... hoỏ Mt khụng gian vộct trờn K cũn c gi l mt K -khụng gian vộct, hay n gin: mt khụng gian vộct, nu K ó rừ Khi K = R , V c gi l mt khụng gian vộct thc Khi K = C , V c gi l mt khụng gian vộct phc ... w1 P W Khụng gian V trc tip ca cỏc khụng gian V v W W c gi l tớch Gi s V l mt khụng gian vộct Cỏc tớnh cht sau õy c suy t nh ngha ca khụng gian vộct i s tuyn tớnh 37 Chng Khụng gian vect (1) ... Chng Khụng gian vect 1.1 Khỏi nim khụng gian vộct 1.2 c lp tuyn tớnh v ph thuc tuyn tớnh 1.3 C s v s chiu ca khụng gian vộct 1.4 Khụng gian - Hng ca mt h vộct 1.5 Tng...
... tới không, họ số bị chặn khônggian định chuẩn - Xây dựng khônggian họ số khả tổng, khônggian họ số hội tụ tới không, khônggian họ bị chặn chứng minh tính đầy đủ chúng Thiết lập mối quan hệ ... x, y E Khônggian tuyến tính E với chuẩn đợc gọi khônggian định chuẩn ký hiệu (E, p) hay E Ta thờng viết x thay cho p(x) Khônggian định chuẩn E đợc gọi khônggian Banach E khônggian mêtric ... thấy mối quan hệ ánh xạ tuyến tính liên tục từ khônggian định chuẩn E vào khônggian định chuẩn F ánh xạ tuyến tính liên tục từ khônggian họ khả tổng tuyệt đối {E} vào khônggian họ khả tổng...
... Cho V khônggianvéctơ tr-ờng K Tập U V khônggianvéctơ V đ-ợc gọi khônggian V , kí hiệu U V , U khônggianvéctơ tr-ờng K với phép toán cộng véctơ nhân véctơ với số khônggianvéctơ V Định ... mệnh đề () cách chọn = Ví dụ 3.1.2 (Về khônggianvéctơ con) Tập hợp gồm véctơkhônggianvéctơ V hai khônggian tầm th-ờng khônggianvéctơ V Tập hợp véctơ hình học song song với mặt phẳng ... L(B) sinh hệ B Nh- ta nói hạnghệvéctơ số l-ợng tối đa véctơ độc lập tuyến tính hệ số chiều khônggian sinh hệ Ví dụ 3.3.3 Các véctơ , b , , d véctơ đồng phẳng (trong khônggianvéctơ a...
... xạ tuyến tính a Ker(f) khônggian V b Im(f) khônggian W 6.3 Hạng ánh xạ tuyến tính – Định lí số chiều Định nghĩa 6.4: Nếu f: V → W ánh xạ tuyến tính số chiều Im(f) gọi hạng f, ký hiệu rank(f) ... (6.4) Định lí 6.5: Hạng ma trận A số chiều Im(f) Chứng minh: Ta có {f(e1), , f(en)} hệ sinh Im(f) Do đó, số chiều Im(f) hạnghệ véc tơ {f(e1), f(en)}, hạng {f(e1), , f(en)} hạng A Do r(A) = dim(Im(f)) ... cấu khônggian n chiều với Định nghĩa 6.2: Hai khônggian véc tơ V V′ gọi đẳng cấu véc tơ x ∈ V véc tơ x′ ∈ V′ có tương ứng – 1: x ↔ x′ cho x ↔ x′ y ↔ y′ x + y ↔ x′ + y′ αx ↔ αx′, α ∈ Hai không...
