5 Áp dụng phân tích số
2.1 Bậc và loại đa thức của các hàm dạng chuyển vị mô hình dầm EB-EB
Phần tử dầm EB - EB w1 w2 v
8DOF EB-EB 1(C0) 1(C0) 3(C1)
10DOF EB-EB 2(C0) 2(C0) 3(C1)
26DOF EB-EB 4(C0) 4(C0) 5(C1)
Trong đó:C0= đa thức Lagrange;C1= đa thức Hermite
• Năm 2006, Gara và cộng sự [23] đã thiết lập các biểu thức phần tử hữu hạn cho mô hình dầm liên hợp có xét cả hiện tượng trượt dọc trục và hiện tượng phân tách đứng (vertical uplift) giữa hai thành phần liên hợp. Khi đó véctơ chuyển vị u bao gồm chuyển vị dọc trục của sàn bêtông wc và của dầm thép ws; chuyển vị đứng của sàn bêtông vc và của dầm thép vs. Các vật liệu được làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính. Ba mô hình phần tử được phân tích và so sánh gồm: 12DOF, 14DOF và 22DOF (hình 2.7).
12DOF 14DOF 22DOF
Hình 2.7: Phần tử dầm EB-EB có xét hiện tượng phân tách đứng
• Năm 2009, Nghi và Thành [24] đã phân tích phi tuyến dầm thép-bêtông liên hợp có xét đến tương tác bán phần. Phần tử dầm liên hợp có 8DOF 2.6 được thiết lập dựa trên mô hình động học của Newmark để xét đến ứng xử phi tuyến của vật liệu. Sau đó năm 2011, hai tác giả Nghi và Thành đã phát triển nghiên cứu trên khung phẳng liên hợp [25]. Một phần tử dầm 6DOFs có liên kết nửa cứng (semi - rigid) giữa dầm và cột trong hệ khung phẳng được xây dựng. Kết quả được phân tích trên dầm hai nhịp, khung đơn giản và hệ khung 6 tầng hai nhịp.
2.2.3.2 Phương pháp phân tử hữu hạn dựa trên lực (force based)
• Năm 1998, Salari và cộng sự [26] đã phân tích phi tuyến dầm liên hợp có xét đến biến dạng của liên kết chịu cắt. Hai ví dụ áp dụng số được giải quyết bằng FEM dựa trên chuyển vị mô hình 8DOF và FEM dựa trên lực, để so sánh tính hiệu quả của phương pháp dựa trên lực.
• Năm 2005, tác giả Ayoub [27] đã xét một phần tử dầm-cột dựa trên phương pháp lực để phân tích phi tuyến dầm liên hợp có xét tương tác không bán phần. Mô hình được cấu tạo từ ba thành phần tương ứng cho dầm thép, sàn bê tông và liên kết chịu cắt. Ảnh hưởng do lực ma sát và sự phân tách lớp được bỏ qua.
2.2.3.3 Phương pháp phần tử hữa hạn hỗn hợp (mixed)
• Năm 2000, Ayoub và cộng sự [28] dẫn xuất các công thức kết hợp giữa hai trường nội lực và chuyển vị cho dầm liên hợp. Phần tử dầm có 10 bậc tự
do chuyển vị và 6 bậc tự do lực. Tác giả đã phân tích dầm trong gia đoạn phi đàn hồi dưới tác dụng của các tải trọng đơn điệu và có tính chu kỳ.
• Năm 2004, Dall’Asta và Zona [2] đã phát triển hướng phân tích phi tuyến mới cho dầm liên hợp. Việc xấp xỉ được tiến hành trên cả ba trường: trường chuyển vị, trường biến dạng và trường ứng suất của phần tử bằng các đa thức hàm dạng (hình 2.8). Tác giả đã so sánh với FEM dựa trên chuyển vị để đánh giá ưu điểm của phương pháp.
