... tự cột Ví dụ : 3 = + −2 9 Chú ý : Các tính chất 2, 3, tính đa tuyếntính thay phiên định thức Từ tính chất trên, dễ dàng suy tính chất sau định thức : 2 .5 Tính chất Định thức : Có hai dòng (hai ... cột) tổ hợp tuyếntính dòng khác (cột khác) 2.6 Tính chất Định thức không thay đổi : Nhân dòng (một cột) với số cộng vào dòng khác (cột khác) Cộng vào dòng (một cột) tổ hợp tuyếntính dòng khác ... thức cấp bé Cứ sau số lần đưa việc tính định thức cấp 2, Tuy nhiên, thực tế làm số lượng phép tính lớn Bởi ta làm sau số lượng phép tính giảm nhiều : Chọn dòng (cột) có nhiều số để khai triển định...
... dụng tính chất định thức, biến đổi, khai triển định thức theo dòng theo cột để biểu diễn định thức cần tính qua định thức cấp bé có dạng Từ ta nhận công thức truy hồi Sử dụng công thức truy hồi tính ... tích ma trận vuông cấp n đơn giản hơn: A = B.C Khi ta có D = det A = det(B.C) = det B det C với định thức det B, det C tính dễ dàng nên D tính Ví dụ 4.1: Tính định thức cấp n (n D= Bài giải: Với ... định thức cấp n tính dễ dàng tách định thức (theo dòng theo cột) thành tổng định thức cấp Các định thức thường tính dễ dàng Ví dụ 3.1: Ta tính định thức Dn Ví dụ 2.1 phương pháp Bài giải: Mỗi cột...
... (1) x Dễ thấy x = 0, đáp sốtính liên tục định thức = Tính định thức Dn = 0 0 0 0 0 0 0 Giải : Khai triển định thức theo dòng đầu ta có : 0 Dn = 5Dn−1 − 0 ... tục khai triển định thức theo cột (1) ta có công thức truy hồi : Dn = 5Dn−1 − 6Dn−2 (*) (n ≥ 3) Từ (*) ta có : Dn − 2Dn−1 = 3(Dn−1 − 2Dn−2 ) Do công thức với n ≥ nên ta có: Dn −2Dn−1 = 3(Dn−1 ... = 0, tính liên tục định thức công thức Vậy ta có: D2n = (a2 − b2 )n Chú ý : Khai triển định thức theo dòng (1), sau khai triển định thức cấp (2n − 1) vừa nhận theo dòng (2n − 1) Ta có công thức...
... thang số dòng khác không Cần lưu ý bạn đọc rằng: kỹ đưa ma trận dạng bậc thang phép biến đổi sơ cấp kỹ bản, cần thi t không việc tìm hạng ma trận mà cần để giải nhiều toán khác Đạisốtuyếntính ... − Bởi vậy, rank B = n − = (−n)n−1 = BÀI TẬP Tìm hạng ma trận sau 5 −7 13 −8 −1 −6 −1 −3 14 −3 5 2 2 15 4 55 1 1 1 16 1 ... 1.2.2 Tính chất Nếu A ma trận vuông cấp n rank A = n ⇐⇒ det A = rank A < n ⇐⇒ det A = Nếu xảy trường hợp đầu, ta nói A ma trận vuông không suy biến Nếu xảy trường hợp thứ hai, ta nói A ma trận vuông...
... y n1 n2 nn n n (2) x1 , x2 , , xn ẩn, y1 , y2 , , yn tham số * Nếu với tham số y1 , y2 , , yn , hệ phương trình tuyếntính (2) có nghiệm nhất: x1 = b11 y1 + b12 y2 + · · · + b1n ... bn2 · · · bnn * Nếu tồn y1 , y2 , , yn để hệ phương trình tuyếntính (2) vô nghiệm vô số nghiệm ma trận A không khả nghịch Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận a a A= 1 1 1 ... Ta có công thức sau để tìm ma trận nghịch đảo A Cho A ma trận vuông cấp n Nếu det A = A không khả nghịch (tức A ma trận nghịch đảo) Nếu det A =...
... tuyếntính (1) gọi hệ Cramer m = n (tức số phương trình số ẩn) ma trận hệ số A không suy biến (det A = 0) b Hệ phương trình tuyếntính Hệ phương trình tuyếntính (1) gọi hệ cột tự hệ 0, tức b1 = ... có vô số nghiệm phụ cột sang bên phải, hệ có dạng x1 + 2x4 x3 − x4 −x4 thuộc vào tham số x2 x5 Chuyển cột = − 2x2 − 2x5 = + 2x5 = −2x5 Giải từ lên ta có x4 = 2x5 x3 = x4 + 2x5 + ... hệ phương trình tuyếntính tổng quát Nội dung phương pháp dựa định lý quan sau nghiệm hệ phương trình tuyếntính Định lý (Định lý Cronecker-Capelly) Cho hệ phương trình tuyếntính tổng quát (1),...
