... x
2
sin 4x 0
5
xk2 k2,k
66
5
xk2x k2,k
66
Trường hợp 2 Phươngpháp đối lập
Nếu
A MB
AB
≤≤
⎧
⎨
=
⎩
thì
A BM= =
Bài 159 Giảiphương trình:
−=+
44
sin x cos x sin x cos x (*)
Ta có: (*) ... 1 sin3x4
+ ≥
Vậy
22
4 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤≤+
Dấu = của phươngtrình (*) đúng khi và chỉ khi
Bài 172: Giảiphươngtrình
sin sin sin sinx xx+=+
46810
x
(*)
Ta có
sin sin
sin ...
⎧π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎪
π
⎪
⎝⎠
⇔⇔=+
⎨
π
⎪
=+ π∈
⎪
⎩
π∈
sin 2x 1
6
xh,h
3
xh2,h
3
Bài 168: Giảiphương trình:
()
4cosx2cos2xcos4x1*−−=
Ta có:
()
( ) ( )
⇔ −−−−
22
* 4 cos x 2 2cos x 1 1 2sin...
... 01699257507 Phươngtrìnhlượnggiáckhôngmẫumực http://nguyentatthu.violet.vn
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa
1
Chuyên ñề: Phươngtrìnhlượnggiáckhôngmẫumực
ðể giảiphương ... giáckhôngmẫumực
ðể giảiphươngtrìnhlượnggiáckhôngmẫu mực, ta sử dụng các phép biến ñổi lượng giác, ñưa
phương trình ñã cho về những dạng phươngtrình ñã biết. Khi thực hiện các phép ... cùng một hàm số lượng giác: Trong một phươngtrình nếu các hàm số lượnggiác có mặt
trong phươngtrình có thể cùng biểu diễn qua ñược một hàm số lượnggiác thì ta ñưa phươngtrình ñã cho
về...
... 0
CHƯƠNG VIII
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁCKHÔNGMẪUMỰC
Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM
Áp dụng Nếu
A 0B0
AB0
≥∧ ≥
⎧
⎨
+=
⎩
thì A = B = 0
Bài 156 Giảiphương trình:
22
4cos ... 3x 1 sin3x4
+ ≥
Vậy
22
4 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤≤+
Dấu = của phươngtrình (*) đúng khi và chỉ khi
Bài 163: Giảiphương trình:
( )
22
cos3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)+− = +
Do bất đẳng ... x
2
sin 4x 0
5
xk2 k2,k
66
5
xk2x k2,k
66
Trường hợp 2 Phươngpháp đối lập
Nếu
A MB
AB
≤≤
⎧
⎨
=
⎩
thì
A BM= =
Bài 159 Giảiphương trình:
−=+
44
sin x cos x sin x cos x (*)
Ta có: (*)...
...
()
*x0
⇔
=•
CHƯƠNG VIII
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁCKHÔNGMẪUMỰC
Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM
Áp dụng Nếu
A
0B0
AB0
≥∧ ≥
⎧
⎨
+=
⎩
thì A = B = 0
Bài 156 Giảiphương trình:
22
4cos ... x
2
sin 4x 0
5
xk2 k2,k
66
5
xk2x k2,k
66
Trường hợp 2 Phươngpháp đối lập
Nếu
A
MB
AB
≤≤
⎧
⎨
=
⎩
thì
A
BM
=
=
Bài 159 Giảiphương trình:
−=+
44
sin x cos x sin x cos x (*)
Ta có: ... ⎧π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎪
π
⎪
⎝⎠
⇔⇔=+
⎨
π
⎪
=+ π∈
⎪
⎩
π∈
sin 2x 1
6
xh,h
3
xh2,h
3
Bài 168: Giảiphương trình:
()
4cosx2cos2xcos4x1*−−=
Ta có:
()
(
)
(
)
⇔
−−−−
22
* 4 cos x 2 2cos x 1 1 2sin...
... vào phương trình bởi vì thơng thường điều kiện xảy ra đẳng thức khơng nhiều giúp ta có
thể giải nhanh các phương trình. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức là mợt phương ...
41
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
Naêm hoïc 2006 – 2007
47
Chuyên đề Lượnggiác và Ứng dụng
1 cos 0
1 cos2 0
1 cos4 0
x
x
x
+ =
⇔ + =
+ =
vơ nghiệm
Vậy phương trình đã cho ... ≤ + =
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỚI LẬP:
(Còn có tên gọi là phương pháp gặp nhau ở cửa-chặn trên chặn dưới 2 vế):
A M
A = M
B M
B= M
A=B
≥
≤ ⇔
Bài tốn 1: Giải phương trình:
5...
