Dựa trờn tổ chức của thư viện gúi Wavelet, và cựng với cỏc phõn tớch đưa ra từ Wavelet trực giao cơ sở, đưa đến kết quả là một tớn hiệu với độ dài N = 2L cú thể khai triển theo 2N cỏch khỏc nhau, số lượng cỏc nhỏnh con của nhỏnh nhị phõn đầy đủ của độ sõu L. Để xỏc định xem phõn tớch nào tốt nhất chỳng ta phải tỡm sự phõn tớch tối ưu đối với một tiờu chuẩn thớch hợp. Tiờu chuẩn cơ sở entropy phự hợp cỏc điều kiện này và mụ tả cỏc tớnh chất thụng tin liờn quan cho một biểu diễn chớnh xỏc của tớn hiệu đó cho.
Với bất kỳ node trung gian nào trong một cõy nhị phõn đầy đủ ở độ sõu D tương ứng với cõy phõn tớch gúi Wavelet, chỳng ta sử dụng bước cơ bản để tớm nhỏnh tối ưu thoả món tiờu chuẩn entropy đó cho E, với Eopt biểu thị giỏ trị
entropy tối ưu.
• ∑ ( ) ∈ ≤ C k opt k E node
E( ) , với C là tập hợp cỏc nỳt con của node Nếu
(node≠root) (Eopt node)=E(node) (3.75)
• ∑ ( ) ∈ ≥ C k opt k E node
E( ) , với C là tập hợp cỏc nỳt con của node
Chia và lập ∑ ( ) ∈ ≥ C k opt opt node E k E ( ) Chỳng ta sử dụng Entropy Shannon: ( ) ∑ − = i i i f f f E( ) 2log 2 (3.76) 3.7 Cỏc họ Wavelet
Hiện nay cú một số hàm cơ bản cú thể được sử dụng như là Wavelet mẹ cho cỏc biến đổi Wavelet. Vỡ Wavelet mẹ sinh ra tất cả cỏc hàm Wavelet được sử dụng trong biến đổi nhờ phộp tịnh tiến và lấy tỷ lệ, xỏc định cỏc đặc điểm của biến đổi Wavelet kết quả. Do vậy, đặc điểm của từng ứng dụng riờng cần được
quan tõm và Wavelet mẹ thớch hợp sẽ được chọn để cú được biến đổi Wavelet hiệu quả.
Hỡnh 3.15: Cỏc họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2 (e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat
Hỡnh 3.15 mụ tả một số hàm Wavelet được sử dụng phổ biến. Wavelet Haar là một trong những Wavelet đầu tiờn và đơn giản nhất. Wavelet Daubechies là Wavelet phổ biến nhất, wavelet Haar là cơ sở cho xử lý tớn hiệu Wavelet và được sử dụng trong nhiều ứng dụng. Cỏc Wavelet Haar, Daubechies, Symlets và Coiflets là những Wavelet trực giao. Những Wavelet theo dạng Wavelet Meyer cú khả năng khụi phục hoàn hảo. Cỏc Wavelet Meyer, Morlet và Mexican Hat cú dạng đối xứng.
Lựa chọn Wavelet
Như đó đề cập ở trờn, cú nhiều dạng wavelet khỏc nhau, mỗi dạng Wavelet này đều cú những ưu điểm cũng như hạn chế riờng. Do vậy vấn đề chọn sử dụng Wavelet nào trong biến đổi là phụ thuộc vào ứng dụng. Lựa chọn sử dụng Wavelet nào dựa trờn hỡnh dạng của chỳng và khả năng phõn tớch tớnh hiệu trong từng ứng dụng cụ thể.
Lựa chọn biến đổi Dạng phõn tớch nào nờn được sử dụng liờn tục hay rời
• Phõn tớch liờn tục dễ thể hiện hơn, sự dư thừa của phõn tớch dẫn tới sự tăng cường cỏc đặc điểm tiờu biểu và làm toàn bộ thụng tin rừ ràng hơn. Phõn tớch liờn tục đặc biệt phự hợp với trường hợp thụng tin khụng rừ ràng (subtle
information).
• Phõn tớch rời rạc bảo đảm tiết kiệm khụng gian mó và đủ để cho tổng hợp.
