1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Tài liệu Ôn thi cao học:Đại số tuyến tính doc

46 517 4

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 46
Dung lượng 526,3 KB

Nội dung

1 ÔN THI CAO HC PHN I S TUYN TÍNH (GV Trn Ngc Hi - 2011) A- KHÔNG GIAN VÉCT §1. NH NGHA VÀ TÍNH CHT CN BN 1.1. nh ngha. Cho V là mt tp hp khác ∅. Ta nói V là mt không gian véct trên F (F = Q, R hay C) nu trong V : i) Tn ti mt phép toán “cng véct”, tc là mt ánh x V × V → V (u, v) → u + v ii) Tn ti mt phép “nhân vô hng vi véct”, tc là mt ánh x F × V → V (α, u) → αu tha các tính cht sau: v i u, v, w ∈ V và α, β ∈ F: 1. u + v = v + u; 2. (u + v) + w = u + (v + w); 3. ∃ 0 ∈ V, u + 0 = 0 + u = u; 4. ∃ (–u) ∈ V, (–u) + u = u + (–u) = 0; 5. (αβ)u = α(βu); 6. (α + β)u = αu +βu; 7. α(u + v)u = αu + αv; 8. 1.u = u. Khi đó: • Mi phn t u ∈ V là mt véct. • Mi s α ∈ F là mt vô hng. • Véct 0 là véct không. • Véct (–u) là véct đi ca u. Sau đây ta s đa ra vài ví d c bn v không gian véct. 1) Tp F n = {u = (x 1 , x 2 , , x n )⏐x i ∈ F, 1 ≤ i ≤ n} (F = R hay C) vi phép toán cng véct và phép nhân vô hng vi véct đnh bi: 2 u + v = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ), αu = (αx 1 , αx 2 , , αx n ), vi u = (x 1 , x 2 , , x n ), v = (y 1 , y 2 , , y n )∈ V và α ∈ F, là mt không gian véct trên F vi véct không là 0 = (0, 0, 0) và véct đi ca véct u = (x 1 , x 2 , , x n ) là (–u) = (−x 1 , −x 2 , , −x n ) 2) Tp V = M mxn (F) gm các ma trn mxn vi các h s trong F là mt không gian véct trên F vi phép cng véct là phép cng ma trn thông thng và nhân vô hng vi véct là phép nhân thông thng mt s vi ma trn, trong đó véct không là ma trn không và véct đi ca A = (a ij ) là (–A) = (–a ij ). 3) Tp V = F[x] = {p(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 x + a 0 ⏐ n ∈ N, a i ∈ F, 1 ≤ i ≤ n} gm các đa thc theo x vi các h s trong F là mt không gian véct trên F vi phép cng véct là phép cng thông thng các đa thc và phép nhân vô hng vi véct là phép nhân thông thng mt s vi mt đa thc. 4) Vi mi s nguyên n ≥ 1, tp V = F n [x] = {p(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 ⏐a i ∈ F, 1 ≤ i ≤ n} gm các đa thc theo x bc ≤ n, vi các h s trong F là mt không gian véct trên F vi cng véct và phép nhân vô hng vi véct là các phép cng đa thc và nhân mt s vi đa thc thông thng (nh trong 3) là mt không gian véct trên trng F. 1.2. Mnh đ. Cho V là mt không gian véct trên F. Khi đó vi mi u ∈ V và α ∈ F ta có: i) αu = 0 ⇔ (α = 0 hay u = 0). ii) (–1)u = –u. T  đây v sau ta ký hiu V là mt không gian véct trên trng F (F = Q, R hay C) §2. T HP TUYN TÍNH 2.1. nh ngha. Cho u 1 , u 2 , , u k ∈ V. Mt t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k là mt véct có dng: u = α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k vi α i ∈ F (1 ≤ i ≤ k). 2.2. Tính cht. 1) u là t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k khi và ch khi phng trình α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k = u có nghim (α 1 , α 2 , , α k )∈ F k . 