SKKN Tiếp cận phương trình, bất phương trình thông qua mối liên hệ với hàm số

MỤC LỤC I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Giới hạn phạm vi nghiên cứu II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Cơ sở lí luận vấn đề 1.1 Hàm số bậc 1.2 Hàm số bậc hai Thực trạng vấn đề Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 3.1 Tiếp cận phương pháp giải biện luận phương trình có dạng ax  b  3.2 Tiếp cận phương pháp giải biện luận phương trình có dạng ax  bx  c  3.3 Tiếp cận phương pháp giải biện luận bất phương trình có dạng ax  b  3.4 Tiếp cận phương pháp giải biện luận bất phương trình có dạng ax  bx  c  3.5 Phương pháp giải toán liên quan đến phương trình, bất phương trình có chứa tham số quy bậc ẩn 3.6 Thiết kế giáo án dạy học phương trình, bất phương trình bậc bậc hai ẩn thông qua mối liên hệ với hàm số bậc bậc hai ẩn 28 Kết đạt 39 III KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Phương trình, bất phương trình chủ đề quan trọng lâu đời lịch sử tốn học Do đó, giảng dạy phương trình, bất phương trình ln có tầm quan trọng dạy học toán giáo dục Khái niệm phương trình, bất phương trình đưa vào chương trình tốn từ cấp tiểu học hình thức ngầm ẩn điền vào ô trống để đẳng thức đúng, tìm x (trong tập số N), Đến cấp trung học sở, chương trình lớp có khái niệm phương trình ax  b tập số hữu tỉ Khái niệm phương trình, bất phương trình giới thiệu tường minh lớp xác hóa chương trình tốn lớp 10 thông qua mệnh đề chứa biến biến hàm số ban đầu Theo cách định nghĩa phương trình dựa vào biến hàm số ban đầu, chương trình sách giáo khoa mơn tốn THPT ba khối lớp; học phương trình, bất phương trình ln xếp sau học hàm số tương ứng với loại phương trình Chẳng hạn, lớp 10 có hàm số bậc nhất, bậc hai phương trình, bất phương trình quy bậc nhất, bậc hai ẩn; lớp 11 có hàm số lượng giác phương trình lượng giác; lớp 12 có hàm số mũ, logarit phương trình, bất phương trình mũ logarit Tuy nhiên, tơi nhận thấy việc dạy học phương trình, bất phương trình tập trung vào phép biến đổi đại số, công thức nghiệm mà chưa tận dụng hết tính chất loại hàm số để đưa vào học phương trình, bất phương trình Học sinh quen thuộc có xu hướng chấp nhận phép biến đổi lẽ dĩ nhiên mà khơng có tư tìm mối liên hệ với kiến thức hàm số vừa học không hiểu ý nghĩa hàm số phương trình, bất phương trình Do đó, gặp câu hỏi liên quan đến phương trình, bất phương trình chứa tham số mà học sinh phải vận dụng tư hàm số cơng cụ đắc lực để giải học sinh thường lúng túng gặp nhiều khó khăn đặt câu hỏi: “Tại nghĩ làm vậy?” Để trả lời câu hỏi dạy, việc bồi dưỡng lực tư hàm số thông qua hàm số để tiếp cận phương trình, bất phương trình tương ứng điều cần thiết Muốn làm tốt điều người thầy khơng có phương pháp truyền thụ tốt mà cịn phải có kiến thức vừa chun, vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu cách lơgic chất tốn học Từ giúp em có say mê việc học mơn Tốn, để toán học trở nên gần gũi yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê em học sinh THPT Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư học phương trình, bất phương trình tơi tập trung khai thác cách tiếp cận học phương trình, bất phương trình thơng qua mối liên hệ với hàm số Trước tiên, khai thác đề tài khuôn khổ chương trình lớp 10, sau phát triển tiếp đề tài cho khối 11,12 Với việc sử dụng phương pháp tiếp cận này, toán phương trình, bất phương trình giải cách tự nhiên, túy, ngắn gọn đơn giản Đó lí để tơi chọn đề tài: “Tiếp cận phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai ẩn thông qua mối liên hệ với hàm số bậc nhất, bậc hai ẩn” Mục đích nghiên cứu Với tên đề tài “Tiếp cận phương trình, bất phương trình thơng qua mối liên hệ với hàm số” mục tiêu đề tài xác định sau: Một là, giúp học sinh tiếp cận học phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai ẩn thông qua mối liên hệ với hàm số tương ứng, từ giúp em khắc sâu kiến thức học hàm số đồng thời hiểu chất kết đại số trình bày sách giáo khoa Hai là, giúp học sinh biết kết hợp phép biến đổi đại số với ứng dụng hàm số tốn phương trình, bất phương trình có chứa tham số quy dạng bậc nhất, bậc hai ẩn cách linh hoạt, hiệu Ba là, giúp học sinh tránh phải sai lầm thường gặp giải toán liên quan đến phương trình, bất phương trình cần đặt ẩn phụ mà khơng nghĩ đến tìm điều kiện ẩn phụ tìm sai điều kiện, tìm xác điều kiện ẩn phụ lập luận phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ lại khơng xét điều kiện ràng buộc nên dẫn đến kết luận khơng xác Giúp học sinh hiểu việc tìm điều kiện ẩn phụ thực tìm tập giá trị ẩn phụ tập xác định toán cho hàm số Sau tìm điều kiện ẩn phụ yêu cầu đề tốn theo ẩn phải quy yêu cầu tương ứng cho toán theo ẩn phụ điều kiện Đó điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng tập giá trị ẩn phụ Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài chủ yếu sử dụng tính chất hàm số, bảng biến thiên đồ thị hàm số để giải tốn phương trình, bất phương trình quy bậc nhất, bậc hai ẩn, hệ phương trình, hệ bất phương trình, đặc biệt tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình có tham số Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận dạy học, nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo - Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, ôn thi THPT Quốc gia - Nghiên cứu qua kết học tập học sinh tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình - Điều tra thống kê, rút kinh nghiệm theo đợt khảo sát Giới hạn phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu việc giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình chứa tham số cách sử dụng hàm số học sinh lớp 10 II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Cơ sở lí luận vấn đề 1.1 Hàm số bậc a Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số có dạng y  ax  b (a  0) b Sự biến thiên  TXĐ : D = R  Chiều biến thiên  Với a > hàm số đồng biến R  Với a < hàm số nghịch biến R  Bảng biến thiên a>0 x - + + y - a0 b  x 2a - + + + y   4a a 0, xuống a < y y - - O - 4a b 2a O x - b x 2a 4a a>0 a 0: x  H1: Nhắc lại cách tìm tọa độ đỉnh I 2a parabol b   = 0: x     b 2a Đ1: I   ;    2a 4a    < 0: Vô nghiệm GV chứng minh công thức dựa vào đồ thị hàm số Từ đó, gợi mở cho HS mối liên hệ phương trình hàm số GV gợi ý giúp HS đưa kết luận nghiệm phương trình tương ứng với trường hợp đồ thị hàm số 31 HS thảo luận tóm tắt quy trình giải biện luận phương trình: dựa vào đồ thị GV nhận xét yêu cầu HS so sánh kết công thức nghiệm phương trình ax  bx  c  (a ≠ 0) biết lớp GV dùng bảng phụ tóm tắt sơ đồ giải biện luận phương trình ax  bx  c  chứa tham số GV lưu ý học sinh không nhớ sơ đồ giải cách máy móc mà cần suy luận qua đồ thị HĐ 4: Củng cố giải biện luận pt Ví dụ Giải biện luận phương trình: ax  bx  c  có chứa tham số GV khắc sâu lại phương pháp GV yêu cầu HS Giải ví dụ mx   m   x  m   (1) 2) m  0: (1) có  ' = – m  m >   ' < nên (1) vô nghiệm H1: Dựa vào đồ thị, PT ax  bx  c   m =   ' = nên (1) có (1) có nghiệm nào? nghiệm kép x  Đ1: Khi (1) phương trình bậc có nghiệm hay (1) phương trình  m <   ' > nên (1) có hai nghiệm phân biệt bậc hai có nghiệm kép 1) m = 0: x Theo đồ thị ta có điều kiện: a = 0; b ≠ m2 4m x hay a ≠ 0;  = m H2: Khi ax  bx  c  (1) vô x  m    m m nghiệm? Đ2: Khi (1) phương trình bậc hay phương trình bậc hai vô nghiệm Theo đồ thị, (1) vô nghiệm a = 0; b = 0; c ≠ hay a ≠ 0; < 32 GV giao nhiệm vụ cho nhóm giải H2 sách giáo khoa ∙H2 Giải biện luận: ∙H2 Giải biện luận:  x  1 x – mx    (*)  x  1 x – mx    (*) m = 1: (*) có nghiệm x = H3: Số nghiệm phương trình (*) phụ m = 3: (*) có nghiệm kép x = thuộc vào số nghiệm phương trình nào? m   m  : (*) có hai nghiệm Đ3: Dựa vào số nghiệm phương trình x – mx   để biện luận phương trình x = x  m 1 (*) Ví dụ 3: Bằng đồ thị biện GV theo dõi hoạt động HS luận phương trình: GV gọi hs nêu nhận xét số làm x  x   m  (2) theo m nhóm Ta có (2)  x  x   m (3) GV yêu cầu HS giải ví dụ HS thực yêu cầu Số nghiệm (2) số giao điểm (P): y  x  x  đường thẳng (d): y  m m < 1: (1) Vơ nghiệm m = 1: (1) có nghiệm kép m > 1: (1) có hai nghiệm phân biệt Củng cố: Làm tập tổng hợp: Tìm m để bất phương trình m x  m( x  1)  2( x  1)  nghiệm với x CHUYÊN ĐỀ 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Mục tiêu 1.1 Kiến thức - Học sinh cần nắm cách giải biện luận bất phương trình bậc nhất, bậc hai ẩn - Sử dụng đồ thị bảng biến thiên để giải toán liên quan phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai có chứa tham số 1.2 Kĩ - Vận dụng phép biến đổi tương đương phương trình, bất phương trình 33 - Vận dụng kiến thức hàm số để giải tốn tìm tham số thỏa điều kiện cho trước 1.3 Thái độ - Rèn luyện ý thức tự giác, chủ động học tập thông qua việc tự giác hoạt động nhóm, hợp tác với bạn với giáo viên học tập - Bước đầu hình thành niềm đam mê học toán Chuẩn bị giáo viên học sinh Giáo viên: Giáo án Học sinh: Ôn lại kiến thức sử dụng đồ thị để giải biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai ẩn Phương pháp dạy học: Gợi mở vấn đáp Tổ chức hoạt động dạy học 4.1 Ổn định lớp: 4.2 Kiểm tra cũ: lồng vào 4.3 Bài mới: Hoạt động giáo viên học sinh HĐ1: Giải biện luận bất phương trình dạng ax  b  Nội dung Giải biện luận phương