hai mộp, mỗi người trong hàng luụn đứng cạnh một đội trưởng của đội thắng đội mỡnh và một đội trưởng của đội thua đội mỡnh trong giải.
Vớ dụ 3
Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp toỏn học.
Cơ sở qui nạp: Rừ ràng P(1) là đỳng.
Giả sử P(n-1) là đỳng, ta chứng minh P(n) là đỳng.
Trước hết, ta xếp n-1 đội trưởng của cỏc đội 1, 2,..., n- 1. Theo giả thiết qui nạp, luụn cú thể xếp họ ra thành hàng ngang thoả món điều kiện đầu bài. Khụng giảm tổng quỏt ta cú thể giả thiết hàng đú là:
Vớ dụ 3
Bõy giờ ta sẽ tỡm chỗ cho đội trưởng của đội n. Cú 3 tỡnh huống:
• Nếu đội n thắng đội 1, thỡ hàng cần tỡm là: n → 1 → 2 → ... → n-1.
• Nếu đội n thua đội n-1, thỡ hàng cần tỡm là: 1 → 2 → ... → n-1 → n .
• Nếu đội n thua đội 1 và thắng đội n-1.
• Gọi k là chỉ số nhỏ nhất sao cho đội n thắng đội k.
• Rừ ràng tồn tại k như vậy.
• Hàng cần thu được từ hàng gồm n-1 đội đó xếp bằng cỏch chốn đội trưởng đội n vào vị trớ giữa đội trưởng của đội k-1 và đội k.
Vớ dụ 3 1 → 2 → ... → k-1→ k → k+1 →...→ n-1 1 → 2 → ... → k-1→ k → k+1 →...→ n-1 n H ng c n tỡm:à ầ 1 → ... → k-1→ n →k → k+1 →...→ n-1
Paradox
Định lý: Tất cả cỏc con ngựa cú cựng một màu.
Proof: Qui nạp theo n
Giả thiết qui nạp:
P(n) ::= n con ngựa bất kỳ luụn cú cựng một màu
Cơ sở qui nạp (n=1):
Chỉ cú 1 con tất nhiờn là chỉ cú một màu!
Bước chuyển qui nạp
Giả sử n con ngựa bất kỳ luụn cú cựng màu.
Ta cần chứng minh n+1 con ngựa bất kỳ luụn cú cựng màu.
Paradox
…
…
Tập thứ nhất gồm n con ngựa cựng màu
Tập thứ hai gồm n con ngựa cựng màu
Bước chuyển qui nạp
Giả sử n con ngựa bất kỳ luụn cú cựng màu.
Ta cần chứng minh n+1 con ngựa bất kỳ luụn cú cựng màu.
…
Suy ra n+1 con ngựa cú cựng một màu!
Bước chuyển qui nạp
Giả sử n con ngựa bất kỳ luụn cú cựng màu.
Ta cần chứng minh n+1 con ngựa bất kỳ luụn cú cựng màu.
Lỗi ở đõu?
Chứng minh P(n) → P(n+1) là false nếu n = 1, bởi vỡ hai nhúm ngựa
là khụng giao nhau.
Tập thứ nhất gồm n=1 con ngựa
n =1
Tập thứ hai gồm n=1 con ngựa