một chiến lược mới để giải quyết bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số dạng N i
i 1
y x a
=
=
∑
− mà chưa hiểu được YN2 của số trung vị. Do đó, chúng tôi thiết kế pha 5 để tìm hiểu xem HS có hình thành được “nghĩa” mới về số trung vị hay không. Từ đó, GV có thể thực hiện thể chế hóa YN2 của số trung vị trong pha 6.− Pha 6 với mục đích thể chế hóa chiến lược được sử dụng trong pha 4, đồng thời tạo điều kiện để HS tổng quát hóa mối quan hệ giữa giá trị nhỏ nhất của hàm số
và số trung vị của mẫu số liệu gồm các giá trị aitương ứng. Từ đó, HS có thể hiểu được YN2 của số trung vị.
Có thể HS nghi ngờ rằng chiến lược Stk chỉ đúng ngẫu nhiên trong một số trường hợp, nên chúng tôi thiết kế pha 6 nhằm củng cố niềm tin của HS. Trong pha 6, chiến lược Sbđt được sử dụng để minh họa và giải thích cho thuật toán và YN2 của số trung vị.