2) Tng ca hai t hp tuyn tính, tích ca mt s vi mt t hp tuyn tính cng là các t hp tuyn tính (ca u 1 , u 2 , , u k ): kkk 1i 1i i i i i1 i1 i1 uu()u === α+β= α+β ∑∑∑ ; kk ii i i i1 i1 u()u == ⎛⎞ αα=αα ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∑ . 3 3) Véct không 0 luôn luôn là mt t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k vì 0 = 0u 1 + 0u 2 + + 0u k . 4) Mi véct u i , 1 ≤ i ≤ k là mt t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k vì u i = 0u 1 + + 0u i–1 + 1u i + 0u i+1 + + 0u k Tng quát hn, mi t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , ,u j (1 ≤ j ≤ k) đu là t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , ,u j , u j+1 , , u k vì: α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α j u j = α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α j u j + 0u j+1 + + 0u k 4) Mi t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , ,u k-1 , u k đu là t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k-1 khi và ch khi u k là mt t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k-1 . 2.3. H qu. Cho u 1 , u 2 , , u k là k véct trong F n vi u j = (u 1j , u 1j , , u nj ), 1 ≤ j ≤ k: u 1 = (u 11 , u 21 , u n1 ) u 2 = (u 12 , u 22 , u n2 ) u k = (u 1k , u 2k , u nk ) Khi đó véct u = (b 1 , b 2 , , b n ) ∈ F n là t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k khi và ch khi h phng trình tuyn tính UX = B, trong đó: 11 12 1k 1 1 21 22 2k 2 2 n1 n2 nk n k uu u b uu u b U;B;X uu u b α ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ α ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ === ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ α ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ có nghim X. Ví d. Trong không gian R 4 cho các véct: u 1 = (1, 1, 1, 1); u 2 = (2, 3, –1, 0); u 3 = (–1, –1, 1, 1); u 4 = (1, 2, 1, –1) Tìm điu kin đ véct u = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) là mt t hp tuyn tính ca: a) u 1 , u 2 , u 3 ; b) u 1 , u 2 , u 3 , u 4 . áp s: a) a 1 + a 4 = a 2 + a 3 . b) Mi véct u = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) ∈ R 4 đu là t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , u 3 , u 4 . §3. C LP TUYN TÍNH – PH THUC TUYN TÍNH 3.1. nh ngha. 1) Cho u 1 , u 2 , , u k ∈ V. Xét phng trình: 4 α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k = 0 (1) Nu (1) ch có nghim tm thng α 1 = α 2 = = α k = 0 thì ta nói u 1 , u 2 , , u k (hay {u 1 , u 2 , , u k }) đc lp tuyn tính. Nu ngoài nghim tm thng, (1) còn có nghim khác thì ta nói u 1 , u 2 , , u k (hay {u 1 , u 2 , , u k } ) ph thuc tuyn tính. Nói cách khác, • u 1 , u 2 , , u k đc lp tuyn tính khi và ch khi vi mi α 1 , α 2 , , α k ∈F ta có: α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k = 0 ⇒ α 1 = α 2 = = α k = 0. • u 1 , u 2 , , u k ph thuc tuyn tính khi và ch khi tn ti α 1 , α 2 , , α k ∈ F không đng thi bng 0 sao cho: α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k = 0. 