Trong lĩnh vực xử lý tớn hiệu cỏc bộ lọc được sử dụng phổ biến. Wavelet cú thể được thực hiện bởi cỏc bộ lọc lặp đi lặp lại với tỷ lệ thay đổi. Độ phõn giải của tớn hiệu là tiờu chuẩn để đỏnh giỏ lượng thụng tin chi tiết trong tớn hiệu. Độ phõn giải của tớn hiệu được xỏc định bởi cỏc quỏ trỡnh lọc, và tỷ lệ được xỏc định bởi sự phõn chia (upsampling) và nội suy (downsampling) cũn gọi là quỏ trỡnh lấy mẫu con (subsampling).
Biến đổi Wavelet rời rạc được tớnh toỏn bởi quỏ trỡnh lọc thụng thấp và thụng cao liờn tiếp của tớn hiệu rời rạc theo thời gian, được gọi là thuật toỏn Mallat hay sự phõn tớch cõy Mallat (Mallat-tree decomposition). í nghĩa quan trọng của thuật toỏn Mallat là thuật toỏn này đó kết nối sự đa phõn giải liờn tục theo thời gian với cỏc bộ lọc rời rạc.
Thuật toỏn DWT:
Khởi đầu: Chiếu tớn hiệu lờn VJ , với J được xỏc định bởi tần số lấy mẫu. Trong thực tế, thực hiện thay thế cỏc hệ số tỷ lệ với cỏc giỏ trị mẫu.
1. Chia cỏc hệ số xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết nhờ sử dụng ( )hk
và ( )gk .
2. Thay đổi tỷ lệ cỏc hệ số xấp xỉ
3. Tiếp tục chia phần xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết như bước (1)
H H H G G G H H H G G G (a) G G G H H H G G G H H H (b)
Hỡnh 3.9: Thuật toỏn hỡnh chúp hay thuật toỏn mó hoỏ băng con (a) Quỏ trỡnh phõn tớch (b) Quỏ trỡnh tổng hợp
Trong hỡnh vẽ 3.9, tớn hiệu được được biểu thị bởi dóy x[n], với n là số nguyờn. Bộ lọc thụng cao được biểu thị bởi G, trong khi bộ lọc thụng thấp được biểu thị bởi H. Ở mỗi mức, bộ lọc thụng cao G đưa ra thụng tin chi tiết d[n], trong khi bộ lọc thụng thấp H kết hợp với hàm tỷ lệ đưa ra cỏc xấp xỉ thụ a[n].
Ở mỗi mức phõn tớch, cỏc bộ lọc nửa dải (half band filter) đưa ra cỏc tớn hiệu kộo dài duy nhất nửa băng tần. Cỏc bộ lọc này làm tăng độ phõn giải tần số lờn gấp đụi vỡ tớnh bất định của tần số được giảm đi một nửa. Theo luật Nyquist nếu như tớn hiệu nguyờn bản cú tần số gúc cao nhất ω rad/s yờu cầu tần số gúc lấy mẫu là 2ω rad/s, vậy khi tần số gúc cao nhất là ω/2 rad/s thỡ tần số gúc lấy mẫu sẽ là ω rad/s, do vậy loại bỏ một nửa số mẫu cần lấy mà khụng gõy ra sự mất mỏt thụng tin. Việc lấy mẫu con với hệ số chia 2 làm giảm một nửa độ phõn giải thời gian vỡ toàn bộ tớn hiệu bõy giờ được biểu diễn trờn chỉ một nửa số lượng mẫu.
Như vậy, độ phõn giải thời gian đạt được tốt ở cỏc tần số cao, trong khi độ phõn giải tần số lại trở nờn tốt hơn ở cỏc tần số thấp. Quỏ trỡnh lọc và phõn chia là liờn tiếp nhau cho đến khi đạt được mức yờu cầu. Số lượng tối đa cỏc mức phụ thuộc vào độ dài của tớn hiệu. Biến đổi Wavelet rời rạc của tớn hiệu thu được nhờ sự xõu chuỗi (concatenating) cỏc hệ số a[n] và d[n], bắt đầu từ mức cuối cựng của quỏ trỡnh phõn tớch.
