Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 46 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
46
Dung lượng
526,3 KB
Nội dung
1
ÔN THICAO HC
PHN I S TUYN TÍNH
(GV Trn Ngc Hi - 2011)
A- KHÔNG GIAN VÉCT
§1. NH NGHA VÀ TÍNH CHT CN BN
1.1. nh ngha. Cho V là mt tp hp khác ∅. Ta nói V là mt không gian véct trên F
(F = Q, R hay C) nu trong V :
i) Tn ti mt phép toán “cng véct”, tc là mt ánh x
V × V → V
(u, v) → u + v
ii) Tn ti mt phép “nhân vô hng vi véct”, tc là mt ánh x
F × V → V
(α, u) → αu
tha các tính cht sau: v
i u, v, w ∈ V và α, β ∈ F:
1. u + v = v + u;
2. (u + v) + w = u + (v + w);
3. ∃ 0 ∈ V, u + 0 = 0 + u = u;
4. ∃ (–u) ∈ V, (–u) + u = u + (–u) = 0;
5. (αβ)u = α(βu);
6. (α + β)u = αu +βu;
7. α(u + v)u = αu + αv;
8. 1.u = u.
Khi đó:
• Mi phn t u ∈ V là mt véct.
• Mi s α ∈ F là mt vô hng.
• Véct 0 là véct không.
• Véct (–u) là véct đi ca u.
Sau đây ta s đa ra vài ví d c bn v không gian véct.
1) Tp F
n
= {u = (x
1
, x
2
, , x
n
)⏐x
i
∈ F, 1 ≤ i ≤ n} (F = R hay C) vi phép toán cng véct
và phép nhân vô hng vi véct đnh bi:
2
u + v = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, , x
n
+ y
n
),
αu = (αx
1
, αx
2
, , αx
n
),
vi u = (x
1
, x
2
, , x
n
), v = (y
1
, y
2
, , y
n
)∈ V và α ∈ F, là mt không gian véct trên F vi véct
không là 0 = (0, 0, 0) và véct đi ca véct u = (x
1
, x
2
, , x
n
) là
(–u) = (−x
1
, −x
2
, , −x
n
)
2) Tp V = M
mxn
(F) gm các ma trn mxn vi các h s trong F là mt không gian véct
trên F vi phép cng véct là phép cng ma trn thông thng và nhân vô hng vi véct là
phép nhân thông thng mt s vi ma trn, trong đó véct không là ma trn không và véct
đi ca A = (a
ij
) là (–A) = (–a
ij
).
3) Tp V = F[x]
= {p(x) = a
n
x
n
+ + a
1
x + a
0
x + a
0
⏐ n ∈ N, a
i
∈ F, 1 ≤ i ≤ n}
gm các đa thc theo x vi các h s trong F là mt không gian véct trên F vi phép cng
véct là phép cng thông thng các đa thc và phép nhân vô hng vi véct là phép nhân
thông thng mt s vi mt đa thc.
4) Vi mi s nguyên n ≥ 1, tp
V = F
n
[x] = {p(x) = a
n
x
n
+ + a
1
x + a
0
⏐a
i
∈ F, 1 ≤ i ≤ n}
gm các đa thc theo x bc ≤ n, vi các h s trong F là mt không gian véct trên F vi cng
véct và phép nhân vô hng vi véct là các phép cng đa thc và nhân mt s vi đa thc
thông thng (nh trong 3) là mt không gian véct trên trng F.
1.2. Mnh đ. Cho V là mt không gian véct trên F. Khi đó vi mi u ∈ V và α ∈ F ta
có:
i) αu = 0 ⇔ (α = 0 hay u = 0).
ii) (–1)u = –u.
T
đây v sau ta ký hiu V là mt không gian véct trên trng F (F = Q, R hay C)
§2. T HP TUYN TÍNH
2.1. nh ngha. Cho u
1
, u
2
, , u
k
∈ V. Mt t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, , u
k
là mt
véct có dng:
u = α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
k
u
k
vi α
i
∈ F (1 ≤ i ≤ k).
