5 Áp dụng phân tích số
2.13Phần tử dầm Timoshenko hai điểm nút
Trường chuyển vị bao gồm chuyển vị đứng w và góc xoay của tiết diện θ được xác định bởi công thức sau:
w= 2 X i=1 Niwi (2.14) θ= 2 X i=1 Niθi (2.15)
trong đó các hàm Lagrangian tuyến tính được sử dụng là N1 = (1−ξ)/2 và N1 = (1 +ξ)/2; ξ= 2x/L.
Véctơ biến dạng của phần tử được xác định như sau:
() = dθ/dx θ−dw/dx = 0 −1/L 0 1/L 1/L (1−ξ)/2 −1/L (1 +ξ)/2 {δe}= [B]{δe} (2.16) trong đó {δe} là véctơ chuyển vị nút, {δe} = [w1, θ1, w2, θ2]T. Biến dạng cắt của phần tử là:
θ−dw/dx=α+βξ (2.17) với α = (θ1+θ2)/2−(w2−w1)/L và β = (θ2+θ1)/2.
Số hạng đầu tiên có ý nghĩa vật lý tương đương của mô hình dầm Euler, số hạng thứ hai là một nhiễu tạp. Số hạng nhiễu β có ảnh hưởng làm tăng độ cứng uốn
uốn và độ cứng cắt thực tế của dầm. Đây là nguyên nhân dẫn đến "locking". Do đó vấn đề "shear locking" được loại bỏ bằng cách loại bỏ số hạng β. Nếu wLF và wL là giá trị "lock-free" và "locked" của chuyển vị đứng, khi đó:
wLF/wL =I∗/I = 1 +kGAL2/(12EI) = 1 +e (2.18)
với K = kGAl2/(12EI) thì e = kGAL2/(12EI) = K/n2 (l là tổng chiều dài dầm và n là tổng số phần tử được rời rạc). Hệ số e càng nhỏ khi dầm càng dày và độ rời rạc mịn hơn.
2.4.3 Hiện tượng "khóa" biến dạng trượt (slip locking)
Trong thực tế phân tích, do bản chất cấu tạo của dầm liên hợp nên biến dạng trượt cần phải được tính toán. Biến dạng của liên kết chịu cắt trong dầm dẫn đến mối liên hệ giữa trường chuyển vị đứng và trường chuyển vị dọc trục. Dall’Asta và Zona [42] đã chỉ ra rằng, nếu sự xấp xỉ của trường chuyển vị đứng và trường chuyển vị dọc trục là không tương thích, thì sai số trong phân tích phần tử hữu hạn dầm liên hợp phụ thuộc nhiều vào độ cứng của liên kết. Khi độ cứng của liên kết có giá trị cao, biến dạng trượt sẽ dao động và kém chính xác. Tác giả đã sử dụng mô hình dầm 8DOF (hình 2.6) với số bậc tự do thấp nhất để đánh giá vấn đề. Biến dạng trượt tính theo công thức 2.19. Kết quả so sánh như hình 2.14.
δ(z) =w2(z)−w1(z) +hv0(z) (2.19) Với w là chuyển vị dọc trục được xấp xỉ bởi hàm tuyến tính, v là chuyển vị đứng được xấp xỉ bằng hàm bậc 3, h là khoảng cách giữa trọng tâm dầm thép và bản bêtông. Khi k → ∞ thì δ → 0. Như kết quả phân tích, khi độ cứng liên kết thấp (αL = 1): biến dạng trượt δ xấp xỉ chính xác; và khi độ cứng liên kết cao (αL = 10) kết quả không còn chính xác, biến dạng trượt δ bị dao động giả. Nguyên nhân đa thức xấp xỉ cho độ congv0 và chuyển vị dọc trục wcó bậc khác nhau. Để giải quyết bài toán này, Dall’Asta [42] sử dụng mô hình dầm 10DOF và 16DOF (hình 2.6). Bậc đa thức hàm dạng được lựa chọn như bảng 2.1. Kết