... nhiên quen thuộc hay không mẫu
mực, phụ thuộc vào trình độ của ngời giải Toán. Tôi xin đa ra một số phơng
pháp giải một số phơng trình và hệ phơng trìnhkhôngmẫu mực, với phơng
pháp này tôi đà giúp ... phơng trình
và hệ phơng trìnhkhôngmẫumực để từ đó biết cách t duy suy nghĩ trớc
những phơng trình và hệ phơng trìnhkhôngmẫumực khác.
B. Giải quyết vấn đề
I. Phần I: Phơng trình.
1. Phơng trình ... đề:
Phơng phápgiải phơng trình
và hệ phơng trìnhkhôngmẫu mực
A/ Đặt vấn đề:
Trong quá trình học Toán, các em học sinh có thể gặp các bài toán mà
đầu đề có vẻ lạ, không bình thờng, những bài toán không...
... (sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
13 .Giải phươngtrìnhlượng giác:
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
Giải
Điều kiện:
( )
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 ... +
¢
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phươngtrình đã cho là
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈ ¢
14 .Giải phươngtrình cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2
8
+
GiảiTa có: cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x ... x
+
+ + − =
⇔
2
cos 4 ,
2 16 2
x x k k Z
π π
= ⇔ = ± + ∈ .
15 .Giải phương trình:
cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x+ = − −
Giải
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)
2
– 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 1
cos...
... đó đưa về phươngtrình theo t.
Ví dụ 1. Giảiphương trình: 1 + 3tanx = 4sin2x ( 1 )
Điều kiện: cosx
≠
0
ChươngII: CÁC PHƯƠNGPHÁPGIẢIPHƯƠNGTRÌNHLƯƠNGGIÁC TỔNG QUÁT
I. Phươngpháp 1: BIẾN ... = 0
IV. Phươngpháp 4: ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG.
*Cách giải: Đưa phươngtrình về dạng
∑
=
k
i
i
xP
1
2
)(
⇔
=
=
=
0)(
0)(
0)(
2
1
xP
xP
xP
k
Ví dụ 1. Giảiphương trình: cos2x ... = 3
V. Phươngpháp 5: DÙNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA HÀM SIN, COS.
+ Nhận dạng: Cách này thường được sử dụng khi gặp các phươngtrình mũ cao hoặc không thể
biến đổi đưa về phươngtrìnhlượnggiác cơ...
... từ phương trình, bất phương trình, hệ phươngtrình đại số
về phương trình, bất phương trình, hệ phươngtrìnhlượnggiác được gọi là
" ;lượng giác hóa" các phương trình, bất phương trình, ... dụng lượnggiác để giảiphương trình, bất
phương trình và hệ phươngtrình đại số
Phương pháp chung
Khi giảiphương trình, bất phương trình, hệ phươngtrình đại số, nhiều
khi ta gặp phải các phương ... thức lượnggiác và đồng nhất thức đại số tương ứng.
- Nêu định nghĩa và một số tính chất của đa thức lượng giác.
Chương 2. Một số phươngphápgiảiphươngtrình và bất phương
trìnhlượng giác
-...
... 2
Một số phươngphápgiải phương
trình và bất phươngtrìnhlượng giác
2.1 Phươngtrìnhlượnggiác đưa về dạng phương
trình đại số
2.1.1. Phươngtrình đẳng cấp đối với sin x và cos x
1. Phươngpháp ... thức lượnggiác và đồng nhất thức đại số tương ứng.
- Nêu định nghĩa và một số tính chất của đa thức lượng giác.
Chương 2. Một số phươngphápgiảiphươngtrình và bất phương
trìnhlượng giác
- ... loại phươngphápgiải một số dạng phươngtrình và bất phương
trìnhlượng giác.
- Những ví dụ minh họa cho từng phương pháp.
- Một số bài tập ứng dụng.
Chương 3. Một số ứng dụng của lượng giác...
... cos x 1 cos x 2cos x.cos 9x+= +
⇔
cos x 1=
⇔
(
)
xk2kZ=π∈
Bài 37 : Giảiphươngtrình
Chương 2: PHƯƠNGTRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
=+ π
⎡
=⇔
⎢
=π− + π
⎣
uvk2
sin u sin v
uvk2
cos u cos ... y/
tgx cos x cos+−x sin x 1 tg tgx
2
⎛⎞
= +
⎠
.