2.2. Tính cht. 1) u là t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, , u
k
khi và ch khi phng trình α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
k
u
k
= u có nghim (α
1
, α
2
, , α
k
)∈ F
k
.
2) Tng ca hai t hp tuyn tính, tích ca mt s vi mt t hp tuyn tính cng là các
t hp tuyn tính (ca u
1
, u
2
, , u
k
):
kkk
1i 1i i i i
i1 i1 i1
uu()u
===
α+β= α+β
∑∑∑
;
kk
ii i i
i1 i1
u()u
==
⎛⎞
αα=αα
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
.
3
3) Véct không 0 luôn luôn là mt t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, , u
k
vì 0 = 0u
1
+ 0u
2
+ + 0u
k
.
4) Mi véct u
i
, 1 ≤ i ≤ k là mt t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, , u
k
vì
u
i
= 0u
1
+ + 0u
i–1
+ 1u
i
+ 0u
i+1
+ + 0u
k
Tng quát hn, mi t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, ,u
j
(1 ≤ j ≤ k) đu là t hp tuyn tính
ca u
1
, u
2
, ,u
j
, u
j+1
, , u
k
vì:
α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
j
u
j
= α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
j
u
j
+ 0u
j+1
+ + 0u
k
4) Mi t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, ,u
k-1
, u
k
đu là t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, , u
k-1
khi và ch khi u
k
là mt t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, , u
k-1
.
2.3. H qu. Cho u
1
, u
2
, , u
k
là k véct trong F
n
vi u
j
= (u
1j
, u
1j
, , u
nj
), 1 ≤ j ≤ k:
u
1
= (u
11
, u
21
, u
n1
)
u
2
= (u
12
, u
22
, u
n2
)
u
k
= (u
1k
, u
2k
, u
nk
)
Khi đó véct u = (b
1
, b
2
, , b
n
) ∈ F
n
là t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, , u
k
khi và ch khi h
phng trình tuyn tính UX = B, trong đó:
11 12 1k 1 1
21 22 2k 2 2
n1 n2 nk n k
uu u b
uu u b
U;B;X
uu u b
α
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
α
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
===
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
α
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
có nghim X.
Ví d. Trong không gian R
4
cho các véct:
u
1
= (1, 1, 1, 1);
u
2
= (2, 3, –1, 0);
u
3
= (–1, –1, 1, 1);
u
4
= (1, 2, 1, –1)
Tìm điu kin đ véct u = (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) là mt t hp tuyn tính ca:
a) u
1
, u
2
, u
3
;
b) u
1
, u
2
, u
3
, u
4
.
áp s: a) a
1
+ a
4
= a
2
+ a
3
.
b) Mi véct u = (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) ∈ R
4
đu là t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, u
3
, u
4
.
§3. C LP TUYN TÍNH – PH THUC TUYN TÍNH
3.1. nh ngha. 1) Cho u
1
, u
2
, , u
k
∈ V. Xét phng trình:
4
α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
k
u
k
= 0 (1)
Nu (1) ch có nghim tm thng α
1
= α
2
= = α
k
= 0 thì ta nói u
1
, u
2
, , u
k
(hay {u
1
,
u
2
, , u
k
}) đc lp tuyn tính.
Nu ngoài nghim tm thng, (1) còn có nghim khác thì ta nói u
1
, u
2
, , u
k
(hay {u
1
,
u
2
, , u
k
} ) ph thuc tuyn tính.
Nói cách khác,
• u
1
, u
2
, , u
k
đc lp tuyn tính khi và ch khi vi mi α
1
, α
2
, , α
k
∈F ta có:
α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
k
u
k
= 0 ⇒ α
1
= α
2
= = α
k
= 0.
