HSG huyen Nam Dan Toan 9

Tìm vị trí điểm H trên đoạn thẳng BC để diện tích nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó... ABH đạt giá trị lớn.[r]

PHÒNG GD&ĐT NAM ĐÀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TOÁN 9

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (5 điểm ): Cho biểu thức: A =

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tính giá trị của A khi

c, Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên

Bài 2 (4,5 điểm ):

a, Chứng minh thì

b, Giải phương trình

c, Tìm số tự nhiên có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là 1 lập phương

Bài 3 (4 điểm ):

a, Tìm các số thực x để và đồng thời là các số nguyên

b, Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

Bài 4 (6,5 điểm ):

1, Cho ABC vuông tại A, có trung tuyến AM, đường cao AH Trên cùng 1

nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ 2 tia Bx, Cy cùng vuông góc với BC Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt Bx và Cy lần lượt tại P và Q Chứng minh:

a, AP = BP và AQ = CQ

b, PC đi qua trung điểm của AH

c, Khi BC cố định, BC = 2a, điểm A chuyển động sao cho góc BAC bằng 90 Tìm vị trí điểm H trên đoạn thẳng BC để diện tích ABH đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó

2, Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của 1 tam giác nhỏ hơn 1 thì diện

tích tam giác nhỏ hơn

ĐỀ CHÍNH THỨC

Họ và tên thí sinh SBD

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 NĂM HỌC: 2018-2019 THỨ

ĐIỂ M

Bài 1

(5đ)

a (2đ) ĐKXĐ: ,

Rút gọn được:

0,5đ 1,5đ

b

(1,5đ)

thỏa mãn ĐK Thay vào A tính được

0,5đ 1đ

c

(1,5đ)



Mà

 Thay A vào (1) tìm được

0,5đ 0,5đ 0,5đ

Bài 2

(4,5đ)

a

(1,5đ)



 Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau

0,5đ 0,5đ 0,5đ

b

(1,5đ)

 ĐK Chuyển vế, 2 vế không âm bình phương

ta có



 Để PT có nghiệm thì

 Đối chiếu ĐK => x = 2 thỏa mãn bài toán

0,5đ

0,5đ 0,5đ

c

(1,5đ)

 Gọi số chính phương cần tìm

Vì vừa là số chính phương vừa là 1 lập

 Vì => y là số chính phương

 10 và y chính phương

 Tìm được y=16 => = 4096

0,5đ 0,5đ 0,5đ

Bài 3 a (2đ)

Từ (1) =>

Thay vào (2) =>

 Biến đổi đưa về

Vì => => m = n

=>

 Với m = n =4 =>

 m = n =

0,5đ

0,5đ 0,5đ

b (2đ)

 Vì a,b,c là các số thực dương và a + b + c = 1



 Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

+ 3

( Do a + b + c = 1 )

 =>

0,5đ 1đ

0,5đ

Bài 4

(6,5đ) 0,5đ

1a

(2đ)

 Do ABC vuông tại A nên MA=MB=MC

 Từ đó các cặp tam giác vuông sau bằng nhau:

(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

 => PA=PB; QA=QC

0,5đ 1đ 0,5đ 1b

(1,5đ)

Gọi giao điểm của PC và AH là I

 Vì IA//QC và QA=QC nên ta có:

 Mặt khác ta có:

( Vì AI//QC ); ( Vì IH//PB)

 Từ đó ta có: , suy ra IH=IA (vì PA=PB)

0,5đ 0,5đ 0,5đ

(1,5đ)

 Ta có



 Lại có vuông tại A có AH là đường cao

 ( Hệ thức trong tam giác vuông )

 =>



 Suy ra

 Giá trị lớn nhất của khi BH = 3HC hay

0,25đ 0,25đ 0,5đ

0,25đ

0,25đ

2,

(1đ)

 Vẽ tam giác ABC đường cao BH

 Gọi A là góc nhỏ nhất của =>

 Ta có

 Do đó

1đ

Chú ý: Thí sinh làm bài theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.