2) Tp con S ⊆ V đc gi là đc lp tuyn tính nu mi {u 1 , u 2 , , u k } ⊆ S (k ∈ N tu ý) đu đc lp tuyn tính. Nu S không đc lp tuyn tính, ta nói S ph thuc tuyn tính. Ví d 1) Trong không gian R 3 cho các véct: u 1 = (1, 2, −3); u 2 = (2, 5, −1); u 3 = (1, 1, −8) ta có: • u 1 , u 2 đc lp tuyn tính. • u 1 , u 2 , u 3 ph thuc lp tuyn tính. 3.2. Nhn xét. Các véct u 1 , u 2 , , u k ph thuc tuyn tính khi và ch khi tn ti véct u i “ph thuc” vào các véct khác theo ngha véct u i đc biu din di dng t hp tuyn tính ca các u j , 1 ≤ j ≠ i ≤ k. Vi u 1 , u 2 , , u k là k véct trong F n : u 1 = (u 11 , u 21 , u n1 ) u 2 = (u 12 , u 22 , u n2 ) u k = (u 1k , u 2k , u nk ) ta có: u 1 , u 2 , , u k đc lp tuyn tính khi và ch khi h phng trình tuyn tính UX = 0, trong đó: 11 12 1k 21 22 2k n1 n2 nk uu u uu u U uu u ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ch có nghim tm thng X = 0. Mt khác, H UX = 0 ch có nghim tm thng X = 0 ⇔ Ma trn U có hng là r(U) = k. 5 ⇔ Ma trn A = U T có hng là r(A) = k (do hai ma trn chuyn v có cùng hng). Nhn xét rng ma trn U có đc bng cách dng u 1 , u 2 , , u k thành các ct, nên ma trn A = U T có đc bng cách xp u 1 , u 2 , , u k thành các dòng. 3.3. H qu. Cho u 1 , u 2 , , u k là k véct trong F n . Gi A là ma trn có đc bng cách xp u 1 , u 2 , , u k thành các dòng. Khi đó: u 1 , u 2 , , u k đc lp tuyn tính ⇔ A có hng là r(A) = k. 3.4. Chú ý. Trong thc hành, ta kim tra tính đc lp tuyn tính ca các véct u 1 , u 2 , , u k trong F n nh sau: Bc 1: Lp ma trn A bng cách xp u 1 , u 2 , , u k thành các dòng. Bc 2: Dùng các phép BSCTD đa A v dng bc thang R. Khi đó: • Nu R không có dòng 0 thì u 1 , u 2 , , u k đc lp tuyn tính. • Nu R có ít nht mt dòng 0 thì u 1 , u 2 , , u k ph thuc tuyn tính. Trng hp k = n, ta có A là ma trn vuông. Khi đó có th thay Bc 2 bng Bc 2′ nh sau: Bc 2′: Tính đnh thc detA: • Nu detA ≠ 0 thì u 1 , u 2 , , u k đc lp tuyn tính. • Nu detA = 0 thì u 1 , u 2 , , u k ph thuc tuyn tính. Ví d 1. Trong không gian R 5 cho các véct: u 1 = (1, 2, −3, 5, 1); u 2 = (1, 3, −13, 22, −1); u 3 = (3, 5, 1, −2, 5); u 4 = (2, 3, 4, −7, 4); Hãy xét xem u 1 , u 2 , u 3 , u 4 đc lp tuyn tính hay ph thuc tuyn tính. áp s: Ph thuc tuyn tính. Ví d 2. Trong không gian R 3 cho các véct: u 1 = (2m + 1, − m, m + 1) u 2 = (m − 2, m – 1, m – 2) u 3 = (2m − 1, m – 1, 2m –1) Tìm điu kin đ u 1 , u 2 , u 3 đc lp tuyn tính trên R. áp s: m ≠ 0; m ≠ ± 1. §4. KHÔNG GIAN CON – TP SINH – C S VÀ S CHIU 6 4.1. nh ngha (không gian véct con). Cho W là mt tp con khác ∅ ca V. Ta nói W là mt không gian véct con ca V, kí hiu W ≤ V, nu W vi phép cng véct và phép nhân vô hng vi véct cm sinh t V, cng là mt không gian véct trên trng F. 4.2. nh lý. Cho W là mt tp con khác ∅ ca V. Khi đó các khng đnh sau là tng đng: i) W ≤ V. ii) Vi u, v ∈ W và α ∈ F, u + v ∈ W và αu ∈ W. iii) Vi u, v ∈ W và α ∈ F, αu + v ∈ W. Ví d.1) W = {0} và V là các véct con ca V. Ta gi đây là các không gian con tm thng ca V. 2) Trong không gian R 3 , đng thng (D) đi qua gc ta đ O là mt không gian con ca R 3 . 