• u
1
, u
2
, , u
k
ph thuc tuyn tính khi và ch khi tn ti α
1
, α
2
, , α
k
∈ F không đng
thi bng 0 sao cho:
α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
k
u
k
= 0.
2) Tp con S ⊆ V đc gi là đc lp tuyn tính nu mi {u
1
, u
2
, , u
k
} ⊆ S (k ∈ N tu
ý) đu đc lp tuyn tính. Nu S không đc lp tuyn tính, ta nói S ph thuc tuyn tính.
Ví d 1) Trong không gian R
3
cho các véct:
u
1
= (1, 2, −3); u
2
= (2, 5, −1); u
3
= (1, 1, −8)
ta có:
• u
1
, u
2
đc lp tuyn tính.
• u
1
, u
2
, u
3
ph thuc lp tuyn tính.
3.2. Nhn xét. Các véct u
1
, u
2
, , u
k
ph thuc tuyn tính khi và ch khi tn ti véct u
i
“ph thuc” vào các véct khác theo ngha véct u
i
đc biu din di dng t hp tuyn tính
ca các u
j
, 1 ≤ j ≠ i ≤ k.
Vi u
1
, u
2
, , u
k
là k véct trong F
n
:
u
1
= (u
11
, u
21
, u
n1
)
u
2
= (u
12
, u
22
, u
n2
)
u
k
= (u
1k
, u
2k
, u
nk
)
ta có: u
1
, u
2
, , u
k
đc lp tuyn tính khi và ch khi h phng trình tuyn tính UX = 0, trong
đó:
11 12 1k
21 22 2k
n1 n2 nk
uu u
uu u
U
uu u
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
ch có nghim tm thng X = 0. Mt khác,
H UX = 0 ch có nghim tm thng X = 0
⇔ Ma trn U có hng là r(U) = k.
5
⇔ Ma trn A = U
T
có hng là r(A) = k (do hai ma trn chuyn v có cùng hng).
Nhn xét rng ma trn U có đc bng cách dng u
1
, u
2
, , u
k
thành các ct, nên ma trn A =
U
T
có đc bng cách xp u
1
, u
2
, , u
k
thành các dòng.
3.3. H qu. Cho u
1
, u
2
, , u
k
là k véct trong F
n
. Gi A là ma trn có đc bng cách
xp u
1
, u
2
, , u
k
thành các dòng. Khi đó:
u
1
, u
2
, , u
k
đc lp tuyn tính ⇔ A có hng là r(A) = k.
3.4. Chú ý. Trong thc hành, ta kim tra tính đc lp tuyn tính ca các véct u
1
, u
2
, ,
u
k
trong F
n
nh sau:
Bc 1: Lp ma trn A bng cách xp u
1
, u
2
, , u
k
thành các dòng.
Bc 2: Dùng các phép BSCTD đa A v dng bc thang R. Khi đó:
• Nu R không có dòng 0 thì u
1
, u
2
, , u
k
đc lp tuyn tính.
• Nu R có ít nht mt dòng 0 thì u
1
, u
2
, , u
k
ph thuc tuyn tính.
Trng hp k = n, ta có A là ma trn vuông. Khi đó có th thay Bc 2 bng Bc 2′
nh sau:
Bc 2′: Tính đnh thc detA:
• Nu detA ≠ 0 thì u
1
, u
2
, , u
k
đc lp tuyn tính.
• Nu detA = 0 thì u
1
, u
2
, , u
k
ph thuc tuyn tính.
Ví d 1. Trong không gian R
5
cho các véct:
u
1
= (1, 2, −3, 5, 1);
u
2
= (1, 3, −13, 22, −1);
u
3
= (3, 5, 1, −2, 5);
u
4
= (2, 3, 4, −7, 4);
Hãy xét xem u
1
, u
2
, u
3
, u
4
đc lp tuyn tính hay ph thuc tuyn tính.
áp s: Ph thuc tuyn tính.