... xạ tuyến tính a Ker(f) khônggian V b Im(f) khônggian W 6.3 Hạng ánh xạ tuyến tính – Định lí số chiều Định nghĩa 6.4: Nếu f: V → W ánh xạ tuyến tính số chiều Im(f) gọi hạng f, ký hiệu rank(f) ... (6.4) Định lí 6.5: Hạng ma trận A số chiều Im(f) Chứng minh: Ta có {f(e1), , f(en)} hệ sinh Im(f) Do đó, số chiều Im(f) hạnghệ véc tơ {f(e1), f(en)}, hạng {f(e1), , f(en)} hạng A Do r(A) = dim(Im(f)) ... cấu khônggian n chiều với Định nghĩa 6.2: Hai khônggian véc tơ V V′ gọi đẳng cấu véc tơ x ∈ V véc tơ x′ ∈ V′ có tương ứng – 1: x ↔ x′ cho x ↔ x′ y ↔ y′ x + y ↔ x′ + y′ αx ↔ αx′, α ∈ Hai không...
... Định nghĩa Kgđc (X, || · ||) gọi khônggian Banach X với mêtric sinh || · || khônggian đầy đủ Vì kgđc trường hợp đặc biệt khônggian mêtric nên tất kết khônggian mêtric cho kgđc Ngoài ra, ta ... sinh sở e Mệnh đề Trên khônggian hữu hạn chiều, hai chuẩn tương đương với Trên kgđc hữu hạn chiều, tập compact đóng bị chặn Mộtkhônggian định chuẩn hữu hạn chiều khônggian đầu đủ Do đó, kgvt ... |x(t)| chuẩn mêtric sinh chuẩn mêtric hội tụ C[a, b] Khônggian định chuẩn Định nghĩa • Khônggianvectơ X với chuẩn || · || nó, gọi khônggian định chuẩn (kgđc), ký hiệu (X, || · ||) • Các khái...
... hai K khônggian véc tơ trường K , f : U → V ánh xạ tuyến tính, đó: Nếu U ′ khônggian U f (U ′ ) khônggian V Nếu V ′ khônggian V f −1 (V ′ ) khônggian U Chứng minh: Do U ′ khônggian nên ... (R [x] khônggian đa thức hệ số thực) b ϕ : R [x] → P1 [x], ϕ(f (x)) = r(x) r(x) phần dư chia đa thức f (x) cho đa thức x2 + 1.(P1 [x] khônggian đa thức hệ số thực bậc không vượt đa thức không) ... (α1 ) + tf (β1 ) = f (sα1 + tβ1 ) Do U ′ khônggian α1 , β1 ∈ U ′ nên sα1 + tβ1 ∈ U ′ Từ f (sα1 + tβ1 ) ∈ f (U ′ ) Vậy f (U ′ ) khônggian V Vì V ′ khônggian nên θV ∈ V ′ mà f (θU ) = θV nên...
... ) Khi ker f khônggian Rn , gọi khônggian nhân f Imf khônggian Rm , gọi khônggian ảnh f Đònh lý Nếu A dạng ma trận ánh xạ tuyến tính f ker f khônggian nghiệm hệ AX = Imf khônggian dòng ma ... tính Hệ Cho f ∈ L(Rn , Rm ) Khi dim Imf + dim ker f = n dim Imf gọi hạng f, ký hiệu r(f); dim ker f gọi số khuyết f, ký hiệu null(f) PP tìm sở cho khônggian nhân khônggian ảnh Để tìm sở cho không ... gian ảnh Để tìm sở cho khônggian nhân khônggian ảnh ánh xạ tuyến tính f ∈ L(Rn , Rm ), ta thực sau: Xác đònh dạng ma trận A f Chuẩn hóa A để xác đònh tập nghiệm hệ AX = Khi đó, tập nghiệm sở...
... f (αik ) hệ ĐLTT tối đại hệ {f (α1 ), , f (αn )} (do rank{f (α1 ), , f (αn )} = k), theo tính chất c., hệvéctơ αi1 , , αik ĐLTT, hệ ĐLTT tối đại hệ α1 , , αn có không k véctơ, tức ... định ánh xạ tuyến tính Định lý 3.1 Cho V khônggianvéctơ n chiều ( dimV = n), α1 , , αn (α) sở tùy ý V , U khônggianvéctơ tùy ý β1 , , βn hệvéctơ tùy ý U Khi tồn ánh xạ tuyến tính ... cấu Hai khônggianvéctơ U, V gọi đẳng cấu tồn đẳng cấu f : V → U Dễ thấy quan hệ đẳng cấu quan hệ tương đương 6.2 Các định lý đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Định lý 6.1 Hai khônggianvéctơ V,...
