... + d) – 4.
1
8
=
1
8
.
Vậy BĐT đợc chứng minh. Đẳngthức xảy ra ⇔ a = b = c = d =
1
4
.
Bài toán 2. (Mỹ, 2003). Cho các số thực dơng a, b, c. Chøng minh r»ng
22
222222
(2 ) (2 ) (2 )
8
2()2()2()
abc ... thi Olympic Toán các nớc tham khảo từ Internet.
7
áp dụng cho các số a, b, c (0, 3) ta cã f(a) + f(b) + f(c) ≤ 4(a + b + c) + 12 = 24.
BĐT (2.2) đợc chứng minh. Đẳngthức xảy ra ở (2.2) ... chọn, chúng tôi đà tự giải để minh hoạ đợc tinh thần
chính của phơng pháp. Ngời đọc có thể so sánh phơng pháp này với việc giải các
bài toán trên bằng những phơng pháp khác. Tuy nhiên với những...
... Nguyễn Minh Nhiên -Trường THPT Quế Võ Số 1 - Bắc Ninh ĐT 0976566882
1
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TRONG BÀI TOÁN CHỨNGMINH BẤT
ĐẲNG THỨC
( Bài viết trên Báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 5 năm 2009 )
Trong các ... những năm gần đây , bài toán chứngminhbấtđẳngthức và tìm giá trị lớn nhất , nhỏ
nhất rất phổ biến . Một kĩ năng quan trọng để giải bài toán dạng này là phươngpháp đổi biến để đưa bài toán
ban ... điều kiện và bấtđẳngthức cần chứngminh ta có thể sử dụng hướng đổi biến
y=ax , z=bx ( a,b >0) hoặc x=at,y=bt,z=ct ( a,b,c,t >0)
Để kết thúc bài viết mời các bạn cùng giải các bài tập...
... c
Ở đây, dấu đẳngthức xảy ra khi a =3b>0,c=0(và cácdạng hoán vị).
Các bạn có thể tự hỏi là các giá trị chẳng hạn như (3, 1, 0) có gì đặc biệt
mà làm cho đẳngthức xảy ra. Một cách trực giác, ... bằng cách khảo sát hàm một biến số ta sẽ chứngminh BĐT khá
đơn giản. Chính vì tư tưởng là giảm dần số biến nên phươngpháp này được
gọi là phươngpháp dồn biến.
Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày các ... dụng BĐT Jensen ta có ngay điều phải chứng minh.
*Nhận xét: Một cách khác rất thông dụng dùng để chứngminh BĐT Cauchy,
đó là chứngminh quy nạp theo n. Cách làm đó rất hay, đến nỗi ta có cảm
giác...
... giá trị lớn nhất của biểu thức
abc
S
a1 b1 c1
=++
+++
Kết quả:
3
Max S
4
=
Kỹ thuật 3: SỬ DỤNG CÁCBẤTĐẲNGTHỨC TRONG DÃY BẤTĐẲNGTHỨC BẬC BA
Dãy bấtđẳngthức đồng bậc bậc ba:
... ≤++≤++
+++
Dấu đẳngthức xảy ra
abc0⇔==>
Bài 3:
Cho ba số dương a, b, c. Chứngminhbấtđẳng thức:
222
222
abc
1
a2bcb2cac2ab
++≥
+++
Bài giải:
Áp dụng bấtđẳngthức :
22
bc2bc+≥
...
Dấu đẳngthức xảy ra
abc0⇔==>
Bài 4:
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
3
abc
4
++=
. Chứngminhbấtđẳng thức:
33
3
a3b b3c c3a 3+++++≤
Bài giải:
Áp dụng bấtđẳng thức...
... c
2
+ 4abc <
Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp biến đổi tơng đơng.
Ta biến đổi bấtđẳngthức cần chứngminh tơng đơng với bấtđẳngthức
đúng hoặc bấtđẳngthức đà đợc chứngminh đúng.
Bài 3.1: a. ... SSSS
++=
.
3
1
321
SSSS
≥++
AC
MP
AC
MP
S
S
AC
MP
S
S
=⇒
=
1
2
1
22
2
=
=
AC
PC
AC
QE
S
S
Các phơng phápchứng minh
bấtđẳng thức
A. Kiến thức cơ bản.
* Một số bấtđẳngthức cần nhớ:
1. a
2
≥ 0; ; -
, dÊu " = " xảy ra khi và chỉ khi ab 0
2. Bấtđẳngthức Cô ... 3 số dơng a,b, c. Chứngminh rằng: 1 <
Giải:
Vì nên
Tơng tự:
Cộng cácbấtđẳngthức trên lại ta đợc điều phải chứng minh.