Ví d 2. Trong không gian R
3
cho các véct:
u
1
= (2m + 1, − m, m + 1)
u
2
= (m − 2, m – 1, m – 2)
u
3
= (2m − 1, m – 1, 2m –1)
Tìm điu kin đ u
1
, u
2
, u
3
đc lp tuyn tính trên R.
áp s: m ≠ 0; m ≠ ± 1.
§4. KHÔNG GIAN CON – TP SINH – C S VÀ S CHIU
6
4.1. nh ngha (không gian véct con).
Cho W là mt tp con khác ∅ ca V. Ta nói W là
mt không gian véct con ca V, kí hiu W ≤ V, nu W vi phép cng véct và phép nhân vô
hng vi véct cm sinh t V, cng là mt không gian véct trên trng F.
4.2. nh lý. Cho W là mt tp con khác ∅ ca V. Khi đó các khng đnh sau là tng
đng:
i) W ≤ V.
ii) Vi u, v ∈ W và α ∈ F, u + v ∈ W và αu ∈ W.
iii) Vi u, v ∈ W và α ∈ F, αu + v ∈ W.
Ví d.1) W = {0} và V là các véct con ca V. Ta gi đây là các không gian con tm
thng ca V.
2) Trong không gian R
3
, đng thng (D) đi qua gc ta đ O là mt không gian con ca
R
3
.
3) Trong không gian R
3
, mt phng (P) đi qua gc ta đ O là mt không gian véct con
ca R
3
.
4) Cho a
1
, , a
n
∈ F và b ∈ F\{0} t:
W
1
= {(x
1
, , x
n
) ∈ F
n
| a
1
x
1
+ + a
n
x
n
= 0};
W
2
= {(x
1
, , x
n
) ∈ F
n
| a
1
x
1
+ + a
n
x
n
= b}
Ta có W
1
≤ F
n
nhng
n
2
W ≤
4.3. nh lý. Giao ca mt h tu ý các không gian con ca V cng là mt không gian con
ca V.
Chú ý
.
Hp ca hai không gian con ca V không nht thit là mt không gian con ca V.
Bây gi cho S ⊆ V. Gi {W
i
}
i ∈ I
là h tt c nhng không gian con ca V có cha S (h
này khác rng vì có cha V). t:
i
Ii
WW
∈
=
∩
Khi đó:
• W là không gian con nh nht ca V có cha S.
Ta gi
• W là không gian con sinh bi S, kí hiu W = < S >.
• S là tp sinh ca W.
• Nu S hu hn S = {u
1
, u
2
, , u
n
} thì ta nói W = < S > là không gian con hu hn sinh
bi u
1
, u
2
, , u
n
và kí hiu W = < u
1
, u
2
, , u
n
>.
4.4. nh lý. Cho ∅ ≠ S ⊆ V. Khi đó không gian con ca V sinh bi S là tp hp tt c
nhng t hp tuyn tính ca mt s hu hn nhng tùy ý các véct trong S, ngha là:
< S > = {u = α
1
u
1
+ + α
n
u
n
| n ∈ N, u
i
∈ S, α
i
∈ F, ∀ 1 ≤ i ≤ n}
7
Chú ý. 1) Nu S = ∅ thì <S> = {0}.
2) Nu S = {u
1
, u
2
, , u
n
} thì < S > = {α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
n
u
n
⏐ α
i
∈ F, 1 ≤ i ≤ n}.
3) Nu S ≤ V thì < S > = S.
4) Cho S ⊆ V và W ≤ V. Khi đó:
S ⊆ W ⇔ < S > ≤ W.
5. Nu S
1
⊆ S
2
⊆ V thì < S
1
> ≤ < S
2
>.
4.5. nh ngha. Mt tp hp con B ca không gian véct V đc gi là mt c s ca V
nu B là mt tp sinh đc lp tuyn tính.