... x3 , x4 ) nghiệm hệ x1 − x2 + x3 = 2x1 + x4 = (1) 2x2 + x3 + x4 = Do đó, Ker f khônggian nghiệm hệ (1) hệ nghiệm hệ (1) sở Ker f Để giải hệ (1), ta biến đổi ma trận hệ số mở rộng: ... nghiệm hệ sau: 1 1 1 1 −1 1 −1 −1 −1 −→ 0 −1 −3 −1 −3 1 1 −→ 1 −1 0 2 −4 – Hệ 1: a3 = 1, a2 = −a3 = −1, a1 = − a3 = – Hệ 2: b3 = −2, b2 = −1 − b3 = 1, b1 = −b3 = – Hệ 3: ... ci nghiệm phương trình véctơ (1), (2), (3) Mỗi phương trình (1), (2), (3) tương đương với hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số (chỉ khác cột tự do), đó, ta giải lúc hệ sau: 1 1 1...
... Kerf = {x ∈ X : f (x) = 0} khônggian đóng • Khônggian L(X, K) tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X thường ký hiệu X ∗ gọi khônggian liên hợp X Từ định lý ta có X ∗ khônggian Banach với chuẩn |f ... ) trở thành khônggian định chuẩn ta định nghĩa chuẩn A ∈ L(X, Y ) phép toán sau : (A + B)(x) = A(x) + B(x) (λA)(x) = λA(x), x∈X Định lý : Nếu Y khônggian Banach L(X, Y ) khônggian Banach Phiếm ... sup ||A(x)||Y (đpcm) x∈S Bài Cho khônggian định chuẩn (X1 , ||.||1 ), (X2 , ||.||2 ), (Y, ||.||Y ) ánh xạ tuyến tính liên tục Ak : Xk −→ Y, k = 1, Trên khônggian định chuẩn tích X1 × X2 ta xét...
... f (x)} = f (E ) ảnh ánh xạ f Định lý Cho K -kgv E F , f ∈ L(E , F ), Im(f ) khônggianvéctơ F Ker (f ) khônggianvéctơ E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 67 Khái ... ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 34 / 67 Ma trận ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ véctơ qua ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ véctơ qua ánh xạ tuyến tính Cho E , F K -kgv, ∀f ∈ L(E , F ) B = {e1, ... TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 43 / 67 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính khônggian Liên hệ tọa độ véctơ qua ánh xạ tuyến tính Nếu X = (x1, x2, , xn )T = [x]B , Y = (y1, y2, ,...
... V W b Định lý Mọi khônggianvectơ n chiều trường K đẳng cấu với Kn §1 Ánh xạ tuyến tính 1.4 Hạt nhân-Ảnh -Hạng ánh xạ tuyến tính Đn1 Cho ánh xạ tuyến tính f:V→W khônggianvectơ - Hạt nhân ... hiệu Im(f) xác định Im(f)={f(u)|u V}=f(V) §1: Ánh xạ tuyến tính Mđ Ker(f) khônggian V Im(f) khônggian W c/m:… Đn2: Hạng ánh xạ tuyến tính f, kí hiệu r(f) hay rank(f), số chiều Im(f) r(f) = ... ma trận toán tử tyến tính f khônggianvectơ V theo hai cở sở V đồng dạng với (ii) Quan hệ đồng dạng hai ma trận quan hệ tương đương (iii) A B đồng dạng detA = detB Một số đề thi Bài Cho toán...