Trường chuyển vị Trường biến dạng Trường ứng suất
Hình 2.8:Trường chuyển vị, trường biến dạng và trường ứng suất phần tử dầm củaDall’Asta [2] Dall’Asta [2]
• Năm 2009, Quang Huy Nguyen và cộng sự [29] đã sử dụng phương pháp hỗn hợp cho phân tích dầm liên hợp liên tục có vùng mômen âm (hogging moment). Ảnh hưởng của bêtông bị nứt tại vùng mômen âm và mức độ liên kết chống cắt trong dầm liên tục được phân tích.
2.2.4 Phương pháp độ cứng trực tiếp (direct stiffness method)Trong phân tích kết cấu, phương pháp độ cứng tiếp cũng thường được sử dụng. Trong phân tích kết cấu, phương pháp độ cứng tiếp cũng thường được sử dụng. Phương pháp này được áp dụng để phân tích ứng xử của dầm liên hợp có xét đến tương tác không toàn phần bởi Ranzi cùng các cộng sự [30, 31] và nhóm Nguyễn Văn Chúng và Bùi Công Thành [6]. Phương pháp này không cần xấp xỉ hàm chuyển vị qua các đa thức hàm dạng. Ma tận độ cứng K sẽ được xác định trực tiếp bằng cách gán các chuyển vị đơn vị cho các thành phần chuyển vị của véctơ chuyển vị phần tử. Ma trận độ cứng của phần tử dầm 8 bậc tự do được xác định. Các thành phần chuyển vị nút phần tử gồm: chuyển vị đứng v,
Hình 2.9: Các thành phần chuyển vị và phản lực nút phần tử
un; được mô tả như hình 2.9. Với véctơ chuyển vịq và véctơ phản lực nútg như sau: qT = h un0 v0 v00 s0 unL vL v0L sL i (2.8) gT =h N0 R0 M0 N10 NL RL ML N1L i (2.9)
2.3 Phân tích dầm liên hợp dựa trên lý thuyết dầm
Timoshenko
Bên cạnh lý thuyết dầm Euler - Bernoulli, lý thuyết dầm Timoshenko cũng được sử dụng trong phân tích dầm liên hợp nhằm đánh giá sự ảnh hưởng của biến dạng cắt đến sự làm việc của dầm. Một số nghiên cứu đã xem xét vấn đề này trong thời gian gần đây gồm có:
• Năm 2007, Ranzi và Zona [32] đã đề xuất mô hình dầm liên hợp EB - T có kể đến biến dạng cắt của dầm thép. Tác giả đã kết hợp giả thiết dầm Euler - Bernoulli cho sàn bêtông và giả thiết dầm Timoshenko cho dầm thép. Ba mô hình phần tử hữu hạn có bậc tự do khác nhau: 10DOF, 13DOF và 21DOF (hình 2.10) được xây dựng để so sánh kết quả và đánh giá ảnh hưởng của thời gian đến sự làm việc của bêtông sàn. Véctơ chuyển vịubao
gồm chuyển vị dọc trục của sàn bêtông wc, chuyển vị dọc trục của dầm thép ws, chuyển vị đứng v và góc xoay ϕscủa dầm thép.
uT =h wc ws v ϕs i (2.10)
10DOF 13DOF 21DOF
Hình 2.10: Phần tử dầm EB-T
Bảng 2.2: Bậc và loại đa thức của các hàm dạng chuyển vị mô hình dầm EB-T
Phần tử dầm EB - T wc ws v ϕs
10DOF EB-T 1(C0) 1(C0) 3(C1) 1(C0)
13DOF EB-T 2(C0) 2(C0) 3(C1) 2(C0)
21DOF EB-T 4(C0) 4(C0) 5(C1) 4(C0)
Trong đó:C0= đa thức Lagrange;C1= đa thức Hermite
Hai tác giả Xu và Wu [33] đề xuất mô hình phân tích sử dụng các giả thiết động học của Timoshenko cho cả hai vật liệu liên hợp, nhưng tác giả đã xem góc xoay của tiết diện mặt cắt bằng nhau cho cả hai vật liệu. Kế đến là một nghiên cứu khác đã phân tích một cách đầy đủ ảnh hưởng biến dạng cắt trên mô hình dầm liên hợp hai lớp do Schnabl và các cộng sự [34] thực hiện. Tác giả đã xem biến dạng cắt và góc xoay tại tâm của hai lớp khác nhau, hiện tượng phân tách lớp được bỏ qua.Tuy nhiên các áp dụng hạn chế trên bài toán dầm đơn giản.