Tổng kết tớnh chất của một số Wavelet
Property Haar dbN symN coifN
Compactly supported orthgonal √ √ √ √
Symmetry √ Asymmetry √ Near symmetry √ √ Orthogonal analysis √ √ √ √ Biorthogonal analysis √ √ √ √ Exact reconstruction √ √ √ √ FIR filter √ √ √ √ Continous transform √ √ √ √ Discrete transform √ √ √ √ Fast algorithm √ √ √ √ 3.1: Tổng kết tớnh chất của một số Wavelet
3.8 Ứng dụng của Wavelet
3.8.1 Giới thiệu cỏc ứng dụng của Wavelet
Ngày nay biến đổi Wavelet cú phạm vi ứng dụng rộng rói. Biến đổi Wavelet được ỏp dụng trong những lĩnh vực khỏc nhau từ xử lý tớn hiệu tới sinh trắc học, và phạm vi ứng dụng của biến đổi Wavelet ngày càng được mở rộng. Một trong cỏc ứng dụng nổi bật của Wavelet là trong chuẩn nộn dấu võn tay của FBI. Biến đổi Wavelet được sử dụng để nộn ảnh dấu võn tay để lưu giữ trong ngõn hàng dữ liệu của FBI. Ban đầu FBI chọn biến đổi Cosine rời rạc (DCT) nhưng biến đổi này khụng được thực hiện tốt ở tỷ số nộn cao. Biến đổi này đưa ra một vài hiệu ứng chặn làm cho khụng thể theo cỏc đường võn tay sau khụi phục. Điều này hoàn toàn khụng xảy ra với biến đổi Wavelet vỡ cỏc tớnh chất của nú cho phộp lưu giữ lại chi tiết cú trong dữ liệu.
Với biến đổi Wavelet rời rạc, hầu hết thụng tin quan trọng xuất hiện trong cỏc biờn độ lớn và cỏc thụng tin kộm quan trọng hơn xuất hiện ở những biờn độ rất nhỏ. Việc nộn dữ liệu cú thể thu được nhờ loại bỏ cỏc biờn độ thấp. Biến đổi Wavelet cho phộp tỷ số nộn cao với chất lượng khụi phục tốt. Hiện nay, ứng dụng Wavelet cho nộn ảnh là một trong những lĩnh vực nghiờn cứu được quan tõm nhất. Gần đõy, biến đổi Wavelet đó được chọn cho chuẩn nộn JPEG 2000.
Hỡn Hỡnh 3.16.: Ứng dụng xử lý tớn hiệu sử dụng biến đổi Wavelet
Hỡnh 3.16 thể hiện cỏc bước chung trong ứng dụng xử lý tớn hiệu. Quỏ trỡnh xử lý tớn hiệu cú thể bao gồm nộn, mó hoỏ, khử nhiễu, … Tớn hiệu đó xử lý được lưu giữ hoặc truyền phỏt đi. Với hầu hết cỏc ứng dụng nộn, quỏ trỡnh xử lý bao gồm lượng tử hoỏ mó hoỏ entropy cho tới nộn ảnh. Trong suốt quỏ trỡnh này, toàn bộ cỏc hệ số wavelet dưới ngưỡng được chọn bị loại bỏ. Cỏc hệ số bị bỏ qua được thay thế bằng khụng trong suốt quỏ trỡnh khụi phục ở đầu kia. Để khụi phục tớn hiệu, mó hoỏ entropy được giải mó, sau đú được lượng tử hoỏ và cuối cựng được biến đổi Wavelet ngược.
Wavelet cũng được ứng dụng trong nộn tiếng núi, nú làm giảm thời gian truyền dẫn trong cỏc ứng dụng di động. Wavelet được sử dụng để khử nhiễu, phỏt hiện sườn, trớch cỏc đặc điểm, nhận dạng tiếng núi, loại bỏ tiếng vọng,…
Wavelet cũng cho thấy nhiều ứng dụng triển vọng trong nộn tớn hiệu audio và video thời gian thực. Wavelet cũng được ứng dụng trong thụng tin số tiờu biểu như ghộp kờnh phõn chia theo tần số trực giao OFDM (Orthogonal Frequency
Division Multiplexing).
