Để có thể phát biểu những kết quả tổng quát hơn chúng ta cần đến một số khái niệm.
Định nghĩa 1. Gọi Kn là bộ gồm hai tập V, E, trong đó V là tập gồm n điểm còn E là tập các đoạn nối giữa tất cả các cặp điểm trong V.
• Ta sẽ ký hiệu Kn = (V, E).
• Các phần tử của V đ ợc gọi là các đỉnh, và V là tập đỉnh của Kn.
• Mỗi đoạn nối hai đỉnh u, v ∈ V sẽ đ ợc gọi là một cạnh của Kn và ký hiệu là (u, v), và tập E đ ợc gọi là tập cạnh của Kn.
Cỏc số Ramsey
Ta có thể phát biểu lại kết quả trong ví dụ mở đầu nh sau: “Giả sử mỗi cạnh của K6 đ ợc tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Khi đó K6 luôn chứa hoặc K3 với tất cả các cạnh đ ợc tô màu xanh (gọi tắt là K3 xanh) hoặc K3
với tất cả các cạnh đ ợc tô màu đỏ (gọi tắt là K3 đỏ).
Chúng ta sẽ nói rằng số 6 có tính chất (3,3)-Ramsey.
Định nghĩa 2. Giả sử i và j là hai số nguyên sao cho i ≥ 2, j ≥ 2. Số nguyên d ơng m có tính chất (i,j)-Ramsey nếu Km với mỗi cạnh đ ợc tô bởi một trong hai màu xanh, đỏ luôn chứa hoặc là Ki đỏ hoặc là Kj xanh.
Cỏc số Ramsey
Từ phân tích ở trên ta thấy 6 có tính chất (3,3)-Ramsey, và mọi số
n<6 đều không có tính chất này. Vậy 6 là số nhỏ nhất có tính chất (3,3)-Ramsey. (3,3)-Ramsey.
Định nghĩa 3. Số Ramsey R(i,j) là số nguyên d ơng nhỏ nhất có tính chất (i,j)-Ramsey.
Chẳng hạn, từ kết quả vừa trình bày ở trên, ta có R(3,3) = 6.
Ví dụ. Tìm R(2,7) - số nguyên d ơng nhỏ nhất có tính chất (2,7)- Ramsey.
Giải: Tr ớc hết ta tìm số nguyên d ơng n sao cho với mọi cách tô các cạnh của Kn bởi hai màu xanh, đỏ luôn tìm đ ợc hoặc K2 đỏ hoặc K7 xanh. R(2,7) là số nhỏ nhất có tính chất này.
Cỏc số Ramsey
Xét một cách tô màu (tuỳ ý) các cạnh của K7. Rõ ràng hoặc là tìm đ ợc ít nhất một cạnh của K7 đ ợc tô màu đỏ, hoặc là tất cả các cạnh của nó đều đ ợc tô bởi màu xanh. Nếu có cạnh tô màu đỏ thì rõ ràng ta có K2 đỏ. Còn nếu tất cả các cạnh đều tô bởi màu xanh thì ta có K7 xanh. Vậy số 7 có tính chất (2,7)-Ramsey, và vì thế R(2,7) ≤ 7.
Nh ng R(2,7) không thể nhỏ hơn 7, bởi vì nếu tô tất cả các cạnh của K6 bởi màu xanh ta sẽ không tìm đ ợc K2
đỏ và cũng không tìm đ ợc K7 xanh.
Cỏc số Ramsey
Các tính chất cơ bản sau đây của số Ramsey R(i,j) có thể chứng minh bằng các lập luận t ơng tự nh trong các ví dụ đã trình bày:
• R(i,j) = R(j,i);
• Nếu m có tính chất (i,j)-Ramsey, thì mọi số n > m cũng có tính chất này;
• Nếu m không có tính chất (i,j)-Ramsey, thì mọi số n <
m cũng không có tính chất này;
Cỏc số Ramsey
Việc xác định số Ramsey R(i,j) đòi hỏi chúng ta phải tìm số nguyên d ơng nhỏ nhất có tính chất (i,j)-Ramsey. Liệu số này có tồn tại với mọi i ≥ 2, j ≥ 2 hay không? Định lý Ramsey cho ta khẳng định về sự tồn tại của các số này.
Định lý Ramsey. Nếu i ≥ 2, j ≥ 2 là các số nguyên d ơng thì luôn tìm đ ợc số nguyên d ơng với tính chất (i,j)- Ramsey (từ đó suy ra số R(i,j) là tồn tại).
Cỏc số Ramsey
Cỏc số R(i,j) vừa trỡnh bày ở trờn chỉ là một trong số nhiều dũng số Ramsey đó được nghiờn cứu.
Việc xỏc định R(i,j) với những giỏ trị i, j cụ thể luụn là cỏc bài toỏn tổ hợp khụng tầm thường. Hiện nay người ta mới biết giỏ trị của R(i, j) với rất ớt giỏ trị của (i,j).