Thuật tốn hàm Green khơng cân bằng được Supriyo Data đưa ra vào năm 2000 và được nhiều tác giả sử dụng để tính dịng truyền qua các linh kiện cĩ cấu trúc nanơ. Phương pháp này ứng dụng tính phương trình Schrodinger-Poisson và kết hợp tính xác suất truyền của điện tử. Trước hết, cần nĩi rõ vì sao áp dụng thuật tốn này.
-Thứ nhất, thuật tốn này là một phương pháp mới, cách giải quyết gọn nhẹ hơn, kết hợp với việc giải phương trình Schrodinger một chiều, cùng phương trình Possion để tìm thế cho CNT.
-Thứ hai, phương pháp này kết hợp với ứng dụng phần mềm MatLab để giải các phương trình, tìm ra ma trận tốn tử. Từ đĩ, tính ra các xác suất truyền của điện tử. Trong thuật tốn, sự “khơng cân bằng” thể hiện độ chênh lệch về năng lượng giữa hai mức Fermi ở hai vùng nguồn và máng. Nhờ hiện tượng khơng cân bằng này mà các điện tử di chuyển qua kênh.
Theo tác giả Suppiyo Datta- tác giả cĩ nhiều cơng trình lớn - thậm chí đã nghiên cứu đến kích thước của Transistor nguyên tử và Transistor phân tử, thì thuật tốn này là cơ sở tính tốn và kiểm tra cho các việc nghiên cứu, chế tạo các transistor ở kích thước nanomet.
Hình 3.1. Mơ hình NEGF cho Transistor kích thước nanơ [31]
Hình 3.1 trình bày sơ đồ khối của một kênh dẫn kích thước nanơ được ghép nối đến hai tiếp xúc điện cực nguồn S và điện cực máng D. Sử dụng tốn tử Hamilton [H] để mơ tả kênh dẫn. Những tiếp xúc điện cực nguồn S và điện cực máng D được xác định tương ứng bằng những ma trận năng lượng riêng ∑1 và ∑2. Trong sự ghép nối đến những tiếp xúc, những mức năng lượng rời rạc của kênh dẫn được mở rộng thành những mật độ những trạng thái liên tục. Sự mở rộng của mức năng lượng cĩ liên quan đến thời gian sống của điện tử trong kênh, dịng điện chảy vào và chảy ra của kênh dẫn. Hiệu ứng của sự ghép nối kênh dẫn đến những tiếp xúc cĩ thể được tính tốn chính xác bởi những ma trận năng lượng riêng 1và 2. Những ma trận năng lượng riêng này cĩ bậc bằng với bậc của ma trận tốn tử Hamilton của kênh dẫn. Quá trình tán xạ rời rác bên trong kênh dẫn cĩ thể được diễn tả bằng việc sử dụng mơ hình ma trận năng lượng S.
Khi kênh dẫn được tiếp xúc với điện cực nguồn và máng, điện tử chuyển vàcĩ thể dịch chuyển vào bên trong hoặc ra khỏi kênh dẫn, làm cho điện thế U(r
) thay đổi. Điện thế U(r
) làm biến đổi mật độ điện tử (r
) bên trong kênh dẫn và quá trình được tiếp tục cho đến khi kênh dẫn đạt được trạng thái ổn định, điện thế U(r
) và mật độ (r
) đạt đến những giá trị ổn định. Đĩ là trạng thái cân bằng hoặc nĩi cách khác là trạng thái bên trong kênh dẫn và những tiếp xúc được xác định bằng một mức năng lượng Fermi đơn ( nghĩa là = 1 = 2). Khi cĩ điện thế áp V áp vào hai điện cực máng D và điện cực nguồn S, lúc này V được duy trì ngang
qua kênh dẫn sẽ làm cho hai mức năng lượng giữa hai tiếp xúc chênh lệch một lượng (1 – 2 )= qV, (q là điện tích của điện tử, q =1,6 10-19 Coulomb). Tiếp xúc điện cực nguồn S bây giờ cĩ vai trị bơm điện tử vào trong kênh, trong khi đĩ tiếp xúc cực máng cĩ vai trị kéo điện tử ra khỏi kênh dẫn, và một dịng điện tử chảy trong kênh dẫn từ tiếp xúc điện cực nguồn S đến tiếp xúc điện cực máng D, tạo nên dịng điện Ichạy trong mạch ngoài. Trong trạng thái ổn định, điện thế U(r
)và mật độ điện tử (r
) một lần nữa đạt đến những giá trị tự tương thích. Kênh dẫn bây giờ được đặt trong trạng thái cân bằng. Độ chênh lệch mức năng lượng Fermi của hai tiếp xúc kênh dẫn với điện cực nguồn S và điện cực máng D là qV.