3.8.2 Wavelet trong cỏc ứng dụng y sinh
Trong nhiều năm trước đõy, biến đổi Wavelet đó được thừa nhận cú mối liờn hệ lớn với kỹ thuật y sinh. Vấn đề khú khăn khi xử lý tớn hiệu y sinh là tớnh biến thiờn lớn, khụng thể tiờn đoỏn trước thụng tin được định vị ở đõu và với tỷ lệ nào. Một khớa cạnh phức tạp khỏc của cỏc tớn hiệu y sinh là thụng tin quan tõm thường kết hợp với cỏc đặc điểm như định vị tạm thời và rải rỏc (temporally and
spatially) và những thụng tin khỏc được khuếch tỏn. Do vậy yờu cầu sử dụng cỏc
phương phỏp phõn tớch đủ linh hoạt để xử lý cỏc khả năng cú thể xảy ra trong mọi trường hợp trong miền thời gian-tần số.
Những đặc điểm của Wavelet trong phạm vi ứng dụng y sinh
Những đặc điểm chớnh của biến đổi Wavelet đó được trỡnh bày ở trờn, tuy nhiờn Wavelet cú thể được xem xột từ những gúc độ khỏc nhau phụ thuộc vào ứng dụng mà chỳng ta muốn sử dụng Wavelet. Cỏc đặc điểm chớnh của Wavelet được sử dụng trong lĩnh vực y sinh:
Wavelet như là băng lọc: biến đổi Wavelet cú thể được xem như một dạng đặc biệt của phõn tớch phổ. Đặc điểm bao trựm đơn giản nhất cú thể được rỳt ra từ dạng này của hệ thống là đỏnh giỏ năng lượng ở cỏc băng tần khỏc nhau. Những đặc điểm phổ của dạng này được sử dụng gần đõy để phõn biệt cỏc trạng thỏi sinh lý học khỏc nhau. Tuy nhiờn, dạng rỳt ra đặc điểm toàn cục của chỉ được chứng minh là đỳng khi tớn hiệu cú thể được giả thiết là tớn hiệu dừng và cỏc kết quả tương tự cú thể thu được sử dụng cỏc kỹ thuật Fourier truyền thống. Một ứng dụng chung khỏc của băng lọc đa phõn giải Wavelet là thực hiện khử nhiễu bởi ngưỡng được lựa chọn từ cỏc dải tần nào đú.
Wavelet như là một bộ lọc thớch hợp đa tỷ lệ (Multiscale Matched Filter). Thực chất, CWT thực hiện một phõn tớch tương quan, do vậy chỳng ta cú thể chắc rằng đầu ra là cực đại khi tớn hiệu đầu vào tương đồng với hàm phõn tớch ψ. Nguyờn tắc này là cơ sở cho bộ lọc thớch hợp (matched filter). Tớnh chất này được sử dụng trong phỏt hiện cỏc dạng súng của tớn hiệu EEG.
Wavelet và tớnh định vị thời gian -tần số. Như chỳng ta đó dề cập, hầu hết tớn hiệu y sinh quan tõm bao gồm những xung như đỉnh nhọn hay đột biến và tạo dao động khuếch tỏn (dạng súng EEG) làm nờn tất cả những thụng tin đưa tới xột nghiệm lõm sàng. Cỏc phương phỏp như STFT và cỏc phương phỏp thời gian-tần số khỏc thực hiện tốt khi phõn tớch dạng trễ của sự kiện nhưng khụng phự hợp khi phõn tớch cỏc khoảng thời gian tồn tại của xung ngắn. Ngoài ra, độ phõn giải cố định của STFT khụng cho phộp nghiờn cứu cả hai dạng đồng thời của sự kiện với độ phõn giải tốt theo thời gian và tần số. Ngược lại, biến đổi Wavelet cho phộp đảm bảo độ phõn giải xấp xỉ với sự mụ tả đặc điểm của õm thanh nhịp tim, phõn tớch tớn hiệu ECG, EEG cũng như là cỏc dạng tớn hiệu sinh học khỏc. Trong những trường hợp đặc biệt, tớnh linh hoạt trong xỏc định cỏc dải tần của phõn tớch cú thể thu được nhờ sử dụng sự khỏi quỏt hoỏ của Wavelet được biết đến với Wavelet gúi (WPA). Phõn tớch Wavelet gúi được bắt nguồn từ sự khỏi quỏt mụ hỡnh DWT truyền thống. Sự khỏc biệt giữa phõn tớch Wavelet gúi và DWT là phõn tớch Wavelet gúi cho phộp hàm chi tiết cú thể được chia tiếp trờn hai hay nhiều băng con.