... a(a1 , a2 ) = (aa1 , 0) Chứng minh không gian vectơ có vectơ, có vô số vectơ Xét độc lập tuyếntính phụ thuộc tuyếntính Tìm hạng hệ độc lập tuyếntính tối đại hệ sau: (a) α1 = (1, 0, −1, 0), ... tuyếntính tối đại hệ vectơ Trong không gian vectơ V cho hệ vectơ (α) α1 , α2 , , αm Hệ αi1 , αi2 , , αik hệ (α) gọi hệ độc lập tuyếntính tối đại hệ (α) αi1 , αi2 , , αik độc lập tuyến ... tuyếntính vectơ αi hệ (α) biểu thịtuyếntính qua hệ αi1 , αi2 , , αik Từ định nghĩa, ta có hệ độc lập tuyếntính hệ vectơ tương đương với hệ vectơ 3.3 Bổ đề độc lập tuyếntính Trong không...
... phụ thuộc tuyếntính (b) Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyếntínhsở V (c) Mọi hệ có n vectơ hệ sinh V sở V (d) Mọi hệ độc lập tuyến tính, có k vectơ bổ sung têm n − k vectơ để sở V Chú ý từ tính chất ... thức với hệ số thực có bậc ≤ n với phép toán thông thường không gian vectơ Hệ vectơ 1, x, x2 , , xn sở Rn [x] ta có dimRn [x] = n + Tính chất không gian vectơ hữu hạn chiều Cho V không gian vectơ ... lập tuyếntính hệ hệ sinh Tọa độ vectơ sở (a) Định nghĩa Cho V không gian vectơ n chiều (dimV = n) α1 , α2 , , αn sở V Với x ∈ V , x viết dạng: x = a1 α1 + a2 α2 + + an αn , ∈ R Bộ số (a1...
... có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số x2 , x5 Ta có: x4 = 2x5 x3 = x4 + 2x5 = 4x5 x1 = −2x2 − 2x4 − x5 = −2x2 − 5x5 Vậy nghiệm tổng quát hệ là: x1 = −2x2 − 5x5 x3 = 4x5 x4 = 2x5 ... thức không đa thức hệ số thực có bậc ≤ n không gian R[x] Tập đa thức hệ số thực bậc n không không gian R[x] điều kiện không thỏa mãn 1.3.4 Ví dụ Tập Tn (R) ma trận tam giác cấp n không gian không ... hệ phương trình tuyếntính (I) không gian vectơ Rn Không gian gọi không gian nghiệm hệ (I) Nếu ta ký hiệu r = rank A số chiều không gian nghiệm hệ (I): dim N = n − r Cơ sở không gian nghiệm...
... 1m 2m mm m = ĐLTT hệ phương trình tuyếntính (∗) có nghiệm (0, 0, , 0) ma trận hệ số hệ (∗) không suy biến detA = Hệ véctơ α1 , α2 , , αm biểu thịtuyếntính qua hệ véctơ β1 , β2 , , ... logα x ∈ R Vậy x biểu thịtuyếntính qua hệ gồm véctơ {α} Mặt khác α khác véctơ không nên hệ {α} hệ véctơ độc lập tuyếntính Vậy dim R+ = sở R+ hệ gồm véctơ {α} với α số thực dương, khác a −b ... thời αi1 , , αik βj1 , , βjk hệ ĐLTT tối đại hệ véctơ (α) (β) Vì hệ (α) biểu thịtuyếntính qua hệ (β) nên hệ αi1 , , αik biểu thịtuyếntính qua hệ βj1 , , βjk , lại hệ αi1 , ,...
... đại hệ α1 , , αm (do đó, rank{α1 , , αm } = k) βj1 , , βjl hệ ĐLTT tối đại hệ β1 , , βm (do rank{β1 , , βm } = l) Khi αi biểu thịtuyếntính qua hệ αi1 , , αjk βj biểu thịtuyến ... biểu thịtuyếntính qua hệ βj1 , , βjl nên αi + βi biểu thịtuyếntính qua hệ véctơ αi1 , , αik , βj1 , , βjl tức hệ véctơ α1 + β1 , α2 + β2 , , αm + βm biểu thịtuyếntính qua hệ véctơ ... U = α1 , α2 , V = β1 , β2 nên U + V = α1 , α2 , β1 , β2 , hệ độc lập tuyếntính tối đại hệ {α1 , α2 , β1 , β2 } sở U + V Tính toán trực tiếp ta có kết dim(U + V ) = {α1 , α2 , β1 } sở U + V...
... ) = (x1 , x2 ) ánh xạ tuyếntính Dạng tổng quát ánh xạ tuyếntính f : Rm → Rn cho tập Các tính chất ánh xạ tuyếntính Cho U, V không gian véctơ, f : V → U ánh xạ tuyếntính Khi đó: a f (0V ) ... ánh xạ tuyếntính thỏa mãn điều kiện định lý Từ định lý này, ta thấy ánh xạ tuyếntính hoàn toàn xác định biết ảnh sở, ánh xạ tuyến tính, ta cần cho ảnh sở đủ 4.1 Ma trận ánh xạ tuyếntính Định ... KGVT V , gọi hạt nhân ánh xạ tuyếntính f • Ký hiệu Imf = {f (x)|x ∈ V } ⊂ U Imf KGVT U , gọi ảnh ánh xạ tuyếntính f 5. 2 Nhận xét • Để xác định hạt nhân ánh xạ tuyếntính f : V → U , ta sử dụng...