3) Trong không gian R 3 , mt phng (P) đi qua gc ta đ O là mt không gian véct con ca R 3 . 4) Cho a 1 , , a n ∈ F và b ∈ F\{0} t: W 1 = {(x 1 , , x n ) ∈ F n | a 1 x 1 + + a n x n = 0}; W 2 = {(x 1 , , x n ) ∈ F n | a 1 x 1 + + a n x n = b} Ta có W 1 ≤ F n nhng n 2 W ≤  4.3. nh lý. Giao ca mt h tu ý các không gian con ca V cng là mt không gian con ca V. Chú ý . Hp ca hai không gian con ca V không nht thit là mt không gian con ca V. Bây gi cho S ⊆ V. Gi {W i } i ∈ I là h tt c nhng không gian con ca V có cha S (h này khác rng vì có cha V). t: i Ii WW ∈ = ∩ Khi đó: • W là không gian con nh nht ca V có cha S. Ta gi • W là không gian con sinh bi S, kí hiu W = < S >. • S là tp sinh ca W. • Nu S hu hn S = {u 1 , u 2 , , u n } thì ta nói W = < S > là không gian con hu hn sinh bi u 1 , u 2 , , u n và kí hiu W = < u 1 , u 2 , , u n >. 4.4. nh lý. Cho ∅ ≠ S ⊆ V. Khi đó không gian con ca V sinh bi S là tp hp tt c nhng t hp tuyn tính ca mt s hu hn nhng tùy ý các véct trong S, ngha là: < S > = {u = α 1 u 1 + + α n u n | n ∈ N, u i ∈ S, α i ∈ F, ∀ 1 ≤ i ≤ n} 7 Chú ý. 1) Nu S = ∅ thì <S> = {0}. 2) Nu S = {u 1 , u 2 , , u n } thì < S > = {α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α n u n ⏐ α i ∈ F, 1 ≤ i ≤ n}. 3) Nu S ≤ V thì < S > = S. 4) Cho S ⊆ V và W ≤ V. Khi đó: S ⊆ W ⇔ < S > ≤ W. 5. Nu S 1 ⊆ S 2 ⊆ V thì < S 1 > ≤ < S 2 >. 4.5. nh ngha. Mt tp hp con B ca không gian véct V đc gi là mt c s ca V nu B là mt tp sinh đc lp tuyn tính. 4.6. B đ. Gi s V sinh bi m véct u 1 , u 2 , , u m : V = < u 1 , u 2 , , u m >. Khi đó mi tp hp con đc lp tuyn tính ca V có không quá m phn t. 4.7. H qu và đnh ngha. Nu V có mt c s B hu hn gm m phn t: B = {u 1 , u 2 , , u m } thì mi c s khác ca V cng hu hn và có đúng m phn t. Khi đó ta nói V là mt không gian véct hu hn chiu trên F và m đc gi la s chiu (dimension) ca V trên F, kí hiu dim F V = m hay dimV = m. Trong trng hp ngc li, ta nói V là mt không gian véct vô hn chiu trên F, kí hiu dim F V = ∞ hay dimV = ∞. Ví d. 1) Không gian F n là mt không gian véct hu hn chiu trên F vi dimF n = n do F n có mt c s là B 0 = {e 1 , e 2 , , e n } trong đó: e 1 = (1, 0, 0, , 0) e 2 = (0, 1, 0, , 0) e = (0, 0, , 0, 1) Ta gi B 0 là c s chính tc ca F n trên F. 2) Không gian M mxn (F) là mt không gian véct hu hn chiu trên F vi dim M m×n (F) = mn vi c s B 0 = {E ij | , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}, trong đó E ij là ma trn loi m×n ch có mt h s khác 0 là 1 ti dòng i ct j. Ta gi B 0 = {E ij | , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n} là c s chính tc ca M mxn (F) trên F. 3) Không gian F n [x] gm các đa thc theo x bc ≤ n vi h s trong F, là mt không gian véct hu hn chiu trên F vi dimF n [x] = n + 1 vi mt c s là B 0 = {1, x, x n }. Ta gi B 0 = {1, x, x n } là c s chính tc ca F n [x]. 4) Không gian F[x] gm tt các đa thc theo x bc vi h s trong F, là mt không gian véct vô hn chiu vi mt c s vô hn B 0 = {1, x, x 2 , }. 