• Năm 2011, Nguyen cùng cộng sự [35] đã dẫn xuất ma trận độ cứng "chính xác" cho mô hình dầm liên hợp có xét tương tác bán phần dựa trên các giả thiết dầm Timoshenko. Phân tích được áp dụng trên dầm đơn giản và dầm liên tục chịu tải trọng tập trung giữa nhịp. Cũng trong năm này, Zona và Ranzi [36] đã phân tích tổng hợp trên ba mô hình dầm: EB−EB, EB−T
phần tử được rời rạc và bậc tự do của phần tử trong tính toán bằng FEM cũng được đánh giá.
• Năm 2014, Nguyen và cộng sự [37] đã phân tích phi đàn hồi dầm liên hợp hai lớp Timoshenko bằng FEM dựa trên lực. Nghiên cứu đã cung cấp một công cụ cho phân tích ổn định đàn - dẻo (elastoplastic buckling) dầm/cột liên hợp hai lớp, có xét đến ảnh hưởng của biến dạng cắt, với các điều kiện tải trọng và liên kết khác nhau.
2.4 Các hiện tượng không tương thích trong phân
tích dầm liên hợp.
Một số vấn đề số học có thể xuất hiện trong quá trình phân tích kết cấu, khi hai hay nhiều trường chuyển vị được kết nối với nhau và khi giải pháp được tìm kiếm trong không gian hữu hạn chiều, cũng như được sử dụng trong xấp xỉ phần tử hữu hạn [38]. Độ chính xác của lời giải phụ thuộc vào một số tham số đặc trưng bao gồm trong các nhóm kết hợp, các giá trị giới hạn, những mối quan hệ xa hơn giữa các ẩn số có thể phát triển, làm giảm số chiều của lời giải. Trong một vài trường hợp, số chiều tiến tới không và mô hình bị "khóa" hoàn toàn. Nói chung, một sự phản ứng cứng hơn và những biến dạng giả có thể đạt được khi hiện tượng trên xuất hiện. Các trường hợp điển hình như: hiện tượng "khóa" biến dạng cắt [39–41] có thể phát triển trong phần tử dầm Timoshenko do sự sai khác độ cứng kháng cắt; vấn đề độ lệch tâm [3, 4] có thể ảnh hưởng mô hình dầm Euler-Bernoulli thông thường khi có sự khác biệt về điểm gốc của hệ trục toạn độ tham chiếu, và hiện tượng "khóa" biến dạng trượt [42] có thể xuất hiện trong mô hình dầm liên hợp của Newmark với biến dạng của liên kết kháng cắt.
Trong tất cả các trường hợp nói trên, các biến dạng tổng quát là hàm của các chuyển vị tổng quát của các phần tử khác nhau, hoặc là đạo hàm của các chuyển vị đó. Ví dụ như: trong mô hình dầm Timoshenko, biến dạng cắt phụ thuộc vào
đạo hàm bậc nhất của độ võng và vào gốc xoay; trong mô hình dầm Euler - Bernoulli, biến dạng dọc trục được xác định dựa vào đạo hàm của cả chuyển vị dọc trục và độ võng; trong mô hình của Newmark, biến dạng trượt bề mặt được tính từ các chuyển vị dọc trục và từ đạo hàm bậc nhất của độ võng. Trong những trường hợp này, vấn đề "khóa" có thể tránh được khi các hàm chuyển vị hoặc đạo hàm của chuyển vị trong biểu thức biến dạng được lựa chọn phù hợp, tức cùng bậc đa thức [3, 4, 38–42]. Các vấn đề này sẽ được trình bày tổng quát ở các mục sau.
