Cơ sở lý thuyết

Tái tạo hình ảnh HOMO của phân tử từ dữ liệu HHG là một bài toán ngược, do đó cơ sở toán học chủ yếu của phương pháp này chính là phép biến đổi Fourier ngược. Xuất phát từ sự tỉ lệ với bình phương lưỡng cực dịch chuyển của cường độ HHG được cho bởi biểu thức

    4    2

, d , .

S   N   a k     (2.1) Trong đó S ,  là cường độ HHG phát ra ứng với tần số  và góc định phương

; N  là tốc độ ion hóa của phân tử. Khác với công thức đã sử dụng trong công trình [49], biểu thức (2.1) đã thay thừa số 2 

N  bằng N  . Trong [49], các tác giả tiến hành phương pháp chụp ảnh phân tử N2 với nguồn HHG thực nghiệm, nghĩa là sóng phát ra từ một hệ vĩ mô, nhiều phân tử. Do đó, sóng tới máy thu có pha khác nhau và chính việc hiệu chỉnh pha đã làm xuất hiện thừa số 2 

N  .

Trong luận án này, chúng tôi mô phỏng HHG bằng mô hình Lewenstein, trong đó laser chỉ tương tác với một phân tử, do đó không cần phải hiệu chỉnh pha. Tốc độ ion hóa sử dụng trong biểu thức (2.1) được tính toán theo hướng tiếp cận gần đúng MO – ADK hoặc MO – SFA tùy từng trường hợp cụ thể. a k    là cường độ sóng phẳng mô tả trạng thái của điện tử khi quay trở lại tương tác với ion mẹ và phát xạ HHG. d , 

là vectơ lưỡng cực dịch chuyển từ trạng thái ban đầu (được mô tả bằng hàm sóng của HOMO) lên trạng thái điện tử tự do (được mô tả bằng hàm sóng phẳng):     3 / 2 0    d  ,  2  dr r, r expik  r,         (2.2) với k

là vectơ sóng. Trong công trình [49], các tác giả cho rằng

2 .

k   (2.3)

Tuy nhiên trong công trình [72] các tác giả đã sử dụng biểu thức

 

2 p ,

với Ip là thế ion hóa của phân tử. Việc có hay không có số hạng thế ion hóa trong biểu thức tán sắc (2.4) cũng được các tác giả khác thảo luận trong các công trình [54], [79]. Trong luận án này, chúng tôi sử dụng biểu thức tán sắc (2.4).

Từ biểu thức (2.1), với cường độ HHG có được ta có thể thu được giá trị của lưỡng cực dịch chuyển. Vì trường laser rất mạnh, do đó chuyển động của điện tử trong vùng liên tục coi như chịu ảnh hưởng rất yếu từ ion mẹ, biên độ sóng phẳng được xem như chỉ phụ vào thế ion hóa Ip. Do đó, trong thực tế để có được giá trị của a k   , người ta thường đo HHG của một nguyên tử có thế ion hóa gần bằng với thế ion hóa của phân tử đang khảo sát và các thành phần của lưỡng cực dịch chuyển của nguyên tử này đã biết trước. Ví dụ Ar ( Ip = 15.76 eV ) tương ứng với N2 ( Ip = 15.78 eV ), Xe ( Ip = 12.13 eV ) so sánh với O2 ( Ip = 12.03 eV ) và Kr ( Ip = 13.99 eV ) cho CO2 ( Ip = 13.79 eV ). Biểu thức a k    được tính như sau   2   1/ 2   1/ 2 dref , ref a k    S    k  (2.5)

với Sref   và dref  k lần lượt là cường độ HHG và lưỡng cực dịch chuyển của nguyên tử tương ứng. Chú ý rằng do hàm sóng nguyên tử có đối xứng cầu nên không cần định phương. Điều này giải thích cho việc không có thừa số phụ thuộc vào góc  trong biểu thức (2.5).

Thay giá trị biên độ hàm sóng phẳng (2.5) vào (2.1), giá trị tuyệt đối của lưỡng cực dịch chuyển có thể thu được bởi biểu thức sau:

  1       

, ref , / .

d k  N  d k S   Sref 

(2.6)

Để có được giá trị dk,

trong biểu thức (2.6), ta lưu tâm đến chú ý được đề cập trong công trình [39] về vấn đề thay đổi pha của HHG. Cụ thể, pha HHG sẽ

thay đổi một lượng  tại những điểm có cường độ cực tiểu trong miền phẳng. Với chú ý này, lưỡng cực dịch chuyển sẽ đổi dấu khi giá trị tuyệt đối (2.6) đi qua giá trị nhỏ nhất.

Từ kết quả lưỡng cực dịch chuyển theo hai thành phần song song và vuông góc với vectơ phân cực của laser, để thu nhận được hàm sóng của electron, ta phải chuyển chúng về hệ quy chiếu gắn với phân tử bằng phép quay một góc . Hàm sóng trong hệ quy chiếu gắn với phân tử thu được từ các dữ liệu lưỡng cực dịch chuyển bằng cách áp dụng định lí cắt lớp Fourier [53]. Các công thức chính

   cos sin      0 0 , ik x y cos x , sin y , , x x y d d e d d                      (2.7)    cos sin      0 0 , ik x y sin x , cos y , y x y d d e d d                       (2.8)

được sử dụng trong quá trình chụp ảnh cho phép thu nhận hình ảnh HOMO trong hệ quy chiếu gắn với phân tử. Theo hai biểu thức trên, ta cần phải có được số liệu cho hai thành phần lưỡng cực dịch chuyển dx , , dy ,  theo tất cả các bậc dao động tương ứng với các góc định phương biến đổi từ 00 đến 1800. Điều này đồng nghĩa với việc HHG cần được đo theo hai phương song song và vuông góc với vectơ phân cực, với tất cả các góc định phương từ 00 đến 1800. Tuy nhiên với trường hợp HOMO có dạng đối xứng như của N2, O2, CO2 ta chỉ cần đo khi góc này biến thiên trong khoảng 00 – 900. Trong luận án này, chúng tôi mô phỏng HHG theo hai phương vuông góc và song song với phương của vectơ phân cực của laser theo mô hình ba bước Lewenstein ứng với các góc định phương thay đổi từ 00 đến 900, với bước nhảy là 50. Từ các kết quả hàm sóng thu được cho thấy, bước nhảy 50 là hợp lý để có được hình ảnh HOMO phù hợp với thực nghiệm. Từ hai biểu thức (2.7) và (2.8), hàm sóng x y,  mô tả trạng thái điện tử lớp ngoài cùng được cho bởi

 ,  1  , /  , / . 2

x y x x y x y x y y

     (2.9)

Thực ra, điện tử chuyển động trong không gian với ba bậc tự do nên cần ba biến số không gian x y z, , để mô tả trạng thái. Vì vậy, hàm sóng  là hàm phụ thuộc vào ba biến số không gian như vừa đề cập. Tuy nhiên vì phân tử được định phương trong mặt phẳng vuông góc với hướng laser chiếu vào cho nên ta quan tâm hàm sóng trên mặt (x, y). Hàm sóng thu được từ chụp ảnh sẽ là hàm phụ thuộc hai biến

x y, 

 , bằng cách lấy tích phân trên toàn miền biến thiên của biến số thứ ba là z như mô tả trong biểu thức sau:

x y,  x y z dz, ,  .

 

   (2.10)