Hình 3.2. Mơ hình phương pháp “Tự tương thích” [32]
Theo hình 3.2 nếu xác định được mật độ điện tử từ đĩ giải phương trình Poisson và dựa vào lý thuyết phiếm hàm mật độ DFT tính U; khi xác định được H, U, 1,2,S, và 1,2 từ đĩ sử dụng phương pháp NEGF tính mật độ điện tử và tính dịng điện I.
Thuật tốn bắt đầu với việc phỏng đốn cho điện thế U. Dùng tốn tử Hamilton H của kênh dẫn, điện thế U, những ma trận năng lượng riêng 1,2,Svà những mức năng lượng Fermi của hai tiếp xúc kênh dẫn 1, 2 chúng ta cĩ thể tính tốn được mật độ điện tử bằng việc sử dụng hàm tương quan đã được định nghĩa
từ hàm Green khơng cân bằng NEGF. Đây là một phương pháp định lượng sự vận chuyển lượng tử trong cấu trúc nanơ. Nếu biết mật độ điện tử thì chúng ta xác định được điện thế U bằng việc giải phương trình Poisson:
nhữngđiệntích khác
2
. U q (3.1)
Những điện tử khác trong phương trình Poisson biểu thức (3.1) phụ thuộc vào điện tích hạt nhân trong những linh kiện phân tử. Nếu chúng ta muốn một mơ hình cho sự tương tác điện tử - điện tử, chúng ta cần đến đối số cho việc giải phương trình Poisson thơng qua việc sử dụng lý thuyết phiếm hàm mật độ DFT (Density Functional Theory). Nếu cĩ điện thế U thì chúng ta tính tốn mật độ điện tử bằng việc sử dụng những phương trình NEGF. Lặp lại hai bước trên (từ tính U và từ U tính ) mãi cho đến khi đạt được sự hội tụ. Mơ hình phương pháp tự tương thích được thể hiện trên hình 3.2
Phương pháp giải phương trình Poisson và những phương trình NEGF là một kỹthuật đã được áp dụng trong lĩnh vực mơ phỏng linh kiện điện tử cấu trúc nanơ. Phương pháp lý thuyết phiếm hàm mật độ DFT được chuẩn hĩa trong những tính tốn cơ học lượng tử.
3.1.2. Dịng điện chảy qua một mức năng lượng rời rạc
Sự truyền dẫn trong linh kiện phụ thuộc vào những trạng thái năng lượng xung quanh mức năng lượng Fermi E = . Để hiểu tại sao, chúng ta hãy xét cái gì làm cho những dịng điện tử chảy từ điện cực nguồn S xuyên qua kênh dẫn đến điện cực máng D. Ở phần này, chúng ta sẽ giới xem xét đến trường hợp một dịng điện hữu hạn chảy xuyên qua một linh kiện phụ thuộc đường dốc điện thế. Quá trình chảy của dịng điện tử trong kênh dẫn chỉ xảy ra khi cĩ sự chênh lệch điện áp giữa cực máng và cực nguồn, nghĩa là cĩ sự khơng cân bằng năng lượng ở những tiếp xúc nguồn và máng (như tiếp xúc của điện cực nguồn S và điện cực máng D trong trường hợp của MOSFET), có sự chênh lệch mức năng lượng Fermi 1 và 2. Một điện thế VD dương áp vào từ bên ngoài điện cực máng D đối với điện
cực nguồn S, tạo nên sự chênh lệch mức năng lượng Fermi ở điện cực máng D và điện cực nguồn S (2 thấp hơn 1) bởi qVD:
1 – 2 = qVD (3.2)
Kết quả tại những tiếp xúc của điện cực nguồn S và điện cực máng D với kênh dẫn có hai hàm Fermi khác nhau:
1 0 ] / ) [( 1 1 1 ) ( 1 f E e E f E k T B (3.3a)
Với f1(E) là hàm Fermi ứng với mức năng lượng Fermi 1 của tiếp xúc điện cực nguồn S. 2 0 ] / ) [( 2 1 1 ) ( 2 f E e E f E k T B (3.3b)
Và f2(E) là hàm Fermi ứng với mức năng lượng Fermi 2 của tiếp xúc điện cực máng D theo cơng thức (3.2).
Các hàm Fermi phụ thuộc vào các thông số như: năng lượng E, mức năng lượng Fermi 1 và 2, nhiệt độ T, điện thế áp vào điện cực máng D đối với điện cực nguồn S.