4.8. H qu. Cho V là không gian véct hu hn chiu trên F vi dim V = n. Khi đó: i) Mi tp con ca V có nhiu hn n phn t đu ph thuc tuyn tính. ii) Mi tp con ca V có ít hn n phn t không th là tp sinh ca V. 8 4.9. B đ. Cho S là mt tp con đc lp tuyn tính ca V và u ∈ V là mt véct sao cho u ∉ < S >. Khi đó tp hp S 1 = S ∪ {u} đc lp tuyn tính. 4.10. nh lý. Cho V là không gian véct hu hn chiu vi dim V = n. Khi đó: i) Mi tp hp con đc lp tuyn tính gm n phn t ca V đu là c s ca V. ii) Mi tp hp sinh ca V gm n phn t đu là c s ca V. Nhn xét. Vì dim F n = n nên mi c s ca F n phi gm đúng n véct. Hn na, do nh lý 4.10: Vi B = {u 1 , u 2 , , u n } là mt tp con gm đúng n véct ca F n , ta có: B = {u 1 , u 2 , , u n } là mt c s ca F n ⇔ u 1 , u 2 , , u n đc lp tuyn tính ⇔ detA ≠ 0, trong đó A là ma trn có đc bng cách xp u 1 , u 2 , , u n thành các dòng. Ví d. 1) Trong không gian R 4 , các véct u 1 = (1, 1, 1, 1) u 2 = (2, 3, –1, 0) u 3 = (–1, –1, 1, 1) u 4 = (1, 2, 1, –1) to thành c s ca R 4 . 2) Trong không gian R 3 , các véct u 1 = (2m + 1, − m, m + 1) u 2 = (m − 2, m – 1, m – 2) u 3 = (2m − 1, m – 1, 2m –1) to thành mt c s ca R 3 khi và ch khi m0,1 ≠ ± . 4.11. nh lý (v c s không toàn vn). Cho V là mt không gian véct hu hn chiu và S là mt tp con đc lp tuyn tính ca V. Khi đó, nu S không phi mt c s ca V thì ta có th thêm vào S mt s véct đ đc mt c s ca V. 4.12. nh lý. Cho V là mt không gian véct hu hn chiu sinh bi S. Khi đó tn ti mt c s B ca V sao cho B ⊆ S. Nói cách khác, nu S không phi là mt c s ca V thì ta có th loi b ra khi S mt s véct đ đc mt c s ca V. 4.13. H qu. Mi không gian con W ca mt không gian véct V hu hn chiu đu hu hn chiu, hn na nu W ≤ V và W ≠ V thì dim W < dim V. 9 §5. KHÔNG GIAN DÒNG 5.1. nh ngha. Cho ma trn A = (a ij ) loi m×n vi h s trong F: 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a a a a a A a a a ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ t: u 1 = (a 11 , a 12 , , a 1n ) u 2 = (a 21 , a 22 , , a 2n ) u m = (a m1 , a m2 , , a mn ) và W A = <u 1 , u 2 , , u m >. Ta gi u 1 , u 2 , , u m là các véct dòng ca A, và W A là không gian dòng ca A. Ghi chú. dimW A còn đc gi là hng ca h véct u 1 , u 2 , , u m . 5.2. nh lý. Nu A và B là hai ma trn tng đng dòng thì W A = W B , ngha là A và B có cùng không gian dòng. 5.3. Nhn xét. Vì các véct dòng khác 0 ca mt ma trn dng bc thang luôn luôn đc lp tuyn tính nên chúng to thành mt c s ca không gian dòng. T đây ta suy ra cách tìm s chiu và mt c s ca không gian dòng ca ma trn A nh sau: • Dùng các phép BSCTD đa A v dng bc thang R. • S chiu ca không gian dòng W A bng s dòng khác 0 ca R (do đó bng r(A)) và các véct dòng khác 0 ca R to thành mt c s ca W A . Ví d. Tìm s chiu và mt c s ca không gian dòng ca ma trn: 12 11 25 1 4 A 511 2 8 920 314 − ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ − ⎜⎟ − ⎝⎠ Gii tóm tt. Dùng các phép BSCTD ta có 12 11 12 11 25 1 4 0132 A R 511 2 8 00 0 1 920 314 0000 −− ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ == ⎜⎟⎜⎟ − ⎜⎟⎜⎟ − ⎝⎠⎝⎠ ∼ . R có dng bc thang vi 3 dòng khác 0. Do đó dim W A = 3 và mt c s ca W A là: {(1, 2, −1, 1); (0, 1, 3, 2); (0, 0, 0, 1)} 10 5.4. Cách tìm s chiu và c s ca mt không gian con ca F n khi bit mt tp sinh: Gi s W = <u 1 , u 2 , , u m > ≤ F n (u 1 , u 2 , , u m không nht thit đc lp tuyn tính).  