Cỏc cơ sở Wavelet. Cú thể một khớa cạnh đỏng chỳ ý của lý thuyết Wavelet là khả năng xõy dựng cỏc cơ sở Wavelet từ L2. Do vậy, Wavelet đưa ra biến đổi một một của tớn hiệu dưới dạng cỏc hệ số. Việc nộn dữ liệu cũng như là khử nhiễu cú thể thu được nhờ lượng tử hoỏ và co ngắn trong miền Wavelet, hoặc đơn giản là loại bỏ cỏc hệ số khụng quan trọng. Hơn thế nữa, Wavelet cũn là kỹ thuật cốt lừi cho kỹ thuật nộn khụng tổn hao hiện đại và đúng vai trũ quan trọng trong kỹ thuật mó hoỏ cho ảnh y sinh.
Cỏc ứng dụng y sinh: Biến đổi Wavelet được sử dụng để phõn biệt cỏc đồ thị bỡnh thường và bệnh lý của tim. Biến đổi Wavelet được ứng dụng phỏt hiện điện thế muộn tõm thất (ventricular late potential). Wavelet cũng được sử dụng để biểu thị đặc điểm của sự thay đổi bất thường từng nhịp một của tim dưới những điều kiện sinh lý học khỏc nhau.
Một trong những ứng dụng đầu tiờn của biến đổi đầu tiờn của biến đổi Wavelet trong tớn hiệu y sinh là khử nhiễu. Trong phương phỏp này, Wavelet trực giao và ngưỡng mềm được ỏp dụng trờn cỏc hệ số.
Làm nổi bật ảnh (Image Enhancement), Wavelet được sử dụng để làm nổi bật cỏc đặc điểm của ảnh cú liờn quan đến triệu chứng lõm sàng và khú để quan sỏt bằng mắt thường. Một trong những ứng dụng quan trọng của Image
enhancement là trong lĩnh vực chụp tia X (mammography). Biến đổi Wavelet ngày càng trở nờn phổ biến, cỏc ứng dụng Wavelet đó, đang và sẽ tiếp tục được phỏt triển mạnh mẽ trong tương lai.
Chương 4:
Ứng dụng Wavelet trong khử nhiễu tớn hiệu điện tim ECG
Ngày nay, Wavelet trở thành một cụng cụ hiệu quả trong lĩnh vực xử lý tớn hiệu. Một trong những ứng dụng nổi bật của Wavelet trong lĩnh vực xử lý tớn hiệu đú là khử nhiễu tớn hiệu.
Chương bốn giới thiệu chung về kỹ thuật khử nhiễu tớn hiệu, trỡnh bày chi tiết về khử nhiễu tớn hiệu trờn cơ sở Wavelet, phương phỏp lấy ngưừng, và ứng dụng Wavelet trong khử nhiễu tớn hiệu điện tim.
4.1 Giới thiệu về khử nhiễu tớn hiệu
Vấn đề khử nhiễu tớn hiệu luụn là vấn đề được cỏc nhà nghiờn cứu quan tõm trờn cả phương diện thực tiễn cũng như lý thuyết. Vấn đề làm thế nào khụi phục tớn hiệu nguyờn bản từ dữ liệu bị nhiễu với mong muốn khụi phục tớn hiệu càng giống với tớn hiệu nguyờn gốc đến mức cú thể, đồng thời giữ lại những đặc điểm quan trọng của tớn hiệu. Đó cú nhiều thuật toỏn khỏc nhau được cụng bố và mỗi thuật toỏn này đều cú những ưu điểm và nhược điểm riờng. Những phưong phỏp khử nhiễu truyền thống sử dụng phương phỏp tuyến tớnh như là lọc Wiener (Wiener filtering). Gần đõy, phương phỏp khử nhiễu phi tuyến được giới thiệu, đặc biệt là những phương phỏp trờn cơ sở Wavelet được phỏt triển mạng mẽ, đa dạng.