... trận m × n gồm hệ số vế trái ràng buộc chính, Aj véc tơ cột thứ j A tương ứng với biến xj , b véc tơ hệ số vế phải ràng buộc chính, c véc tơ hệ số hàm mục tiêu, x véc tơ ẩn số, véc tơ không) Với ... ứng - với ràng buộc toán đối ngẫu b) Các hệ số vế phải ràng buộc toán gốc trở thành hệ số mục tiêu toán đối ngẫu, hệ số mục tiêu toán gốc lại trở thành hệ số vế phải ràng buộc toán đối ngẫu Số ... chiến lược hay phương án tối ưu cho Một phương án tối ưu cho tất đối tác thường không tồn tại, lợi ích đối tác nhiều đối kháng Do đó, phương án tốt cho đối tác lại không tốt cho đối tác Từ đó, hình...
... ảnh ánh xạ tuyến tính 1.1 Khônggian nhân 1.2 Khônggian ảnh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 14 / 31 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 2.1 Khônggian nhân Định nghĩa Cho ... Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 2.1 Khônggian ảnh Định nghĩa Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính Ta đặt Imf = {f (u) | u ∈ V } Khi Imf khônggian W , ta gọi Imf khônggian ảnh f Định lý Cho f : V → ... nghĩa Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính Ta đặt Kerf = {u ∈ V | f (u) = 0} Khi Kerf khônggian V , ta gọi Kerf khônggian nhân f Nhận xét Dựa vào Định nghĩa, ta u ∈ Kerf ⇔ f (u) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN...
... cấu khônggian ma trận cấp mìn khônggian ma trận cấp nxm 18 Chứng minh khônggian sau đẳng cấu với a Khônggian ma trận vuông đối xứng cấp nxn b Khônggian ma trận tam giác cấp nxn c Khônggian ... Khônggian véc tơ đối ngẫu a Khônggian ánh xạ tuyến tính L(E,F) Với E F hai khônggian tuyến tính trờng K, gọi tập ánh xạ tuyến tính từ E vào F là:L(E,F) Hệ Với phép toán (f+g) (f), L(E,F) không ... a Nếu hệ {f(e1),f(e2), ,f(en)} hệ sinh F f toàn cấu b Nếu hệ {f(e1),f(e2), ,f(en)} hệ độc lập tuyến tính F f đơn cấu c Nếu hệ {f(e1),f(e2), ,f(en)}là sở F f đẳng cấu d Hạng {e1,e2, ,en} hạng {f(e1),f(e2),...
... phép biến đổi tuyến tính khônggian R[x] đa thức thực biến x 4.hép lấy tích phân xác định: ánh xạ tuyến tính từ khônggian C[a,b] hàm số thực liên tục [a,b] đến khônggian R 5: Cho điểm tính Nghĩa ... V, W hai khônggian vec-tơ trường số Chứng minh: Ta có: Suy ra: (*) Mặt khác: (**) Do đó, từ (*), (**) ta có: f(0V) = 0w Ta có: Các ví dụ áp dụng: 1anh xạ giá trị không: gọi ánh xạ không ánh ... trục Oy phép biến đổi tuyến phép biến đổi tuyến tính 6 Các ánh xạ sau co phải ánh xạ tuyến tính không? a f: R3 -> R3 f ( x1, x2 , x3 ) = (x1 – x3 , x2 , 5) b.f : R3 -> R3 f ( x1 , x2 , x3 ) =...
... V W b Định lý Mọi khônggianvectơ n chiều trường K đẳng cấu với Kn §1 Ánh xạ tuyến tính 1.4 Hạt nhân-Ảnh -Hạng ánh xạ tuyến tính Đn1 Cho ánh xạ tuyến tính f:V→W khônggianvectơ - Hạt nhân ... hiệu Im(f) xác định Im(f)={f(u)|u V}=f(V) §1: Ánh xạ tuyến tính Mđ Ker(f) khônggian V Im(f) khônggian W c/m:… Đn2: Hạng ánh xạ tuyến tính f, kí hiệu r(f) hay rank(f), số chiều Im(f) r(f) = ... ma trận toán tử tuyến tính f khônggianvectơ V theo hai sở V đồng dạng với (ii) Quan hệ đồng dạng hai ma trận quan hệ tương đương (iii) A B đồng dạng detA = detB Một số đề thi Bài Cho toán tử...