2.4.1 Vấn đề lệch tâm (eccentricity issue)
Khi ma trận độ cứng của phần tử dầm liên hợp được xác định thông qua các hàm tuyến tính và có sự lệch tâm giữa hai lớp liên hợp, sự không tương thích trong trường chuyển vị dọc trục sẽ xảy ra và dẫn đến sai số trong phân tích. Nguyên nhân của sai số là do phương pháp thiết lập và biến đổi các biểu thức ban đầu [3] . Xét ví dụ một dầm côngxon có mặt cắt tiết diện như hình 2.11. Giả thiết chuyển vị dọc trụcux là một hàm tuyến tính, chuyển vị đứng uz là một hàm bậc 3, góc xoayθ là hàm bậc 2. Phương trình độ cứng của dầm 1 (phần tử tấm)và của dầm 2 (phần tử dầm lệch tâm) như công thức 2.11.
a Dầm 1 Dầm 2 z uz1, Pz1 ux1, Px1 q1 , M1 uz2, Pz2 ux2, Px2 q2 , M2 Hình 2.11: Phần tử dầm côngxon liên hợp [3] Aα L 0 0 0 12Iα −6Iα uxα u = 1 Pxα P (2.11)
Có thể xem dầm 1 như dầm chính và dầm 2 là dầm lệ thuộc dầm chính, khi đó biểu thức quan hệ chuyển vị giữa hai dầm là:
ux2 uz2 θ2 = 1 0 −a 0 1 0 0 0 1 ux1 uz1 θ1 (2.12)
Tại vị trí z bất kỳ, chuyển vị ux được xác định công thức 2.13
ux(z) =ux−zθ (2.13)
Với ux là tuyến tính vàθ là hàm bậc 2 thìux(z)là hàm bậc 2. Như vậy chuyển vị dọc trục z của dầm 2 là hàm bậc 2, điều này không đúng với giả thiết ban đầu. Đây là lý do của sự không tương thích. Tác giả Gupta [3] đã chỉ ra rằng: sai số do sự lệch tâm sẽ hội tụ về không khi số lượng phần tử được rời rạc hóa tiến về vô cùng. Sai số này có thể được hạn chế trong giới hạn cho phép với số lượng phần tử tương đối. Nhận định này được Erkmen [4] phân tích trên mô hình dầm côngxon liên hợp chịu tải phân bố đều. Phân tích cho thấy, dầm 4 phần tử có kết quả gần kết quả chính xác hơn dầm 1 phần tử (hình 2.12).
Độ võng (mm) Chiều dài nhịp (mm) 0 500 1000 1500 2000 0 10 20 30 40 Conventional 1 Element Conventional 4 Element Exact Element
2.4.2 Hiện tượng "khóa" biến dạng cắt (shear locking)
Hiện tượng " shear locking" xuất hiện khi các chuyển vị đứng và các góc xoay của tiết diện được ghép nối với nhau dưới dạng các hàm Euler - Lagrangian và bậc nội suy thấp được sử dụng [39]. Vấn đề này được Mukherjee và cộng sự [41] phân tích trên phần tử dầm Timoshenko hai điểm nút ( hình 2.13).
L q1 W1 x = -1 W2 x = +1 x = 0 1 2 q2
Hình 2.13: Phần tử dầm Timoshenko hai điểm nút
Trường chuyển vị bao gồm chuyển vị đứng w và góc xoay của tiết diện θ được xác định bởi công thức sau:
w= 2 X i=1 Niwi (2.14) θ= 2 X i=1 Niθi (2.15)
trong đó các hàm Lagrangian tuyến tính được sử dụng là N1 = (1−ξ)/2 và N1 = (1 +ξ)/2; ξ= 2x/L.