trình dạng ax  b  : Xét hàm số y = ax + b GV yêu cầu HS nhận xét mối liên hệ hàm số y = ax + b bất phương trình ax + b > Đ1: nghiệm bất phương trình giá trị x làm cho f(x) > (nghĩa tương ứng với phần đồ thị nằm phía trục hồnh) GV cho HS thảo luận nhóm: dựa đồ thị nêu quy trình giải biện luận bất phương trình ax + b > GV nhận xét điều chỉnh sai sót cho HS GV yêu cầu HS tự đưa cách giải biện luận bất phương trình: ax + b < 0; Nhận xét: Hàm số f  x   ax  b có đồ thị đường thẳng Nên ta có kết sau: * f  x   ax  b  0, x   ;    f      f    * f  x   ax  b  0, x   ;    f      f    34 * f  x   ax  b  0, x   ;    a0   f    * f  x   ax  b  0, x   ;   a0   f    + Các trường hợp khác ta dựa vào đồ thị để suy HĐ2: Củng cố cách giải biện luận Ví dụ 1: Tìm m để x   1;2 bất phương trình ax + b > nghiệm bất phương trình GV khắc sâu lại phương pháp, giao  2m  1 x  3m   nhiệm vụ cho nhóm thực ví dụ Lời giải theo cách khác nhau: Mọi x   1;2 nghiệm bất Nhóm 1: Giải biện luận bất phương trình Từ tìm m để phương trình f  x    đồ thị hàm số y  f  x  đoạn [1;2] nghiệm bất phương trình cho Nhóm 2: Làm ví dụ dựa vào đồ thị nằm trục hoành  hai đầu mút đoạn thẳng nằm trục hàm số f(x) hồnh HS tiến hành thảo luận theo nhóm GV theo dõi hoạt động HS yêu cầu   f ( 1)   5m    m    f (2)  nhóm trình chiếu, giải thích kết HS đại diện nhóm lên bảng trình bày 4  m  Vậy 4  m  giá trị cần tìm Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình m  x  1  x  có tập nghiệm [1; ) Lời giải: Bất phương trình tương đương với  2m   x  m   35 Hàm số f  x    2m   x  m  có đồ thị đường thẳng Do để bất phương trình có tập  f 1  nghiệm [1; )   2m    2m   m     m   m  GV gọi hs nêu nhận xét làm nhóm Vậy m  giá trị cần tìm GV nhận xét kết làm nhóm, phát lời giải hay nhấn mạnh điểm sai hs làm - GV hoàn chỉnh nội dung giải sở làm HS HĐ3: Giải biện luận bất phương Giải biện luận bất phương trình dạng ax2 + bx + c > 0: trình ax  bx  c  GV nhận xét: * Nếu a = Khi bất a Sơ đồ giải biện luận: phương trình trở thành bx  c  , kết chứng minh * Nếu a  Xét đồ thị hàm số bậc hai f  x   ax  bx  c GV nhận xét: nghiệm bất phương trình x làm cho f(x) nhận giá trị dương (nằm phía trục hồnh) Nhận xét: Hàm số f  x   ax  bx  c  a   có đồ GV yêu cầu HS vẽ đồ thị để nhận xét tập nghiệm bất phương trình ax  bx  c  tương ứng với trường hợp đồ thị thị parabol có đỉnh I Nên ta có kết sau: GV nhận xét tổng kết kết với + Bất phương trình ax  bx  c   a   nghiệm  f    x   ;     f      + Bất phương trình ax  bx  c   a   nghiệm 36 với  f    x   ;     f      + Các trường hợp khác ta dựa vào đồ thị để suy HĐ 4: Củng cố giải biện luận pt Ví dụ 1: Tìm m để x   1;1 ax2 +bx+c > có chứa tham số nghiệm bất phương trình GV chia lớp thành nhóm làm ví 3x   m  5 x  m2  2m   (1) dụ cho nhóm lựa chọn Lời giải: Xét hàm số cách: Cách (dựa vào sơ đồ giải 2 biện luận bất phương trình vừa học để f  x   3x   m  5 x  m  2m  Đồ thị hàm số parabol tìm m) có bề lõm hướng lên Do Cách 2: Dựa vào đồ thị để tìm điều kiện x   1;1 nghiệm bất m phương trình (1) HS trình bày so sánh cách giải  