Suy ra nếu k(i) < k(j) thì aj chia hết cho ai, còn nếu
Vớ dụ 4
Vớ dụ 4. Trờn mặt phẳng cho 5 điểm cú toạ độ nguyờn
Mi(xi, yi), i=1, 2, ..., 5. Chứng minh rằng luụn tỡm được 2 điểm sao cho đoạn thẳng nối chỳng, ngoài hai đầu mỳt, cũn đi qua một điểm cú toạ độ nguyờn khỏc nữa.
Giải. Ta sẽ chứng minh: Luụn tỡm được 2 điểm sao cho điểm giữa của đoạn thẳng nối chỳng cú toạ độ nguyờn. Theo tớnh chẵn lẻ của hai toạ độ, 5 điểm đó cho cú thể phõn vào nhiều nhất là 4 nhúm:
Vớ dụ 4
Từ đú theo nguyờn lý Dirichlet phải tỡm được một nhúm chứa ớt ra là 2 điểm, chẳng hạn đú là Mi, Mj. Khi đú điểm giữa Gij của đoạn thẳng nối Mi và Mi cú toạ độ
Gij = ((xi+xj)/2, (yi+yj)/2).
Do xi và xj cũng như yi và yj cú cựng tớnh chẵn lẻ nờn cỏc toạ độ của Gij là cỏc số nguyờn. Khẳng định của vớ dụ được chứng minh.
Khẳng định của vớ dụ cú thể tổng quỏt cho khụng gian n- chiều: “Trong khụng gian n-chiều cho 2n + 1 điểm cú toạ độ nguyờn. Khi đú luụn tỡm được 2 điểm sao cho đoạn thẳng nối chỳng, ngoài hai đầu mỳt, cũn đi qua một điểm cú toạ độ nguyờn khỏc nữa”.
Vớ dụ 5
Trước hết ta cần một số khỏi niệm.
Cho a1,a2, … an là dóy số thực.
n được gọi là độ dài của dóy số đó cho.
Ta gọi dóy con của dóy đó cho là dóy cú dạng ai1, ai2, …, aim, trong đú 1 ≤ i1 < i2 < . . . < im ≤ n
Dóy số được gọi là tăng ngặt nếu mỗi số hạng đứng sau luụn lớn hơn số hạng đứng trước.
Dóy số được gọi là giảm ngặt nếu mỗi số hạng đứng sau luụn nhỏ hơn số hạng đứng trước..
• Vớ dụ: Cho dóy số 1, 5, 6, 2, 3, 9.
• 5, 6, 9 là dóy con tăng ngặt của dóy đó cho
Vớ dụ 5
Định lý: Mỗi dóy gồm n2+1 số phõn biệt (nghĩa là cỏc phần tử là khỏc nhau từng đụi) luụn chứa hoặc dóy con tăng ngặt độ dài n+1 hoặc dóy con giảm ngặt độ dài n+1.
Vớ dụ: Dóy
8, 11, 9, 1, 4, 6, 12, 10, 5, 7
gồm 10 = 32+1 số hạng phải chứa hoặc dóy con tăng ngặt độ dài 4 phần tử hoặc dóy con giảm ngặt độ dài 4 phần tử. 1, 4, 6, 12
1, 4, 6, 711, 9, 6, 5 11, 9, 6, 5
Vớ dụ 5
Chứng minh: Giả sử a1, a2, …, an2+1 là dóy gồm n2+1 số phõn biệt. Gỏn cho mỗi số hạng ak của dóy số cặp cú thứ tự (ik,dk), trong đú ik là độ dài của dóy con tăng dài nhất bắt đầu từ ak cũn dk là độ dài của dóy con giảm dài nhất bắt đầu từ ak.
Vớ dụ: 8, 11, 9, 1, 4, 6, 12, 10, 5, 7
a2 = 11 , (2,4)
a4 = 1 , (4,1)
Bõy giờ giả sử khụng tồn tại dóy tăng cũng như dóy giảm
cú độ dài n+1. Khi đú ik và dk là cỏc số nguyờn dương ≤ n, với k = 1, 2, ..., n2+1.
Vớ dụ 5
Do 1 ≤ ik, dk ≤ n, nờn theo qui tắc nhõn cú tất cả n2 cặp cú thứ tự dạng (ik,dk) khỏc nhau.
Do ta cú tất cả n2 + 1 cặp (ik,dk), nờn theo nguyờn lý Dirichlet, hai trong số chỳng là trựng nhau.
Tức là tồn tại hai số hạng as và at trong dóy đó cho với
s<t sao cho is = it và ds = dt.
Ta sẽ chỉ ra điều này là khụng thể xảy ra.
Do cỏc số hạng của dóy là phõn biệt, nờn hoặc là as < at hoặc là as > at.
Vớ dụ 5
Nếu as < at, khi đú do is = it , ta cú thể xõy dựng dóy con tăng độ dài it+1 bắt đầu từ as, bằng cỏch nối đuụi nú bởi dóy con tăng độ dài it, bắt đầu từ at.
... , as , ..., at , ....
Suy ra dóy con tăng dài nhất bắt đầu từ as cú độ dài ớt ra là it + 1, nghĩa là is > it. Mõu thuẫn với giả thiết is= it.
Tương tự như vậy, nếu as > at, ta cú thể chỉ ra ds phải lớn hơn dt, và cũng đi đến mõu thuẫn.
Chương 2. BÀI TOÁN TỒN TẠI1. Gi i thi u b i toỏnớ ệ à 1. Gi i thi u b i toỏnớ ệ à
2. Cỏc k thu t ch ng minh c b nỹ ậ ứ ơ ả
3. Nguyờn lý Dirichlet