Giả sử ta cú thể phủ kớn bàn cờ kớch thước 2n ì 2n. Ta phải chứng minh cú thể phủ kớn bàn cờ kớch thước 2n+1
ì 2n+1.
Thực vậy, chia bàn cờ 2n+1 ì 2n+1 ra thành 4 phần, mỗi phần kớch thước 2n ì 2n. Theo giả thiết qui nạp mỗi phần này đều cú thể phủ kớn bởi cỏc quõn bài chữ T. Đặt chỳng vào bàn cờ 2n+1 ì 2n+1 ta thu được cỏch phủ cần tỡm.
VÍ DỤ 2
Trờn mặt phẳng vẽ n đường thẳng ở vị trớ tổng quỏt. Hỏi ớt nhất phải sử dụng bao nhiờu màu để tụ cỏc phần bị chia bởi cỏc đường thẳng này sao cho khụng cú hai phần cú chung cạnh nào bị tụ bởi cựng một màu?
P(n): Luụn cú thể tụ cỏc phần được chia bởi n đường thẳng vẽ ở vị trớ tổng quỏt bởi 2 màu xanh và đỏ sao cho khụng cú hai phần cú chung cạnh nào bị tụ bởi cựng một màu.
Vớ dụ 2
Cơ sở qui nạp: Khi n = 1, mặt phẳng được chia làm hai phần, một phần sẽ tụ màu xanh, phần cũn lại tụ màu đỏ.
Giả sử khẳng định đỳng với n-1, ta chứng minh khẳng định đỳng với n.
Thực vậy, trước hết ta vẽ n-1 đường thẳng. Theo giả thiết qui nạp cú thể tụ màu cỏc phần sinh ra bởi hai màu thoả món điều kiện đặt ra. Bõy giờ ta vẽ đường thẳng thứ n. Đường thẳng này chia mặt phẳng ra làm hai phần, gọi là phần A và B. Cỏc phần của mặt phẳng được chia bởi n đường thẳng ở bờn nửa mặt phẳng B sẽ giữ nguyờn màu đó tụ trước đú. Trỏi lại, cỏc phần trong nửa mặt phẳng A mỗi phần sẽ được tụ màu đảo ngược xanh thành đỏ và đỏ thành xanh. Rừ ràng:
• Hai phần cú chung cạnh ở cựng một nửa mặt phẳng A hoặc B là khụng cú chung màu.
• Hai phần cú chung cạnh trờn đường thẳng thứ n rừ ràng cũng khụng bị tụ cựng màu (do màu bờn nửa A bị đảo ngược).
Vớ dụ 2X X Đ Đ Đ Đ Đ X X X
Vớ dụ 2X X Đ Đ Đ Đ Đ X X X A B Đ X Đ X X Đ X X
Vớ dụ 3