f  1  m2  4m  21  rút kinh nghiệm giải toán    f      m    m  3  m    m  3  m   m  1  m  Vậy m  (; 3]  [7; ) giá trị cần tìm Củng cố Củng cố kiến thức tập tổng hợp: Bài 1: Tìm tất giá trị m để bất phương trình với x  (0; ) mx  2m   (2) nghiệm x2  Lời giải: Đặt t  x bất phương trình trở thành 10 x2  Với x  ta có 22  t  37 Bất phương trình (2) nghiệm với x  (0; ) bất phương  1 trình f  t   mt  2m   với t   0;   2  f  0   2m      m    1  1  m  f     m  2m    m  2    Vậy m   giá trị cần tìm Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x  3x   3x  x  3m2  5m Lời giải: Bất phương trình  x  3x   3x  x  3m2  5m Xét hàm số f  x   x  3x   3x  x  2 x  x  x  (;1]  [2;  Ta có f  x     4 x  x  x  1;2  Bảng biến thiên: x  f  x 2   10 8  22  Từ ta có: max f  x   f  2   10 Do bất phương trình cho có nghiệm  10  3m2  5m  3m2  5m  10   Vậy 5  145 5  145 m 6 5  145 5  145 giá trị cần tìm m 6 38 Kết đạt 4.1 Chọn mẫu thực nghiệm Mẫu thực nghiệm chọn ảnh hưởng trực tiếp đến kết thực nghiệm sư phạm Các lớp chọn có sĩ số, điều kiện tổ chức dạy học, có trình độ chất lượng học tập tương đương Như vậy, kích thước chất lượng mẫu thỏa mãn yêu cầu thực nghiệm sư phạm Kết lớp chọn vào nhóm thực nghiệm nhóm đối chứng sau Đối với lớp thực nghiệm sử dụng giảng thiết kế từ chuyên đề này, lớp đối chứng giữ nguyên điều kiện nội dung vốn có Kết thực nghiệm rút từ việc so sánh lớp thực nghiệm lớp đối chứng 4.2 Kết thực nghiệm sư phạm Qua quan sát học lớp thực nghiệm đối chứng tiến hành theo tiến trình dạy học, tơi rút số nhận xét sau: Đối với lớp đối chứng, cách dạy có đổi chưa thấy có chuyển biến rõ rệt Học sinh có trả lời câu hỏi giáo viên đặt làm số tập chưa thể rõ hứng thú, tự giác kết làm chưa cao Đối với lớp thực nghiệm, học sinh tập trung theo dõi trình định hướng giáo viên, em sơi nổi, nhiệt tình việc phát biểu xây dựng Số lượng chất lượng câu trả lời học sinh đưa cao hẳn so với lớp đối chứng Trong trình kiểm tra cũ củng cố vận dụng, học sinh hào hứng, tích cực trả lời câu hỏi giáo viên đưa kết giải tốn liên quan phương trình, bất phương trình quy dạng bậc nhất, bậc hai có chứa tham số tốt 4.3 Đánh giá kết thực nghiệm Bài kiểm tra đánh giá kết thực nghiệm (Thời gian 30 phút) Bài (5 điểm): Tìm m để phương trình x  mx   x  có hai nghiệm phân biệt Bài (5 điểm): Tìm m để bất phương trình x2  1  3m  x  3m   nghiệm với x mà x  39 Đáp án thang điểm kiểm tra Câu Đáp án Thang điểm  x   Phương trình   3x  (4  m) x   (*)  0,5 Phương trình cho có hai nghiệm  (*) có hai nghiệm phân   đồ thị hàm số   f  x   3x  (4  m) x    ;   cắt trục hoành hai   điểm phân biệt biệt lớn   Xét hàm số y  x  (4  m) x    ;   Ta có   b m4   2a + TH1: Nếu m4    m  hàm số đồng biến     ;   nên m  không thỏa mãn yêu cầu toán + TH2: Nếu 0,5 0,5 1,0 1,0 m4    m 1 : Ta có bảng biến thiên x  m4  1 f    2 y   m4 f    0,75 0,75 40   Suy đồ thị hàm số f  x   3x  (4  m) x    ;   cắt    1 m4 trục hoành hai điểm phân biệt  f      f    2   2m   0 m2  8m  28 (1) 12   nên (1)  2m    m  Vì  m  8m  28  0, m  (thỏa mãn m  ) Vậy m  9 giá trị cần tìm