Vớ dụ: Chứng minh là số vụ tỷ
2.1. Chứng minh trực tiếp (Direct proofs)
(Direct proofs)
Chỳng ta bắt đầu bằng vớ dụ chứng minh tớnh bắc cầu của tớnh chất chia hết.
Định lý. Nếu a chia hết b và b chia hết c thỡ a chia hết c.
Proof. Theo giả thiết, và định nghĩa tớnh chia hết, ta suy ra tồn tại cỏc số nguyờn k1 và k2 sao cho
b = a k1 và c = b k2.
Suy ra
c = b k2 = a k1 k2.
Đặt k = k1 k2. Ta cú k là số nguyờn và c = a k, do đú theo định nghĩa về tớnh chia hết, a chia hết c.
2.1. Chứng minh trực tiếp(Direct proofs) (Direct proofs)
N u P, thỡ Q (If P, Then Q)ế
Phần lớn cỏc định lý (cỏc bài tập hay bài kiểm tra) mà bạn cần chứng minh hoặc ẩn hoặc hiện cú dạng “Nếu P, Thỡ Q".
Trong vớ dụ vừa nờu, "P" là “Nếu a chia hết b và b chia hết c " cũn "Q" là "a chia hết c".
Đõy là dạng phỏt biểu chuẩn của rất nhiều định lý.
Chứng minh trực tiếp cú thể hỡnh dung như là một dóy cỏc suy diễn bắt đầu từ “P” và kết thỳc bởi "Q".
P ⇒ ... ⇒ Q
Phần lớn cỏc chứng minh là chứng minh trực tiếp. Khi phải chứng minh, bạn nờn thử bắt đầu từ chứng minh trực tiếp, ngoại trừ tỡnh huống bạn cú lý do xỏc đỏng để khụng làm như vậy.
Vớ dụ
Vớ dụ 1. Mỗi số nguyờn lẻ đều là hiệu của hai số chớnh phương.
CM. Giả sử 2a+1 là số nguyờn lẻ, khi đú 2a+1 = (a+1)2 - a2.
Vớ dụ 2. Số 100...01 (với 3n-1 số khụng, trong đú n là số nguyờn dương) là hợp số.
CM. Ta cú thể viết 100...01 = 103n + 1, trong đú n là số nguyờn dương. Sử dụng hằng đẳng thức a3 + b3 = (a+b)(a2 - a b + b2) với a = 10n và b = 1, ta thu được
(10n)3 + 1 = (10n + 1)(102n - 10n + 1).
Do (10n + 1) > 1 và (102n - 10n + 1) > 1 khi n là nguyờn dương nờn ta cú đpcm.