Hỡnh 3.9b biểu diễn quỏ trỡnh khụi phục tớn hiệu nguyờn bản từ cỏc hệ số Wavelet. Về cơ bản, quỏ trỡnh khụi phục là sự đảo ngược của của quỏ trỡnh phõn tớch. Cỏc hệ số xấp xỉ và cỏc hệ số chi tiết ở mọi mức được nội suy bởi hệ số 2, qua cỏc bộ lọc tổng hợp thụng thấp và thụng cao và sau đú được gộp vào với nhau. Quỏ trỡnh tiếp tục cho đến đạt được cựng số mức thu được trong quỏ trỡnh phõn tớch tớn hiệu nguyờn bản.
Phương phỏp tốt nhất để mụ tả quy trỡnh trờn cũng như đưa ra một quy trỡnh hiệu quả để xỏc định cỏc hệ số wavelet là biểu diễn phộp toỏn của cỏc bộ lọc.
Trở lại hai biểu thức (3.41) và (3.44) trong phần trước, dóy l2
( )
{h k ,k∈Z}và {g( )k ,k∈Z} là cỏc bộ lọc gương vuụng gúc (quadrature mirror
filters) trong xử lý tớn hiệu. Mỗi liờn hệ giữa g và h:
( ) ( ) (k h n)
g = −1n 1− (3.45) Dóy h(k) được biết đến như là bộ lọc thụng thấp trong khi dóy g(k) là bộ lọc thụng cao. Cỏc bộ lọc thuộc họ cỏc bộ lọc đỏp ứng xung hữu hạn (FIR).
Cỏc tớnh chất sau cú thể được chứng minh sử dụng biến đổi Fourier và tớnh trực giao: ( )= 2,∑ ( )=0 ∑ k k k g k h (3.46) Với dóy f ={ }fn đại diện cho tớn hiệu rời rạc cần được phõn tớch và cỏc toỏn tử H và G được xỏc định bởi cỏc biểu thức:
( ) =∑ ( − ) ( ) n k h n k f n Hf 2 (3.47) ( ) =∑ ( − ) ( ) n k g n k f n Gf 2 (3.48)
Cỏc biểu thức (3.47), (3.48) biễu diễn phộp lọc tớn hiệu qua cỏc bộ lọc số
h(k), g(k) tương ứng với cỏc phộp toỏn tớch chập với đỏp ứng xung của cỏc bộ lọc. Hệ số 2k đại diện cho phộp phõn chia (downsampling). Cỏc toỏn tử H và G tương ứng với bước trong phõn tớch wavelet.
Như vậy biến đổi wavelet rời rạc cú thể túm tắt như sau (hỡnh 3.10):
(Gf,GHf,GH2f, ,GH 1f,H f) (d( 1),d( 2), ,d( )1,d( )0,c( )0 )
f → Κ j− j = j− j− Κ
(3.49)
chỳng ta cú thể gọi cỏc hệ số d(j−1),d(j−2),Κ ,d( )1,d( )0 là cỏc hệ số chi tiết và ( )0 c là hệ số xấp xỉ. Cỏc hệ số chi tiết và hệ số xấp xỉ: (j ) ( )j (j ) ( )j Gd d Hc c −1 = , −1 = (3.50)
Hỡnh 3.12: Phõn tớch wavelet sử dụng ký hiệu toỏn tử
Quy trỡnh khụi phục tớn hiệu cũng tương tự như phõn tớch. Tớn hiệu ở mọi mức được nội suy (upsampled) với hệ số 2, qua cỏc bộ lọc tổng hợp ký hiệu
H
G, (thụng cao và thụng thấp tương ứng), sau đú được cộng với nhau. Cỏc toỏn tử G,H được xỏc định như sau:
( ) =∑ ( − ) ( )
k
n h n k f n
f
( ) =∑ ( − ) ( ) k n g n k f n f G 2 (3.52) Áp dụng đệ quy ta cú: ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 H Gd H c f n j j n j + =∑−