... biến đổi tuyếntính 3.1 Các khái niệm Cho V không gian vectơ f : V → V phép biến đổi tuyếntính Nếu U không gian vectơ bất biến V cho f (U ) ⊂ U U gọi không gian bất biến V Giả sử U không gian ... độc lập tuyếntính A Khi xảy hai khả sau: k Nếu tổng số vectơ riêng độc lập tuyếntính A bé n (tức dim Vλi < n, i=1 Vλi không gian riêng ứng với giá trị riêng λi ) kết luận ma trận A không chéo ... lập tuyếntính f Nếu f có n vectơ riêng độc lập tuyếntính (n = dim V ) sở f để ma trận f sở ma trận chéo Nếu f có n vectơ riêng độc lập tuyếntính (α) : α1 , , αn n vectơ riêng độc lập tuyến...
... riêng độc lập tuyếntính A ma trận cấp nên A không chéo hóa Trong R3 cho sở: u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 2, 1), u3 = (1, 3, 2) cho ánh xạ tuyếntính f : R3 → R3 xác định bởi: f (u1 ) = (0, 5, 3) f (u2 ... hợp f có vectơ riêng độc lập tuyếntính là: β3 = 1.u1 + 1.1.u2 + 1.u3 = (1, 6, 4) Kết luận Vì f phép biến đổi tuyếntính R3 (dim R3 = 3) f có vectơ riêng độc lập tuyếntính β1 , β2 , β3 nên β1 , ... vectơ riêng độc lập tuyếntính α1 = (−1, 1, 0), α2 = (−1, 0, 1) • Các vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = vectơ (c, c, 0), c = Trường hợp A có vectơ riêng độc lập tuyếntính α3 = (1, 1, 1)...
... giao không chứa vectơ không độc lập tuyếntính Chứng minh điều đơn giản, xin dành cho bạn đọc 2.2 Trực giao hóa hệ vectơ độc lập tuyếntính (phương pháp Gram-Schmidt • Trực giao hóa Trong không ... Định nghĩa Cho E không gian vectơ Euclide Phép biến đổi tuyếntính f E gọi phép biến đổi đối xứng ∀α, β ∈ E : f (α), β = α, f (β) 10 4.3.2 Định lý Một phép biến đổi tuyếntính E phép biến đổi ... E không gian vectơ Euclide Ta gọi góc hai vectơ khác không α, β ∈ E số thực ϕ ∈ [0, π] xác định bởi: cos ϕ = α, β α β Cần ý bất đẳng thức Bunhiacốpxki, α, β α β ≤ nên góc hai vetơ khác không...
... e2 = (− √ , √ , − √ , √ ) 3 15 15 15 15 Do đó, hình chiếu trực giao x x lên L là: x x, e1 e1 + x, e2 e2 = √ e1 + √ e2 15 6 18 12 = ( , , , )=( , , , ) 15 15 15 15 55 = khoảng cách từ x đến L là: ... Vậy x = α1 + α2 = ( , , , ) 555 d(x, L) = ||x − x || = 18 Cho L không gian véctơ không gian Euclide E xo ∈ E Ta gọi tập P := L + xo = {x + xo |x ∈ L} đa tạp tuyếntính E Khoảng cách từ véctơ ... L2 α⊥L1 Chứng minh hệ véctơ trực giao không chứa véctơ không độc lập tuyếntính Giải Giả sử α1 , , αm hệ trực giao, không chứa véctơ không (αi = 0) không gian véctơ Euclide giả sử m aj αj =...
... ú (3) tỡm An , ta l y th a n hai v c a (3): V i ta tỡm cP 1 1 0 T 1 ú ta cú: 5n 5n n A n P 0 5n 0 P 1 32 5n 5n 0 5n ng ng Đ6 CHẫO HểA TON T TUY N TNH 6.1 nh ngh a Cho f l m t toỏn t n tớnh trờn ... ng v i tr riờng (3x1 u (x1 , x , x ) Au 2x , 2x1 = l khụng gian nghi m c a h : 5( x1 , x , x ) 3x , 5x ) (5x1 , 5x , 5x ) 2x1 2x (1) Gi i h (1), ta tỡm c nghi m t ng quỏt (x1, x2, x3) =( , , ) v ... i c s {( 2,1,0,0); ( 2,0 ,5, 1)}; dimW2 = v i c s { (5, 0 ,5, 1); ( 1,1,0,0)}; dim(W1 + W2) = v i c s {( 2,1,0,0); (0,2, 10, 2);(0,0 ,5, 1)}; dim(W1 W2) = v i c s l {(12, 7 ,5, 1)} 3b) dimW1 = v i c s...