4.6. B đ. Gi s V sinh bi m véct u
1
, u
2
, , u
m
: V = < u
1
, u
2
, , u
m
>. Khi đó mi tp
hp con đc lp tuyn tính ca V có không quá m phn t.
4.7. H qu và đnh ngha. Nu V có mt c s B hu hn gm m phn t: B = {u
1
, u
2
,
, u
m
} thì mi c s khác ca V cng hu hn và có đúng m phn t. Khi đó ta nói V là mt
không gian véct hu hn chiu trên F và m đc gi la s chiu (dimension) ca V trên F, kí
hiu dim
F
V = m hay dimV = m. Trong trng hp ngc li, ta nói V là mt không gian véct
vô hn chiu trên F, kí hiu dim
F
V = ∞ hay dimV = ∞.
Ví d. 1) Không gian F
n
là mt không gian véct hu hn chiu trên F vi dimF
n
= n do F
n
có mt c s là B
0
= {e
1
, e
2
, , e
n
} trong đó:
e
1
= (1, 0, 0, , 0)
e
2
= (0, 1, 0, , 0)
e = (0, 0, , 0, 1)
Ta gi B
0
là c s chính tc ca F
n
trên F.
2) Không gian M
mxn
(F) là mt không gian véct hu hn chiu trên F vi dim M
m×n
(F) =
mn vi c s B
0
= {E
ij
| , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}, trong đó E
ij
là ma trn loi m×n ch có mt h s
khác 0 là 1 ti dòng i ct j. Ta gi B
0
= {E
ij
| , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n} là c s chính tc ca
M
mxn
(F) trên F.
3) Không gian F
n
[x] gm các đa thc theo x bc ≤ n vi h s trong F, là mt không gian
véct hu hn chiu trên F vi dimF
n
[x] = n + 1 vi mt c s là B
0
= {1, x, x
n
}. Ta gi B
0
=
{1, x, x
n
} là c s chính tc ca F
n
[x].
4) Không gian F[x] gm tt các đa thc theo x bc vi h s trong F, là mt không gian
véct vô hn chiu vi mt c s vô hn B
0
= {1, x, x
2
, }.
4.8. H qu. Cho V là không gian véct hu hn chiu trên F vi dim V = n. Khi đó:
i) Mi tp con ca V có nhiu hn n phn t đu ph thuc tuyn tính.
ii) Mi tp con ca V có ít hn n phn t không th là tp sinh ca V.
8
4.9. B đ. Cho S là mt tp con đc lp tuyn tính ca V và u ∈ V là mt véct sao cho
u ∉ < S >. Khi đó tp hp S
1
= S ∪ {u} đc lp tuyn tính.
4.10. nh lý. Cho V là không gian véct hu hn chiu vi dim V = n. Khi đó:
i) Mi tp hp con đc lp tuyn tính gm n phn t ca V đu là c s ca V.
ii) Mi tp hp sinh ca V gm n phn t đu là c s ca V.
Nhn xét. Vì dim F
n
= n nên mi c s ca F
n
phi gm đúng n véct. Hn na, do nh
lý 4.10: Vi B = {u
1
, u
2
, , u
n
} là mt tp con gm đúng n véct ca F
n
, ta có:
B = {u
1
, u
2
, , u
n
} là mt c s ca F
n
⇔ u
1
, u
2
, , u
n
đc lp tuyn tính
⇔ detA ≠ 0, trong đó A là ma trn có đc bng cách xp u
1
, u
2
, , u
n
thành các dòng.
Ví d. 1) Trong không gian R
4
, các véct
u
1
= (1, 1, 1, 1)
u
2
= (2, 3, –1, 0)
u
3
= (–1, –1, 1, 1)
u
4
= (1, 2, 1, –1)
to thành c s ca R
4
.
