Biểu diễn số liệu thực tế là biểu hiện thứ hai của tư duy thống kê, mục đích giúp cho HS có những ý tưởng về những con số trong một bảng số liệu và thấy được ý nghĩa của nó.
2.2.2.1. Biểu diễn số liệu thống kê
Số liệu thống kê thu nhận được chưa thể sử dụng ngay mà chúng ta phải trình bày chúng dưới những hình thức phù hợp [5]. Thông thường người ta dùng những phương pháp sau để biểu diễn số liệu thống kê:
- Bảng tần số, tần suất rời rạc. - Bảng tần số, tần suất ghép lớp. - Hàm phân phối thực nghiệm. - Dùng biểu đồ, đồ thị.
2.2.2.2. Một số đồ thị, biểu đồ thường được sử dụng để biểu diễn số liệu thống kê
Căn cứ vào nội dung phản ánh của đồ thị thống kê mà người ta chia đồ thị thống kê thành các loại sau [5]:
- Đồ thị kết cấu. - Đồ thị phát triển. - Đồ thị hoàn thành kế hoạch. - Đồ thị liên hệ. - Đồ thị so sánh. - Đồ thị phân phối.
Ví dụ 2.4. Để tăng tính thuyết phục cho bản báo cáo người ta đã sử dụng biểu đồ để mô tả chỉ số giá tiêu dùng thay vì sử dụng bảng số liệu thống kê:
Biểu đồ 2.1: Chỉ số giá tiêu dùng
Hình thức thể hiện của các đồ thị trên rất phong phú và đa dạng, thông thường được biểu hiện qua các dạng sau [5]:
- Đường gấp khúc: Loại biểu đồ này dùng độ dốc của đường gấp khúc để biểu diễn quá trình phát triển của hiện tượng nghiên cứu.
- Biểu đồ hình cột: Dùng các cột với độ cao thấp, dài ngắn khác nhau để biểu diễn đặc trưng về lượng của hiện tượng nghiên cứu. Biểu đồ này dùng để phản ánh biến động về quy mô và kết cấu của hiện tượng nghiên cứu qua thời gian. Cũng có thể dùng để so sánh giữa số liệu thực tế với số liệu kế hoạch.
- Biểu đồ diện tích: Dùng diện tích các loại hình để phản ánh mặt lượng của hiện tượng kinh tế - xã hội.
- Biểu đồ hình quạt: Dùng diện tích các loại hình để phản ánh mặt lượng của hiện tượng nghiên cứu.
Đối với chương trình môn Toán THPT, hầu hết chúng ta thường sử dụng biểu đồ hình cột, biểu đồ đường gấp khúc và biểu đồ hình quạt để biểu diễn số liệu thống kê. Tóm lại, để vẽ biểu đồ, đồ thị để biểu diễn số liệu thống kê thì HS phải nắm chắc được đối với dữ liệu nào thì nên sử dụng loại đồ thị nào là hợp lí nhất. Ngoài ra, khi sử dụng công nghệ thông tin thì HS cũng phải biết áp dụng chúng để vẽ biểu đồ, đồ thị thống kê trên máy tính. Chẳng hạn các em có thể sử dụng phần mềm Excel để
2.2.2.3. Quy trình biểu diễn số liệu thực tế
- Bước 1: Xử lý số liệu: Lập bảng số liệu, bảng tần số, tần suất từ một dãy các số liệu (trường hợp nào thì sử dụng bảng tần số, tần suất rời rạc, trường hợp nào sử dụng bảng tần số, tần suất ghép lớp).
- Bước 2: Dựa vào bảng tần số, tần suất lựa chọn biểu đồ thích hợp để thể hiện (biểu đồ cột, biểu đồ đường, biểu đồ hình quạt).
Ví dụ 2.5. Nhìn vào số liệu trong bảng dưới đây (Bảng 2.2) và đề xuất phương án biểu diễn số liệu tốt nhất về tỷ trọng dân số Việt Nam năm 2012 theo giới tính và nhóm tuổi.
Quy trình tổ chức dạy học trình bày theo từng bước: - GV cho HS quan sát mẫu số liệu ở Bảng 2.2.
- Yêu cầu HS tìm phương án biểu diễn mẫu số liệu theo nhóm tuổi một cách tốt nhất.
- HS tiến hành thảo luận về các dạng biểu diễn: biểu đồ cột, biểu đồ đường hay biểu đồ cơ cấu. Đánh giá ưu, nhược điểm của từng dạng biểu diễn và chọn dạng biểu diễn tốt nhất.
- GV yêu cầu HS biểu diễn số liệu của năm 2012 và thêm số liệu về giới tính để so sánh.