Đồ thị hàm số f  x   x  1  3m  x  3m  parabol có đỉnh 1,5  3m    ;  I 4  Bất phương trình f  x   nghiệm với x  2,5  yI   f  2    yI    f  2      f  2   f  2   1,0  9m   0m 3m   Vậy  m  giá trị cần tìm Qua kiểm tra đánh giá, chúng tơi tiến hành thống kê, tính tốn thu bảng số liệu sau: Bảng phân phối tần số điểm số kiểm tra sau thực nghiệm Điểm số Nhóm Số HS 0đ 1đ 2đ 3đ 4đ 5đ 6đ 7đ 8đ 9đ 10đ ĐC 42 0 16 0 TN 42 0 0 10 41 Do ta kết luận: Giả thuyết nêu kiểm chứng, HS nhóm TN có kết làm bai cao so với HS nhóm ĐC Như việc dạy học phương trình, bất phương trình thơng qua mối liên hệ với hàm số học sinh khối 10 gúp học sinh làm tập hiệu III KẾT LUẬN Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 10 số học chuyên đề, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung sử dụng hàm số để tìm tham số tốn phương trình, bất phương trình giúp cho học sinh thấy liên hệ chặt chẽ phương trình, bất phương trình với đồ thị hai hàm số hai vế, học sinh làm có lập luận chặt chẽ tình giải phương trình, bất phương trình Mặc dù Sách giáo khoa giảm tải nhiều đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều khó phát triển từ tập sách giáo khoa, nên để giải tốn cần phải sử dụng linh hoạt kiến thức hàm số Đề tài giới thiệu cách giải tốn liên quan đến phương trình, bất phương trình quy bậc nhất, bậc hai ẩn, đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số việc sử dụng đồ thị bảng biến thiên hàm số Đây phương pháp rõ ràng, áp dụng có hiệu giúp cho việc giải tốn đỡ khó khăn hơn, giáo viên dễ truyền đạt kiến thức mà học sinh dễ tiếp thu học Mặc dù giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, song lực thời gian có hạn nên khơng tránh khỏi sai sót Rất mong nhận đóng góp bạn đồng nghiệp người u thích mơn tốn để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng Giáo dục phổ thông Đề tài tiếp tục phát triển cho khối lớp 11 khối lớp 12 để học sinh hiểu mối quan hệ loại hàm số phương trình, bất phương trình tương ứng giúp em phát huy khả sáng tạo linh hoạt tốn tìm tham số liên quan phương trình, bất phương trình nói riêng 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục & Đào tạo (2006), sách giáo khoa môn Toán 10, NXB Giáo dục Việt Nam Phan Huy Khải, Hàm số, NXB Giáo dục Việt Nam Lê Hồnh Phị, Khảo sát nghiệm phương trình, NXB Giáo dục Việt Nam Phạm Quốc Phong, Chuyên đề nâng cao Đại số THPT, NXB Giáo dục Việt Nam Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ 43 ... chất hàm số, bảng biến thiên đồ thị hàm số để giải toán phương trình, bất phương trình quy bậc nhất, bậc hai ẩn, hệ phương trình, hệ bất phương trình, đặc biệt tốn phương trình, bất phương trình, . .. thông qua mối liên hệ với kiến thức cũ, từ học sinh giải tốn tìm tham số thỏa mãn điều kiện liên quan đến phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình dựa vào đồ thị hàm số. .. tài: ? ?Tiếp cận phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai ẩn thơng qua mối liên hệ với hàm số bậc nhất, bậc hai ẩn” Mục đích nghiên cứu Với tên đề tài ? ?Tiếp cận phương trình, bất phương trình