2) Trong không gian R
3
, các véct
u
1
= (2m + 1, − m, m + 1)
u
2
= (m − 2, m – 1, m – 2)
u
3
= (2m − 1, m – 1, 2m –1)
to thành mt c s ca R
3
khi và ch khi m0,1
≠
± .
4.11. nh lý (v c s không toàn vn). Cho V là mt không gian véct hu hn chiu và
S là mt tp con đc lp tuyn tính ca V. Khi đó, nu S không phi mt c s ca V thì ta có
th thêm vào S mt s véct đ đc mt c s ca V.
4.12. nh lý. Cho V là mt không gian véct hu hn chiu sinh bi S. Khi đó tn ti
mt c s B ca V sao cho B ⊆ S. Nói cách khác, nu S không phi là mt c s ca V thì ta có
th loi b ra khi S mt s véct đ đc mt c s ca V.
4.13. H qu. Mi không gian con W ca mt không gian véct V hu hn chiu đu hu
hn chiu, hn na nu W ≤ V và W ≠ V thì dim W < dim V.
9
§5. KHÔNG GIAN DÒNG
5.1. nh ngha. Cho ma trn A = (a
ij
) loi m×n vi h s trong F:
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A
a a a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
t:
u
1
= (a
11
, a
12
, , a
1n
)
u
2
= (a
21
, a
22
, , a
2n
)
u
m
= (a
m1
, a
m2
, , a
mn
)
và W
A
= <u
1
, u
2
, , u
m
>. Ta gi u
1
, u
2
, , u
m
là các véct dòng ca A, và W
A
là không gian
dòng ca A.
Ghi chú. dimW
A
còn đc gi là hng ca h véct u
1
, u
2
, , u
m
.
5.2. nh lý. Nu A và B là hai ma trn tng đng dòng thì W
A
= W
B
, ngha là A và B
có cùng không gian dòng.
5.3. Nhn xét. Vì các véct dòng khác 0 ca mt ma trn dng bc thang luôn luôn đc
lp tuyn tính nên chúng to thành mt c s ca không gian dòng. T đây ta suy ra cách tìm
s chiu và mt c s ca không gian dòng ca ma trn A nh sau:
• Dùng các phép BSCTD đa A v dng bc thang R.
• S chiu ca không gian dòng W
A
bng s dòng khác 0 ca R (do đó bng r(A)) và
các véct dòng khác 0 ca R to thành mt c s ca W
A
.
Ví d. Tìm s chiu và mt c s ca không gian dòng ca ma trn:
12 11
25 1 4
A
511 2 8
920 314
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
−
⎜⎟
−
⎝⎠
Gii tóm tt. Dùng các phép BSCTD ta có
12 11 12 11
25 1 4 0132
A
R
511 2 8 00 0 1
920 314 0000
−−
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
==
⎜⎟⎜⎟
−
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
∼
.
R có dng bc thang vi 3 dòng khác 0. Do đó dim W
A
= 3 và mt c s ca W
A
là:
{(1, 2, −1, 1); (0, 1, 3, 2); (0, 0, 0, 1)}
10
5.4. Cách tìm s chiu và c s ca mt không gian con ca F
n
khi bit mt tp sinh:
Gi s W = <u
1
, u
2
, , u
m
> ≤ F
n
(u
1
, u
2
, , u
m
không nht thit đc lp tuyn tính).
tìm s chiu và mt c s ca W ta tin hành nh sau:
• Lp ma trn A bng cách xp u
1
, u
2
, , u
m
thành các dòng.
• Dùng các phép BSCTD đa A v dng bc thang R.
• S chiu ca W bng s dòng khác 0 ca R (do đó bng r(A)) và các véct dòng
khác 0 ca R to thành mt c s ca W.
Ví d. 1) Tìm mt c s cho không gian con ca R
4
sinh bi các véct u
1
, u
2
, u
3
, u
4
trong
đó:
u
1
= (1, 2, 1, 1)
u
2
= (3, 6, 5, 7)
u
3
= (4, 8, 6, 8)
u
4
= (8, 16, 12, 20)
Gii tóm tt. Không gian W sinh bi u
1
, u
2
, u
3
, u
4
là không gian dòng ca ma trn:
12 1 1 1211
36 5 7 0012
A
R
4 8 6 8 0001
8161220 0000
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
==
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∼
Do đó W có dimW = 3 vi c s là :
B = {(1, 2, 1, 1); (0, 0, 1, 2); (0, 0, 0, 1)}
Nhn xét. Có th kim chng u
1
, u
2
, u
3
đc lp tuyn tính. Do đó {u
1
, u
2
, u
3
} cng là
mt c s ca W (do dimW = 3).
2) Tìm mt c s cho không gian con ca R
4
sinh bi các véct u
1
, u
2
, u
3
trong đó:
u
1
= (1, –2, –1, 3)
u
2
= (2, –4, –3, 0)
u
3
= (3, –6, –4, 4)
Không gian W sinh bi u
1
, u
2
, u
3
là không gian dòng ca ma trn:
1213 1213
A
2430 00 16 R
3644 0001
−− −−
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
=−− −−=
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
−−
⎝⎠⎝ ⎠
∼
W có dimW = 3 và mt c s B = {v
1
, v
2
, v
3
}, trong đó:
v
1
= (1, –2, –1, 3)
v
2
= (0, 0, –1, –6)
[...]... 6 2x4 x2 6 2 2 1 18 B- ÁNH X TUY N TÍNH §1 KHÁI NI M V ÁNH X TUY N TÍNH 1.1 nh ngh a Cho V và W là hai không gian véct trên F Ánh x f: V là m t ánh x tuy n tính n u f th a hai tính ch t sau: 1) u, v 2) u W cg i V, f(u + v) = f(u) + f(v); V, F, f( u) = f(u) H n n a, n u f tho thêm tính ch t là n ánh (toàn ánh, song ánh) thì f c g i là m t n c u (toàn c u, ng c u) không gian véct Khi t n t i m t ng c... gi a V và W ta nói V ng c u v i W, ký hi u V W Tr ng h p W = V thì ánh x tuy n tính f: V m t phép bi n i tuy n tính trên V V c g i là m t toán t tuy n tính hay Ký hi u: L(V,W): T p t t c các ánh x tuy n tính t V vào W L(V): T p t t c các toán t tuy n tính trên V Nh n xét Hai tính ch t 1) và 2) u, v trên t V, ng ng v i tính ch t sau: F, f( u + v) = f(u) + f(v) 1.2 Ví d Xét ánh x f: R2 R3 xác nh b... tính t W vào V 2) gof là m t ánh x tuy n tính t V vào T L(V,W); g L(W,T) §2 NHÂN VÀ NH C A ÁNH X TUY N TÍNH 2.1 Khi ó: nh lý Cho V, W là hai không gian véct và f: V 1) N u U V thì f(U) 2) N u T W thì f 1(T) 2.2 W là m t ánh x tuy n tính f(V) H n n a, n u U = < S > thì f(U) = < f(S)> V nh ngh a Cho V, W là hai không gian véct và f: V W là m t ánh x tuy n tính 1) Không gian con f 1(0) c a V, g m t t c các... không gian véct và f, g L(V,W) Ta nh ngh a t ng f + g c a hai ánh x tuy n tính và tích f ( F) c a m t vô s v i m t ánh x tuy n tính nh sau: v V, (f + g)(v) = f(v) + g(v) v V, ( f)(v) = f(v) Khi ó f + g và f trên F u thu c L(V,W) và v i các phép toán trên, L(V,W) là m t không gian véct 1.7 M nh Cho V, W, T là các không gian véct trên F và f Khi ó: 1) N u f là song ánh thì f-1 là m t ánh x tuy n tính. .. u k s Khi ó { u k , u k , , u k } là m t h nghi m c b n 1 2 s Không gian nghi m SA có dimSA = s và m t c { u k , u k , , u k } ã tìm 1 2 s 12 s là h nghi m c b n §7 KHÔNG GIAN T NG 7.1 nh lý Cho W1,W2, , Wn là các không gian con c a V W = { u1 + u2 + + un ui Wi, 1 i t: n} n Khi ó W là không gian con c a V sinh b i U Wi Ta g i W là không gian t ng c a W1,W2, , i 1 Wn, kí hi u: W = W1 + W2 + + Wn... Cho W1, W2 là hai không gian véct con h u h n chi u c a V Khi ó W1 + W2 là không gian con h u h n chi u c a V và dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 – dim(W1 W2) 7.4 nh ngh a Cho W1, W2, , Wn là các không gian con c a V Ta nói W là không gian t ng tr c ti p c a W1, W2, , Wn , kí hi u W n u W = W1 + W2 + + Wn và Wi W1 ( W2 Wj ) Wn v im i1 i n j i 7.5 H qu Cho W1, W2, , Wn là các không gian con c a h u... i ánh x tuy n tính f: V sau t ng c u 2) N u B là m t c s b t k c a V thì {f(u)| u B} là m t c s c a W 3) T n t i m t c s B c a V sao cho {f(u)| u B} là m t c s c a W Nh n xét Do 2.7 n = dimV nh lý 2.6, n u V W thì dim V = dimW nh lý N u V là m t không gian véct h u h n chi u trên F thì V Fn , trong ó 2.8 nh lý Cho f: V W là m t ánh x tuy n tính t không gian véct h u h n chi u V vào không gian véct... n A = (aij)m n là ma tr n chính t c c a ánh x tuy n tính f 3.4 Ví d Cho ánh x tuy n tính f: R3 R3 nh b i: f(x, y, z) = (3x – 2y + 4z, 7x – y + z, x – 3y – z) V i B0 = (e1, e2, e3) là c s chính t c c a R3, ta có: ma tr n chính t c c a ánh x tuy n tính f là: 3 A 2 4 7 1 1 3 1 1 3.5 Cách tìm Ker(f) và Im(f) c a ánh x tuy n tính f: Fn Gi s ánh x tuy n tính f: Fn Fm Fm có ma tr n chính t c là A = (aij)m... là không gian nghi m c a h ph AX = 0 x1 x2 xn ng trình tuy n tính thu n nh t 2) Im(f): G i A0 = (e1, e2, , en) là c s chính t c c a Fn, ta có: f(e1) = (a11, a21, , am1); f(e2) = (a12, a22, , am2); f(en) = (a1n, a2n, , amn) Mà Im(f) = < f(e1), f(e2), , f(en) > nên Im(f) chính là không gian c t c a ma tr n A, ngh a là không gian sinh b i các véct c t c a ma tr n A Nói cách khác, Im(f) là không gian... riêng, vect riêng và không gian riêng c a ma tr n 1) L p a th c 2) Gi i ph c tr ng ng trình A( A( )= A– I )=0 tìm các tr riêng c a ma tr n A 3) ng v i m i tr riêng , không gian riêng V( ) là không gian nghi m c a ph trình Au = u, ngh a là c a h ph ng trình tuy n tính thu n nh t (1) 3 Ví d Cho ma tr n th c A = 3 2 1 3 1 1 2 Tìm tr riêng và vect riêng c a A Xác 0 c s , s chi u c a các không gian riêng t Gi .
1
ÔN THI CAO HC
PHN I S TUYN TÍNH
(GV Trn Ngc Hi - 2011)
A- KHÔNG GIAN VÉCT
§1. NH NGHA VÀ TÍNH CHT CN BN
1.1 h tu ý các không gian con ca V cng là mt không gian con
ca V.
Chú ý
.
Hp ca hai không gian con ca V không nht thi t là mt không gian con ca