Bảng 2.2: Tỷ trọng dân số và chỉ số già hóa thời kì 1989 – 2012
(Đơn vị tính: phần trăm)
1989 1999 2009 2010 2011 2012
Tỷ trọng dân số dưới 15 tuổi 39,2 33,1 24,5 24,7 24,0 23,9
Tỷ trọng dân số từ 15-64 tuổi 56,1 61,1 69,1 68,5 69,0 69,0
Tỷ trọng dân số từ 65 tuổi trở lên 4,7 5,8 6,4 6,8 7,0 7,1
Chỉ số già hóa 18,2 24,3 35,5 37,8 41,1 42,7
(Nguồn: Tổng cục thống kê) Qua hoạt động trên ta thu được kết quả thảo luận của một số nhóm như sau:
- Nhóm 1:
- Nhóm 2:
GV hướng dẫn HS phân tích ưu nhược điểm cho từng dạng biểu diễn và kết luận. - Biểu đồ đường thường dùng để thể hiện sự thay đổi của các đại lượng khi số năm nhiều và tương đối liên tục, hoặc thể hiện tốc độ tăng trưởng của một hoặc nhiều đại lượng có đơn vị giống nhau hay đơn vị khác nhau.
- Biểu đồ cột chồng dùng để thể hiện cả động thái và cơ cấu của các đối tượng với số năm nhiều. Ở ví dụ này ta có thể sử dụng cả hai dạng biểu đồ trên để biểu diễn tỷ trọng dân số và chỉ số già hóa thời kỳ 1989 – 2012.
Cơ cấu dân số theo giới tính và nhóm tuổi phản ánh bức tranh tổng quát về mức sinh, mức chết và tốc độ gia tăng dân số của các thế hệ sinh cho đến thời điểm
tháp dân số, hay còn gọi là tháp tuổi. Vì vậy, GV hướng dẫn HS chọn tháp dân số để biểu diễn tỷ trọng dân số theo giới tính và nhóm tuổi:
Biểu đồ 2.2: Tháp dân số Việt Nam năm 2012
GV yêu cầu HS thảo luận nhìn vào biểu đồ 2.2 đưa ra nhận xét. Hầu hết suy luận của các em HS đều đạt cấp độ 2.
Có nhóm thì cho rằng “Do mức độ sinh gần đây đã giảm đáng kể trong khi tuổi thọ trung bình ngày càng tăng đã làm cho dân số nước ta có xu hướng già hóa với tỷ trọng dân số trẻ giảm và tỷ trọng người già ngày càng tăng. Sự thu hẹp của ba thanh ở đáy tháp đối với cả nam và nữ chứng tỏ rằng mức sinh của dân số nước ta giảm liên tục và nhanh”.
Các nhóm còn lại thì đưa ra nhận xét “Từ năm 1989 đến năm 2012 mức độ sinh của Việt Nam giảm trong khi đó tuổi thọ trung bình ngày càng cao dẫn đến dân số nước ta có xu hướng già hóa (chỉ số già hóa năm 1898 là 18,2% tăng lên 42,7% năm 2012). Sự thu hẹp của ba thanh cuối của tháp ở cả nam và nữ cho thấy mức sinh của dân số nước ta giảm liên tục”.
Ví dụ 2.6. Nhìn vào bảng số liệu dưới đây (Bảng 2.3) tìm phương án biểu diễn số liệu phù hợp nhất về mức chi tiêu của một hộ gia đình trong một tháng.
Quy trình tổ chức dạy học: GV cho HS quan sát bảng số liệu (Bảng 2.3) và yêu cầu HS xử lý số liệu, tìm phương án biểu diễn mẫu số liệu. HS thảo luận về các dạng biểu đồ: đường, cột, quạt. Đánh giá ưu, nhược điểm của từng dạng biểu đồ và chọn ra dạng biểu đồ phù hợp nhất.
Sau đó, GV yêu cầu HS biểu diễn số liệu về mức chi tiêu trong một tháng của hộ gia đình đó và rút ra nhận xét.
Bảng 2.3: Mức chi tiêu của một hộ gia đình trong một tháng
Khoản chi Số tiền (đồng)
Ăn uống 2.100.000
Học hành 1.800.000
Các khoản khác 900.000
Tiết kiệm 1.200.000
Tổng 6.000.000
Kết quả của các nhóm HS trong quá trình thực nghiệm: tất cả HS đều biểu diễn bảng 2.3 thành bảng phân bố tần suất để phục vụ cho việc vẽ biểu đồ biểu diễn số liệu ghi trong bảng 2.3 sao cho nhìn nhận vấn đề một cách khách quan nhất. Cụ thể các nhóm đã đưa ra bảng phân bố tần suất các khoản chi tiêu của một hộ gia đình trong một tháng.
Khoản chi tiêu Ăn uống Học hành Các khoản khác Tiết kiệm
Tần suất (%) 35 30 15 20
Từ bảng này các nhóm đã đưa ra các dạng biểu diễn khác nhau nhằm biểu diễn số liệu trong bảng 2.3 và suy luận dựa trên các dạng biểu diễn đó. Nhóm 1 và nhóm 2 đã đưa ra đáp án được đánh giá đạt cấp độ cao.
Nhóm 3 đưa ra đáp án mang tính chủ quan. Đáp án chưa được đánh giá đạt được cấp độ cao cụ thể như sau:
Mỗi nhóm đều có những ý kiến riêng về bài làm của mình khi sử dụng biểu đồ để biểu diễn bảng số liệu trên. Tuy nhiên các em đều đưa ra nhận xét chung chung.
GV hướng dẫn HS phân tích ưu nhược điểm cho từng dạng biểu diễn mà HS đã trình bày trước lớp và kết luận:
- Biểu đồ hình quạt: Thường sử dụng để thể hiện cơ cấu của một tổng thể đối tượng nhất định với số năm ít, được thực hiện khi đánh giá giá trị định tính của các đại lượng được tính bằng phần trăm (%) và các giá trị cộng lại bằng 100%. Trong ví dụ này ta dùng biểu đồ này là chính xác nhất.
- Biểu đồ hình cột: Thường sử dụng thể hiện động thái của sự phát triển, hoặc so sánh qui mô (độ lớn) giữa các đối tượng địa lí. Trong trường hợp này vẫn có thể dùng được.
Tuy nhiên ở ví dụ này, HS đã tính được bảng phân bố tần suất hay bảng cơ cấu mức chi tiêu của một hộ gia đình trong một tháng, các khoản chi tiêu được tính bằng phần trăm và tổng các giá trị là 100%. Do đó, ở ví dụ này biểu diễn bằng biểu đồ quạt là phù hợp nhất.
Ví dụ 2.7. Dựa và bảng số liệu dưới đây (Bảng 2.4), hãy xác định biểu đồ phù hợp nhất để biểu diễn các số liệu và rút ra nhận xét.
Quy trình tổ chức dạy học: GV cho HS quan sát bảng số liệu (Bảng 2.4) và yêu cầu HS tìm phương án để biểu diễn các số liệu. HS thảo luận về các dạng biểu đồ: biểu đồ cột, biểu đồ đường. Đánh giá ưu, nhược điểm của từng dạng biểu diễn và chọn ra cách biểu diễn phù hợp nhất. HS thảo luận đưa ra nhận xét.
Bảng 2.4: Điểm kiểm tra môn Toán, môn Văn của 5 HS lớp 10A1
Tên HS Điểm môn Văn Điểm môn Toán
Hoàng 6 6
Nga 7 8,5
Hà 5 9
Chinh 2 3
Sơn 3,5 5
Đây được coi là một ví dụ rất gần gũi đối với HS, do vậy việc thực hiện ví dụ này có lẽ khá đơn giản. Các nhóm đều đưa ra được dạng biểu diễn hợp lý, đưa ra nhận xét đúng. Kết quả thảo luận của các nhóm như sau:
Bài làm của nhóm 1 và nhóm 2 được đánh giá là đạt cấp độ cao vì đã dùng biểu đồ cột để biểu diễn.
Có sự khác biệt với 2 nhóm trên, nhóm 3 đã dùng biểu đồ đường để biểu diễn cho bảng số liệu. Trong trường hợp này vẫn có thể chấp nhận được tuy nhiên bài làm cũng chưa được đánh giá đạt hiệu quả cao mặc dù đưa ra nhận xét cũng rất đúng.
GV hướng dẫn HS phân tích ưu nhược điểm cho từng dạng biểu diễn và kết luận sau: Ở ví dụ 2.7 nhìn vào bảng số liệu ta thấy nó đề cập đến điểm kiểm tra hai môn Văn, Toán của 5 HS trong cùng một đơn vị thời gian nên sẽ dùng biểu đồ hình cột để so sánh. Vì các số liệu trong bảng có cùng đơn vị đo nên ta không cần phải xử lý số liệu. Trục tung thể hiện số điểm, trục hoành thể hiện tên của HS. Do đó, ở ví dụ này sử dụng biểu đồ cột để biểu diễn số liệu là phù hợp nhất. Bởi lẽ biểu đồ đường thường dùng để vẽ sự thay đổi của các đại lượng khi số năm nhiều và tương đối liên tục, hoặc thể hiện tốc độ tăng trưởng của một hoặc nhiều đại lượng có đơn vị giống nhau hay đơn vị khác nhau.
Ví dụ 2.8.Quan sát bảng số liệu dưới đây (Bảng 2.5) đề xuất phương án biểu diễn số liệu phù hợp nhất về chiều cao trung bình của hai nước. Hãy so sánh chiều cao trung bình của hai nước.
Quy trình tổ chức dạy học: GV hướng dẫn HS quan sát bảng số liệu (Bảng 2.5) và yêu cầu HS tìm phương án để biểu diễn số liệu. HS thảo luận về các dạng biểu diễn: biểu đồ cột, biểu đồ đường và yêu cầu HS biểu diễn số liệu và rút ra nhận xét.
Bảng 2.5: Bảng số liệu về chiều cao trung bình của Việt Nam và Phần Lan năm 2013 (đơn vị: cm)
Việt Nam Phần Lan
Nam 163,7 181,31
Nữ 153 164,4
Các nhóm đều đưa ra được kết quả chính xác: Dùng biểu đồ cột để biểu diễn số liệu theo như dự kiến của GV. Bài thảo luận của HS được đánh giá đạt cấp độ cao (cấp độ 4), cụ thể kết quả thảo luận của các nhóm như sau:
Các nhóm đã đưa ra nhận xét được đánh giá là đạt cấp độ cao “Chiều cao trung bình của người Phần Lan cao hơn rất nhiều so với người Việt Nam: ở Phần Lan, nam giới cao trung bình là 181.31cm cao hơn nam giới Việt Nam 17.61cm; nữ giới cao trung bình là 164,7cm cao hơn nữ giới Việt Nam 11.4cm, nguyên nhân có thể là do kiểu gen quy định, người châu Âu cao hơn người châu Á, mặt khác do khí hậu, chế độ ăn uống, luyện tập của người Phần Lan tốt hơn người Việt Nam”.
Từ bài thảo luận của HS, GV nhấn mạnh cách thức sử dụng biểu đồ nào sao cho hợp lý và đưa ra kết luận: Ở ví dụ 2.8, nhìn vào bảng số liệu ta thấy nó đề cập đến chiều cao trung bình của hai nước Việt Nam và Phần Lan trong cùng một đơn vị thời gian nên sẽ dùng biểu đồ hình cột để so sánh. Vì các số liệu trong bảng có cùng đơn vị đo nên ta không cần phải xử lý số liệu. Trục tung thể hiện số đo chiều cao, trục hoành thể hiện giới tính. Do đó, ở ví dụ này sử dụng biểu đồ hình cột để biểu diễn số
Tóm lại, trước khi dạy biểu diễn số liệu thực tế, khi nhìn vào một dãy hay một bảng các số liệu thực tế thì hầu hết HS không có ý tưởng gì về nó chỉ thấy rằng nó là các số câm, khô khan, không biết dãy số liệu đó nói về cái gì và ý nghĩa của nó như thế nào. Nhưng sau khi đã được học về biểu diễn số liệu thực tế thì khi nhìn vào một bảng số liệu nào đó hầu hết các em đã biết được khi nào thì sử dụng bảng phân bố tần số, tần suất rời rạc khi nào dùng bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp; và khi nhìn vào một biểu đồ bất kì HS biết được biểu đồ đó nói về cái gì và ý nghĩa của nó như thế nào. Tất cả các ví dụ trên giúp HS phát triển hai năng lực thành phần: Mô hình hóa những thông tin thống kê qua công thức, bảng biểu và các dạng biểu đồ thống kê tức là lập được bảng dữ liệu biễu diễn thông tin thống kê thu thập được; lựa chọn loại đồ thị phù hợp để biểu diễn cho số liệu thống kê; tìm được các mối quan hệ qua mô hình hóa thông tin thống kê và đọc hiểu thông tin thống kê từ các mô hình toán học biểu diễn thông tin thống kê như là công thức, bảng biểu hay biểu đồ thống kê.
Qua biện pháp sư phạm này ta thấy HS đã rất hứng thú tham gia học tập trước những yêu cầu mà GV đưa ra, các nhóm thảo luận và đưa ra kết quả được đánh giá cao. Hầu hết các hoạt động mà GV đưa ra trong quá trình thực nghiệm đã có ý nghĩa thực tiễn rất lớn đối với HS góp phần rèn luyện thành tố thứ hai của năng lực suy luận thống kê:
Năng lực suy luận thống kê từ hoạt động tổ chức và trình bày dữ liệu. Cụ thể là phát triển hai năng lực thành phần là năng lực 3 và năng lực 4 đã nêu ở chương 1.