Bài 6.2: Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứngminh rằng:
A = không...
... + ≥
Giải:
*
1
1
1
1: .n a
a
2
= =1
: Bấtđẳngthức luôn đúng.
*
n k
=
: Giả sử bấtđẳngthức đúng là:
5
Giải:
Bấtđẳngthức (1) tương đương với:
2
( ) ( ) 2 ( )( )
c ... − − − ≥
đây là bấtđẳngthức đúng (đpcm)
Ví dụ 8:
Chứngminh rằng đối với mọi
, ,
a b c R
∈
, ta có:
2
2 2
2
4
a
b c ab ac bc
+ + ≥ − +
(1)
Giải:
Bấtđẳngthức (1) tương đương ... b
23
Áp dụng bấtđẳngthức trê – bư – sep cho 2 dãy:
2 2 2
a b c
≥ ≥
và
a b c
b c a c a b
≥ ≥
+ + +
Chương V
BẤT ĐẲNGTHỨC BERNOULLI
I. Phươngpháp giải toán
Cho...
... 3 bấtđẳngthức sau có một bấtđẳngthức đúng:
1,1,1
333
abccabcbabca
PHƯƠNG PHÁP 6: Phươngpháp hình học
I. Phươngpháp vecto
Một số bấtđẳngthức có thể được chứngminh bằng các ... 04)1(
2
acb
Chứng minh rằng hệ đã cho vô nghiệm.
Giải:
Bấtđẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt
1
CÁC PHƯƠNGPHÁPCHỨNGMINHBẤTĐẲNGTHỨCBấtđẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum ... Cmr trong 3 bấtđẳngthức sau có ít nhất một bấtđẳngthức đúng:
222222222
)()(2,)()(2,)()(2 baacaccbcbba
Bài 4: Cho a,b,c >0 và abc=1.Cmr 3
cba
Bấtđẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum...
... tin
1
MỘT PHÝÕNG PHÁPCHỨNGMINHBẤT ÐẲNG THỨC
CÓ ÐIỀU KIỆN TÍCH CÁC BIẾN BẰNG 1.
LÊ XUÂN ÐẠI
(GV Trýờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Có một số bài toán bất ðẳng thức (BÐT) với n biến số ... ðó BÐT (2) ðúng
Vậy (1) ðýợc chứng minh. Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 1
b d
a c
.
Thí dụ 4 (IMO 2000). Cho ba số dýõng a,b,c thoả mãn abc=1. Chứngminh rằng:
1 1 1
1 1 1 1
a b ... ðúng theo BÐT Schur. Vậy bài toán ðýợc chứngminh
Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Thí dụ 3. Cho bốn số a,b,c,d dýõng thoả mãn abcd=1. Chứngminh rằng:
1 1 1 1
2
a(1 b) b(1 c) c(1...
... >
chứng minh rằng:
1
1 1
1 1
1 1
x x
x x
+
+ > +
ữ ÷
+ +
(1)
46
Các phơng phápchứngminhbấtđẳng thức
PHƯƠNGPHáP 1. Sử DụNG BấTĐẳNGTHứC CÔSI
PHƯƠNG PHáP 1. Sử DụNG BấT ... số
hoặc dùng định lý Lagrage để chứngminhbấtđẳng thức, đặc biệt là bấtđẳngthức có
một biến số.
Loại 1. Sử dụng đạo hàm để chứngminhbấtđẳng thức
Phơng pháp thờng dùng là sử dụng đạo hàm ... lời giải đúng là:
18
Ph
Ph
ơng pháp 2. Chứngminhbấtđẳngthức bằng đạo hàm
ơng pháp 2. Chứngminhbấtđẳngthức bằng đạo hàm
Trong phần này ta sử dụng phơng pháp đạo hàm qua việc khảo sát hàm...
... 3 bấtđẳngthức sau có một bấtđẳngthức đúng:
1,1,1
333
abccabcbabca
PHƯƠNG PHÁP 6: Phươngpháp hình học
I. Phươngpháp vecto
Một số bấtđẳngthức có thể được chứngminh bằng các ... bayy
2
0
2
2
0
)()2( bayy
Bấtđẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt
1
CÁC PHƯƠNGPHÁPCHỨNGMINHBẤTĐẲNGTHỨCBấtđẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum ... Bấtđẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt
11
PHƯƠNG PHÁP 3: Sử dụng cácbấtđẳngthức cổ
điển
A .Bất đẳngthức Cauchy
1.Cơ sở lí thuyết:...