tìm s chiu và mt c s ca W ta tin hành nh sau: • Lp ma trn A bng cách xp u 1 , u 2 , , u m thành các dòng. • Dùng các phép BSCTD đa A v dng bc thang R. • S chiu ca W bng s dòng khác 0 ca R (do đó bng r(A)) và các véct dòng khác 0 ca R to thành mt c s ca W. Ví d. 1) Tìm mt c s cho không gian con ca R 4 sinh bi các véct u 1 , u 2 , u 3 , u 4 trong đó: u 1 = (1, 2, 1, 1) u 2 = (3, 6, 5, 7) u 3 = (4, 8, 6, 8) u 4 = (8, 16, 12, 20) Gii tóm tt. Không gian W sinh bi u 1 , u 2 , u 3 , u 4 là không gian dòng ca ma trn: 12 1 1 1211 36 5 7 0012 A R 4 8 6 8 0001 8161220 0000 ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ == ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ∼ Do đó W có dimW = 3 vi c s là : B = {(1, 2, 1, 1); (0, 0, 1, 2); (0, 0, 0, 1)} Nhn xét. Có th kim chng u 1 , u 2 , u 3 đc lp tuyn tính. Do đó {u 1 , u 2 , u 3 } cng là mt c s ca W (do dimW = 3). 2) Tìm mt c s cho không gian con ca R 4 sinh bi các véct u 1 , u 2 , u 3 trong đó: u 1 = (1, –2, –1, 3) u 2 = (2, –4, –3, 0) u 3 = (3, –6, –4, 4) Không gian W sinh bi u 1 , u 2 , u 3 là không gian dòng ca ma trn: 1213 1213 A 2430 00 16 R 3644 0001 −− −− ⎛⎞⎛ ⎞ ⎜⎟⎜ ⎟ =−− −−= ⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ −− ⎝⎠⎝ ⎠ ∼ W có dimW = 3 và mt c s B = {v 1 , v 2 , v 3 }, trong đó: v 1 = (1, –2, –1, 3) v 2 = (0, 0, –1, –6) [...]... 6 2x4 x2 6 2 2 1 18 B- ÁNH X TUY N TÍNH §1 KHÁI NI M V ÁNH X TUY N TÍNH 1.1 nh ngh a Cho V và W là hai không gian véct trên F Ánh x f: V là m t ánh x tuy n tính n u f th a hai tính ch t sau: 1) u, v 2) u W cg i V, f(u + v) = f(u) + f(v); V, F, f( u) = f(u) H n n a, n u f tho thêm tính ch t là n ánh (toàn ánh, song ánh) thì f c g i là m t n c u (toàn c u, ng c u) không gian véct Khi t n t i m t ng c... gi a V và W ta nói V ng c u v i W, ký hi u V W Tr ng h p W = V thì ánh x tuy n tính f: V m t phép bi n i tuy n tính trên V V c g i là m t toán t tuy n tính hay Ký hi u: L(V,W): T p t t c các ánh x tuy n tính t V vào W L(V): T p t t c các toán t tuy n tính trên V Nh n xét Hai tính ch t 1) và 2) u, v trên t V, ng ng v i tính ch t sau: F, f( u + v) = f(u) + f(v) 1.2 Ví d Xét ánh x f: R2 R3 xác nh b... tính t W vào V 2) gof là m t ánh x tuy n tính t V vào T L(V,W); g L(W,T) §2 NHÂN VÀ NH C A ÁNH X TUY N TÍNH 2.1 Khi ó: nh lý Cho V, W là hai không gian véct và f: V 1) N u U V thì f(U) 2) N u T W thì f 1(T) 2.2 W là m t ánh x tuy n tính f(V) H n n a, n u U = < S > thì f(U) = < f(S)> V nh ngh a Cho V, W là hai không gian véct và f: V W là m t ánh x tuy n tính 1) Không gian con f 1(0) c a V, g m t t c các... không gian véct và f, g L(V,W) Ta nh ngh a t ng f + g c a hai ánh x tuy n tính và tích f ( F) c a m t vô s v i m t ánh x tuy n tính nh sau: v V, (f + g)(v) = f(v) + g(v) v V, ( f)(v) = f(v) Khi ó f + g và f trên F u thu