Véctơ biến dạng của phần tử được xác định như sau:
() = dθ/dx θ−dw/dx = 0 −1/L 0 1/L 1/L (1−ξ)/2 −1/L (1 +ξ)/2 {δe}= [B]{δe} (2.16) trong đó {δe} là véctơ chuyển vị nút, {δe} = [w1, θ1, w2, θ2]T. Biến dạng cắt của phần tử là:
θ−dw/dx=α+βξ (2.17) với α = (θ1+θ2)/2−(w2−w1)/L và β = (θ2+θ1)/2.
Số hạng đầu tiên có ý nghĩa vật lý tương đương của mô hình dầm Euler, số hạng thứ hai là một nhiễu tạp. Số hạng nhiễu β có ảnh hưởng làm tăng độ cứng uốn
uốn và độ cứng cắt thực tế của dầm. Đây là nguyên nhân dẫn đến "locking". Do đó vấn đề "shear locking" được loại bỏ bằng cách loại bỏ số hạng β. Nếu wLF và wL là giá trị "lock-free" và "locked" của chuyển vị đứng, khi đó:
wLF/wL =I∗/I = 1 +kGAL2/(12EI) = 1 +e (2.18)
với K = kGAl2/(12EI) thì e = kGAL2/(12EI) = K/n2 (l là tổng chiều dài dầm và n là tổng số phần tử được rời rạc). Hệ số e càng nhỏ khi dầm càng dày và độ rời rạc mịn hơn.
2.4.3 Hiện tượng "khóa" biến dạng trượt (slip locking)
Trong thực tế phân tích, do bản chất cấu tạo của dầm liên hợp nên biến dạng trượt cần phải được tính toán. Biến dạng của liên kết chịu cắt trong dầm dẫn đến mối liên hệ giữa trường chuyển vị đứng và trường chuyển vị dọc trục. Dall’Asta và Zona [42] đã chỉ ra rằng, nếu sự xấp xỉ của trường chuyển vị đứng và trường chuyển vị dọc trục là không tương thích, thì sai số trong phân tích phần tử hữu hạn dầm liên hợp phụ thuộc nhiều vào độ cứng của liên kết. Khi độ cứng của liên kết có giá trị cao, biến dạng trượt sẽ dao động và kém chính xác. Tác giả đã sử dụng mô hình dầm 8DOF (hình 2.6) với số bậc tự do thấp nhất để đánh giá vấn đề. Biến dạng trượt tính theo công thức 2.19. Kết quả so sánh như hình 2.14.
δ(z) =w2(z)−w1(z) +hv0(z) (2.19) Với w là chuyển vị dọc trục được xấp xỉ bởi hàm tuyến tính, v là chuyển vị đứng được xấp xỉ bằng hàm bậc 3, h là khoảng cách giữa trọng tâm dầm thép và bản bêtông. Khi k → ∞ thì δ → 0. Như kết quả phân tích, khi độ cứng liên kết thấp (αL = 1): biến dạng trượt δ xấp xỉ chính xác; và khi độ cứng liên kết cao (αL = 10) kết quả không còn chính xác, biến dạng trượt δ bị dao động giả. Nguyên nhân đa thức xấp xỉ cho độ congv0 và chuyển vị dọc trục wcó bậc khác nhau. Để giải quyết bài toán này, Dall’Asta [42] sử dụng mô hình dầm 10DOF và 16DOF (hình 2.6). Bậc đa thức hàm dạng được lựa chọn như bảng 2.1. Kết
Hình 2.14: Hiện tượng "khóa" biến dạng trượt của phần tử dầm 8DOF
quả đạt được chính xác hơn và hiện tượng "locking" biến dạng trượt được giải quyết (hình2.15). Đây là một vấn đề quan trọng cần xem xét trong phân tích
Hình 2.15: So sánh kết quả độ cong giữa các phần tử dầm
phi tuyến dầm liên hợp, vì ứng xử phi tuyến của liên kết chịu cắt được đặc trưng bởi quy luật cấu tạo: độ cứng thay đổi từ giá trị rất cao khi biến dạng trượt bằng không đến một giá trị rất thấp khi liên kết bị phá hoại.