Yêu cầu đặt ra là tại mỗi tiếp xúc phải thiết lập và tạo trạng thái cân bằng cho kênh dẫn. Điện cực nguồn S cần phải bơm điện tử vào trong kênh dẫn, hy vọng thiết lập được trạng thái cân bằng. Nhưng trạng thái cân bằng khơng bao giị đạt được là do điện cực máng D tiếp tục kéo điện tử ra khỏi kênh dẫn để thiết lập trạng thái cân bằng. Theo cách này, kênh dẫn bắt buộc phải giữ thăng bằng giữa hai tiếp xúc (hai giếng lượng tử) với lộ trình khác nhau và đặt kênh dẫn vào trong trạng thái khơng cân bằng trung gian giữa hai điện cực nguồn và điện cực máng.
Hình 3.3. Mơ hình vận chuyển điện tử trong kênh dẫn [32]
Khi cĩ điện thế dương VD > 0 áp vào điện cực máng D đối với điện cực nguồn S tạo nên sự chênh lệch mức năng lượng Fermi giữa hai điện cực. Kênh dẫn cĩ một mức năng lượng nằm trong khoảnggiữa vùng giới hạn bởi hai mức năng lượng Fermi là 1 và 2 lần lượt củađiện cực nguồn và điện cực máng. Ở tiếp xúc điện cực nguồn S với kênh dẫn (tiếp xúc 1) tồn tại f1()điện tử. Trong khi đĩ, ở tiếp xúc của kênh dẫn với điện cực máng D (tiếp xúc 2) tồn tại f2()điện tử.Ở trạng thái khơng cân bằng, số điện tử trung bình N cĩ mức năng lượng xác định sẽ cĩ giá trịc trung gian giữaf1()và f2().Một điện tử cĩ nănglượngtrên mức năng lượng có thể thoát vào trong tiếp xúc điện cực nguồn S và điện cực máng D lần lượt với vận tốc 1 và 2 .
Hình 3.4. Dòng của những điện tử vào trong và ra khỏi kênh dẫn một mức
Dòng điện I1 xuyên qua tiếp xúc điện cực nguồn S được xác định như sau: f N q I 1 1 1 (3.4a)
Trong đó: q là điện tích của điện tử.
Tương tự, dòng điện I2 ngang qua tiếp xúc điện cực máng Dlà:
f N q I 2 2 2 (3.4b)
Chúng ta có thể giải thích những vận tốc không đổi 1 và 2 là những vận tốc mà ở đó một điện tử đặt vào ban đầu trên mức năng lượng nằm trong khoảng giữa giới hạn bởi hai mức năng lượng Fermi của điện cực nguồn S và điện cực máng D: 1 và 2 sẽ thoát vào trong những tiếp xúc điện cực nguồn S và điện cực máng D. Theo nguyên tắc, chúng ta có thể đo những đại lượng này bằng thực nghiệm, trong đó 1 và 2 độ rộng của mức năng lượng.
Dòng điện trong mô hình một mức năng lượng:
Dưới điều kiện trạng thái không cân bằng cố định, không có dòng vào
trong hoặc ra khỏi kênh dẫn, I1 + I2 = 0, từ biểu thức (3.4a) và (3.4b) chúng ta
thu được kết quả:
2 1 2 2 1 1 f f N (3.5)
Có trung bình N điện tử với trạng thái cố định trong kênh dẫn ở vào
khoảng giữa f1() và f2(). Dòng điện chạy qua trên một mức năng lượng cho một spin được xác định theo biểu thức:
2 1 2 1 2 1 2 q f f I I I I (3.6a)
Biểu thức (3.6a) trên là biểu thức dòng điện I cho một spin. Chúng ta cần phải nhân 2 dòng điện I, nếu có hai trạng thái spin có cùng năng lượng:
2 1 2 1 2 1 2q f f I (3.6b)
Kết quả đơn giản trên được sử dụng để minh hoạ quá trình dòng điện tử chảy trong kênh dẫn từ tiếp xúc điện cực nguồn S đến tiếp xúc điện cực máng D.
Đầu tiên, không có dòng điện tử nếu f1() = f2(). Một mức năng lượng của kênh dẫn mà nó ở dưới cả hai mức năng lượng Fermi 1 và 2, có f1() = f2() = 1 và sẽ không đóng góp vào quá trình tạo dòng điện I và khi đó dòng điện I
bằng không (I = 0), giống như một mức năng lượng của kênh dẫn ở trên cả hai mức năng lượng Fermi 1 và 2 và có f1() = f2() = 0. Duy nhất khi một mức
năng lượng của kênh dẫn nằm trong khoảng giữa giới hạn kBT của hai mức năng lượng Fermi 1 và 2 có f1() f2() và một dòng điện tử chảy trong kênh dẫn từ
tiếp xúc điện cực nguồn S đến tiếp xúc điện cực máng D, dòng điện I khác không (I 0). Tiếp xúc điện cực nguồn S cần bơm những điện tử vào trong kênh dẫn, cố gắng nâng số điện tử trong kênh dẫn lên từ N đến f1(). Trong khi đó, tiếp xúc điện cực máng D kéo những điện tử ra khỏi kênh dẫn cố gắng hạ số điện tử N trong kênh xuống đến f2(). Hiệu ứng mạng lưới là một sự di chuyển liên tục của những điện tử từ tiếp xúc điện cực nguồn S xuyên qua kênh dẫn đến tiếp xúc điện cực máng D tương ứng với dòng điện I trong mạch ngoài.
Như vậy, chỉ có những mức năng lượng của kênh dẫn nằm trong khoảng giữa giới hạn bởi hai mức năng lượng Fermi 1 và 2 của tiếp xúc điện cực
nguồn S và điện cực máng D có f1() f2() là đóng góp vào quá trình tạo nên
dòng I trong mạch ngoài.
Căn cứ vào mức năng lượng E = , sự mở rộng 1, 2 và những mức năng lượng Fermi 1, 2 của hai tiếp xúc điện cực nguồn S và điện cực máng D, chúng ta có thể giải phương trình trong biểu thức (3.6) cho dòng điện I, nếu chúng ta không xem xét đến những hiệu ứng thay đổi điện tích trong những tính toán. Bởi thế, chúng ta sẽ thêm một điện thế U phụ thuộc vào sự thay đổi số điện tử từ giá
trị 2f0(), với f0() là hàm Fermi tương ứng với mức năng lượng Fermi trong trạng thái cân bằng.
Một mô hình một mức rời rạc đơn giản cần thiết để mô tả nhiều tính chất vật lý của sự truyền dẫn xuyên qua kênh dẫn được ghép nối đến những tiếp xúc điện cực nguồn S và điện cực máng D. Chúng ta có thể cho rằng mức năng lượng như mức kênh dẫn gần ngang với mức năng lượng Fermi . Mức năng lượng Fermi nằm trong dải năng lượng giữa HOMO và LUMO, và độ dẫn được xác định bởi với tương ứng mức HOMO hoặc mức LUMO. Dòng điện tương ứng xuất hiện khi một mức kênh dẫn được di chuyển vào trong khoảng giữa giới hạn bởi hai mức năng lượng Fermi 1 và 2 của tiếp xúc điện cực nguồn S và điện cực máng D.
3.1.3. Tác động của điện thế ngoài.
Những điện thế ngoài được áp vào những điện cực (điện cực nguồn S, máng D và cổng G) làm thay đổi điện thế tĩnh điện trong kênh dẫn và những mức năng lượng. Linh kiện một mức với mức năng lượng Fermi của hai tiếp
xúc ở trạng thái cân bằng được xác định ở mức cao hơn mức năng lượng E = không lớn lắm được thể hiện như hình 3.6.
Hình 3.6. Mô hình transistor một mức trong trạng thái cân bằng [32]
Khi áp vào một điện thế VD giữa điện cực nguồn S và điện cực máng D tạo nên sự chênh lệch giữa hai mức năng lượng Fermi 1 và 2 là 1 – 2 = qV.
Dòng điện tử chỉ chảy trong kênh dẫn khi mức năng lượng nằm trong khoảng giới hạn bởi hai mức năng lượng Fermi 1 và 2 vàphụ thuộc vào sự dịch chuyển của mức năng lượng , có những khả năng khác nhau:
Hình 3.7. Khi điện thế kênh dẫn nằm giữa điện thế điện cực nguồn S và
Khi đặt những điện thế dương và điện thế âm vào điện cực cổng G (chú ý rằng giả thiết điện thế điện cực nguồn S là không thay đổi, trong khi điện thế điện cực máng D thay đổi). Mức năng lượng trong kênh dẫn bị dịch chuyển nằm trong khoảng giới hạn bởi hai mức năng lượng Fermi 1 và 2, dòng điện tử sẽ chảy trong kênh dẫn tùy theo chiều phân cực điện thế (V > 0 hoặc V < 0), tạo nên dịng điện chạy qua kênh dẫn.