c L(V,W) và v i các phép toán trên, L(V,W) là m t không gian véct 1.7 M nh Cho V, W, T là các không gian véct trên F và f Khi ó: 1) N u f là song ánh thì f-1 là m t ánh x tuy n tính. .. u k s Khi ó { u k , u k , , u k } là m t h nghi m c b n 1 2 s Không gian nghi m SA có dimSA = s và m t c { u k , u k , , u k } ã tìm 1 2 s 12 s là h nghi m c b n §7 KHÔNG GIAN T NG 7.1 nh lý Cho W1,W2, , Wn là các không gian con c a V W = { u1 + u2 + + un ui Wi, 1 i t: n} n Khi ó W là không gian con c a V sinh b i U Wi Ta g i W là không gian t ng c a W1,W2, , i 1 Wn, kí hi u: W = W1 + W2 + + Wn... Cho W1, W2 là hai không gian véct con h u h n chi u c a V Khi ó W1 + W2 là không gian con h u h n chi u c a V và dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 – dim(W1 W2) 7.4 nh ngh a Cho W1, W2, , Wn là các không gian con c a V Ta nói W là không gian t ng tr c ti p c a W1, W2, , Wn , kí hi u W n u W = W1 + W2 + + Wn và Wi W1 ( W2 Wj ) Wn v im i1 i n j i 7.5 H qu Cho W1, W2, , Wn là các không gian con c a h u... i ánh x tuy n tính f: V sau t ng c u 2) N u B là m t c s b t k c a V thì {f(u)| u B} là m t c s c a W 3) T n t i m t c s B c a V sao cho {f(u)| u B} là m t c s c a W Nh n xét Do 2.7 n = dimV nh lý 2.6, n u V W thì dim V = dimW nh lý N u V là m t không gian véct h u h n chi u trên F thì V Fn , trong ó 2.8 nh lý Cho f: V W là m t ánh x tuy n tính t không gian véct h u h n chi u V vào không gian véct... n A = (aij)m n là ma tr n chính t c c a ánh x tuy n tính f 3.4 Ví d Cho ánh x tuy n tính f: R3 R3 nh b i: f(x, y, z) = (3x – 2y + 4z, 7x – y + z, x – 3y – z) V i B0 = (e1, e2, e3) là c s chính t c c a R3, ta có: ma tr n chính t c c a ánh x tuy n tính f là: 3 A 2 4 7 1 1 3 1 1 3.5 Cách tìm Ker(f) và Im(f) c a ánh x tuy n tính f: Fn Gi s ánh x tuy n tính f: Fn Fm Fm có ma tr n chính t c là A = (aij)m... là không gian nghi m c a h ph AX = 0 x1 x2 xn ng trình tuy n tính thu n nh t 2) Im(f): G i A0 = (e1, e2, , en) là c s chính t c c a Fn, ta có: f(e1) = (a11, a21, , am1); f(e2) = (a12, a22, , am2); f(en) = (a1n, a2n, , amn) Mà Im(f) = < f(e1), f(e2), , f(en) > nên Im(f) chính là không gian c t c a ma tr n A, ngh a là không gian sinh b i các véct c t c a ma tr n A Nói cách khác, Im(f) là không gian... riêng, vect riêng và không gian riêng c a ma tr n 1) L p a th c 2) Gi i ph c tr ng ng trình A( A( )= A– I )=0 tìm các tr riêng c a ma tr n A 3) ng v i m i tr riêng , không gian riêng V( ) là không gian nghi m c a ph trình Au = u, ngh a là c a h ph ng trình tuy n tính thu n nh t (1) 3 Ví d Cho ma tr n th c A = 3 2 1 3 1 1 2 Tìm tr riêng và vect riêng c a A Xác 0 c s , s chi u c a các không gian riêng t Gi . 1 ÔN THI CAO HC PHN I S TUYN TÍNH (GV Trn Ngc Hi - 2011) A- KHÔNG GIAN VÉCT §1. NH NGHA VÀ TÍNH CHT CN BN 1.1 h tu ý các không gian con ca V cng là mt không gian con ca V. Chú ý . Hp ca hai không gian con ca V không nht thi t là mt không gian con ca

Ngày đăng: 16/02/2014, 15:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN