Vớ dụ: Chứng minh là số vụ tỷ
2.3. Chứng minh bằng phản đề
Vớ dụ 1. Nếu x và y là hai số nguyờn sao cho x+y là số chẵn, thỡ x và y cú cựng tớnh chẵn lẻ.
CM. Mệnh đề phản đề của khẳng định đó cho là “Nếu x
và y là hai số nguyờn khụng cựng chẵn lẻ, thỡ tổng của chỳng là số lẻ."
Vỡ thế ta giả sử rằng x và y khụng cựng chẵn lẻ. Khụng giảm tổng quỏt, giả sử rằng x là chẵn cũn y là lẻ. Khi đú ta tỡm được cỏc số nguyờn k và m sao cho x = 2k và y = 2m+1. Bõy giờ ta tớnh tổng x+y = 2k + 2m + 1 = 2(k+m) + 1, mà rừ ràng là số lẻ.
2.3. Chứng minh bằng phản đề
Vớ dụ 2. Nếu n là số nguyờn dương sao cho n mod 4 là bằng 2 hoặc 3, thế thỡ n khụng là số chớnh phương.
CM. Ta sẽ chứng minh mệnh đề phản đề: “Nếu n là số chớnh phương thỡ n mod 4 phải bằng 0 hoặc 1."
Giả sử n = k2. Cú 4 tỡnh huống cú thể xảy ra.
• Nếu k mod 4 = 0, thỡ k = 4q, với q nguyờn nào đú. Khi đú, n = k2
= 16 q2 = 4(4 q2) , suy ra n mod 4 = 0.
• Nếu k mod 4 = 1, thỡ k = 4q + 1, với q nguyờn nào đú. Khi đú, n = k2 = 16 q2 + 8 q + 1= 4(4 q2 + 2 q) + 1, suy ra n mod 4 = 1.
• Nếu k mod 4 = 2, thỡ k = 4q + 2, với q nguyờn nào đú. Khi đú, n = k2 = 16 q2 + 16 q + 4 = 4(4 q2 + 4 q + 1), suy ra n mod 4 = 0.
2.3. Chứng minh bằng phản đề
Chứng minh bằng phản đề khỏc chứng minh phản chứng ở
chỗ nào? Ta xột việc ỏp dụng chỳng vào việc chứng minh "If P, Then Q".
Chứng minh bằng phản chứng: Giả sử cú P và Not Q ta cố
gắng chỉ ra điều mõu thuẫn.
Chứng minh bằng phản đề: Giả sử cú Not Q và ta phải chứng minh not P.
Phương phỏp chứng minh bằng phản đề cú ưu điểm là bạn
cú mục đớch rừ ràng là: Chứng minh Not P. Trong phương phỏp phản chứng, bạn phải cố gắng chỉ ra điều mõu thuẫn mà ngay từ đầu bạn chưa thể xỏc định được đú là điều gỡ.