⎜⎟
⎝
4 Cho phương trình:
()
(
)(
2
)
2s x m 3 4cos x 1++=−
a/ Giảiphươngtrình khi m = 1
2sinx 1 2cos2x in−
[
]
0,
π
b/ Tìm m để (1) ... 1m3
=
∨<−∨
( ĐS:
>
)
5. Cho phương trình:
(
)
5
4cos xs
52
inx 4sin x.cosx sin 4x m 1−=+
Biết rằng
x
=
π
là một nghiệm của (1). Hãy giảiphươngtrình trong trường
hợp đó.
Th.S...
... Cho phươngtrình cosx + msinx = 2 (1)
a/ Giảiphươngtrình
m3=
b/ Tìm các giá trị m để (1) có nghiệm (ĐS :
m3≥ )
3. Cho phươngtrình :
()
msinx2 mcosx2
1
m2cosx m2sinx
−−
=
−−
a/ Giải ...
ha
y
xk,k
=ϕ
+π ∈¢
Bài 105 : Cho phươngtrình
()
2
3
54sin x
6tg
2
*
sin x 1 tg
π
⎛⎞
+−
⎜⎟
α
⎝⎠
=
+α
a/ Giảiphươngtrình khi
4
π
α
=−
b/ Tìm
α
để phươngtrình (*) có nghiệm
j/ cos7xcos5x ... π
⇔+=+π∨+=+π∈
ππ ππ
⇔=− + ∨=+ ∈
¢
¢
Bài 104 : Cho phươngtrình :
()
22
2sin x sin xcosx cos x m *−−=
a/ Tìm m sao cho phươngtrình có nghiệm
b/ Giảiphươngtrình khi m = -1
Ta có : (*)
() ()
11
1cos2x...
... Giảiphươngtrình khi m = 4
b/ Tìm m để phươngtrình có nghiệm
4. Cho phươngtrình :
(
)
sin x cos x m sin x cos x 1 0
−
++=
a/ Giảiphươngtrình khi
m2=
b/ Tìm m để phươngtrình có nghiệm ... Cho phươngtrình
()
(
)
sin 2x sin x cos x m 1+=
a/ Chứng minh nếu
m> 2 thì (1) vô nghiệm
b/ Giảiphươngtrình khi
m2=
3. Cho phươngtrình
(
)
sin 2x 4 cos x sin x m+−=
a/ Giảiphương ... c
2
+−=
2
bt 2a t b 2 c 0⇔+−−=
Giải (2) tìm được t, rồi so với điều kiện t2≤
giảiphươngtrình
π
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎝⎠
2sin x t
4
ta tìm được x
Bài 106 : Giảiphươngtrình
(
)
23
sin x sin x cos...
... 1
4
=
⎧
⎪
⇔
π
⎨
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
CHƯƠNG VIII
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁCKHÔNGMẪUMỰC
Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM
Áp dụng Nếu
A
0B0
AB0
≥∧ ≥
⎧
⎨
+=
⎩
thì A = B = 0
Bài 156 Giảiphương trình:
22
4cos ... x
2
sin 4x 0
5
xk2 k2,k
66
5
xk2x k2,k
66
Trường hợp 2 Phươngpháp đối lập
Nếu
A
MB
AB
≤≤
⎧
⎨
=
⎩
thì
A
BM
=
=
Bài 159 Giảiphương trình:
−=+
44
sin x cos x sin x cos x (*)
Ta có: ...
(*)
sin sin sin sin
x
ha
y
xx x⇔= +=+
4246
01
sin sin
x
ha
y
x⇔=
2
01=
BÀI TẬP
Giải các phươngtrình sau
()
−+ =
π
⎛⎞
−=+ −
⎜⎟
⎝⎠
+=
23
22 2
1. lg sin x 1 sin x 0
2. sin 4x cos 4x 1...
...
22
bc
cotg
4S
−
α=
Cách khác:
Gọi S
1
, S
2
lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH
p dụng định lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có:
+−
α=
22
1
2
A
MBMc
cotg
4S
(3)
+−
−α=
22
2
2
A
MCMb
cotg
4S
... 200:
Cho
A
BCΔ
có trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp I. Biết GI vuông
góc với đường phân giác trong của . Chứng minh:
BCA
abc 2ab
3ab
+
+
=
+
Vẽ
GH AC,GK BC,ID AC⊥⊥⊥
IG cắt AC tại ... MH
A
H
+−−
=
=
α= =
0
2MH
2cotg 2cotg45 2
A
H
Cách khác
:
p dụng định lý hàm cos trong tam giác ABM và ACM ta có:
+−
=
22
1
BM c AM
cotg B
4S
2
(5)
+−
=
22
2
CM b AM
cotg C
4S
2
(6)
Lấy...