Một trong những nhà nghiờn cứu tiờn phong trong lĩnh vực khử nhiễu cơ sở Wavelet là Weaver và cỏc cộng sự của mỡnh, họ đó giới thiệu một phương phỏp mới khử nhiễu từ ảnh cộng hưởng từ MR (Magnetic Resonance) dựa trờn cơ sở mụ hỡnh được gọi là lấy ngưỡng cứng. Weaver đó chứng tỏ rằng sử dụng lấy ngưỡng Wavelet, cú thể được giảm đỏng kể nhiễu mà khụng làm mờ hỡnh ảnh. Trong khi Wiever và những nhà khoa học khỏc chứng minh ưu điểm của mụ hỡnh khử nhiễu Wavelet dựa trờn cỏc kết quả thực nghiệm, Donoho và Johnstone đó chứng minh cỏc kết quả lý thuyết quan trọng về lấy ngưỡng Wavelet. Donoho và Johnstone đó chứng minh sự co ngắn Wavelet (Wavelet Shrinkage) đem lại kết quả khử nhiễu tốt, đảm bảo tốc độ hội tụ tốt hơn, và đơn giản. Nhiều cụng
trỡnh nghiờn cứu đó được cụng bố trong lĩnh vực Wavelet Shrinkage, hầu hết tập trung vào mụ hỡnh thống kờ của cỏc hệ số Wavelet và sự lựa chọn tối ưu của cỏc ngưỡng.
Bờn cạnh lấy ngưỡng Wavelet, những phương phỏp khử nhiễu khỏc cũng được nghiờn cứu, như khử nhiễu cơ sở Wavelet sử dụng cõy Hidden Markov (Hidden Markov Trees), được khởi đầu bởi Crouse và thực sự thành cụng. Những mụ hỡnh khử nhiễu dựa trờn cơ sở HMT cố gắng mụ hỡnh hoỏ phần phụ thuộc giữa cỏc hệ số Wavelet kế tiếp sử dụng HMT, và sử dụng sai số bỡnh phương trung bỡnh nhỏ nhất MMSE (minimum mean-squared error) như là sự đỏnh giỏ cho khử nhiễu.
Cỏc cấu trỳc cõy (Tree Structures) cho cỏc hệ số Wavelet dựa trờn độ lớn của chỳng, tỷ lệ và sự định vị rải rỏc (spatial location) cũng đang được nghiờn cứu. Biến đổi thớch nghi dữ liệu như phõn tớch thành phần độc lập ICA (Independent Component Analysis) cũng được khảo sỏt. Xu hướng phỏt triển tiếp theo của lĩnh vực khử nhiễu tập trung vào sử dụng cỏc mụ hỡnh thống kờ để mụ hỡnh hoỏ cỏc đặc điểm thống kờ của cỏc hệ số Wavelet và lõn cận của nú. Xu hướng tương lai sẽ là tỡm kiếm cỏc mụ hỡnh thống kờ chớnh xỏc hơn cho phõn bố của cỏc hệ số Wavelet khụng trực giao.
4.2 Sự co ngắn Wavelet (Wavelet Shrinkage)
Chỳng ta biết rằng biến đổi Wavelet là một cụng cụ cần thiết cho cỏc ứng dụng như là phõn loại (classification), nộn, và ước lượng (estimation). Một đặc điểm quan trọng của Wavelet là biến đổi này tạo thành cỏc cơ sở khụng điều kiện (unconditional bases) cho cỏc lớp tớn hiệu khỏc nhau. Như vậy, hầu hết thụng tin tớn hiệu trong khai triển Wavelet được chuyển sang một số hệ số tương đối nhỏ. Đặc điểm này của biến đổi Wavelet làm cho ứng dụng của Wavelet đặc biệt phự hợp cho khử nhiễu tớn hiệu.
Người ta đó chứng minh được cỏc Wavelet cú thể khử nhiễu hiệu quả hơn cỏc phương phỏp được sử dụng trước đõy. Nhiễu cú thể được gõy ra bởi nhiều nguyờn nhõn khỏc nhau như trong quỏ trỡnh phỏt, thu thập dữ liệu, chất lượng đầu thu, sai số thực nghiệm, … Như vậy, ứng dụng của biến đổi Wavelet trong khử nhiễu tớn hiệu đúng một vai trũ quan trọng trong cỏc lĩnh vực khoa học.
Biến đổi Wavelet được sử dụng để khử nhiễu dữ liệu. Quỏ trỡnh khử nhiễu được thực hiện nhờ ứng dụng phộp biến đổi Wavelet vào dữ liệu bị nhiễu, lấy
ngưỡng cỏc hệ số kết quả nằm dưới một giỏ trị nào đú, và sau đú biến đổi ngược để thu được phiờn bản trơn hơn (smoother version) của tớn hiệu nguyờn bản. Quy