HƯỚNG DẪN CHẤM THI ÔLYM PIC HUYỆN, MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2007-2008 Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (2 điểm) a) a 2 – a – 6 = a 2 + 2a -3a – 6 = a(a + 2) -3( a + 2) = ( a + 2)( a – 3) (2đ) b) a 4 + 4 = a 4 + 4a 2 + 4 – 4a 2 = (a 2 + 2) 2 - 4a 2 = (a 2 + 2 + 2a)( a 2 + 2 - 2a) (2đ) Bài 2. a) Tìm đa thức bậc ba f(x), biết: f(x) + f(x + 1) = 4x 3 + 14x 2 + 16x + 17 (2 điểm) Giải: Đa thức phải tìm có dạng ax 3 + bx 2 + cx + d (a, b, c, d ∈ R) Ta có: f(x) + f(x + 1) = ax 3 + bx 2 + cx + d + a(x + 1) 3 + b(x + 1) 2 + c(x + 1) + d = 2ax 3 +(3a + 2b)x 2 + (3a + 2b + 2c)x + a + b + c + 2d = 4x 3 + 14x 2 + 16x + 17 Đồng nhất hai vế ta có: 2a = 4 => a = 2 3a + 2b = 14 => b = 4 3a + 2b + 2c =16 => c = 1 a + b + c + 2d = 17 => d = 5. Vậy đa thức phải tìm là 2x 3 + 4x 2 + x + 5 b) Tìm n ∈ N * sao cho n 2 + n + 13 là số chính phương. (2 điểm) Giải: Đặt n 2 + n + 13 = y 2 (y ∈ N * ) => 4n 2 + 4n + 52 = 4y 2 <=> (2y + 2n + 1) (2y – 2n - 1) = 51 <=> 2y 2n 1 17 n 3 2y 2n 1 3 y 5 2y 2n 1 51 n 12 2y 2n 1 1 y 5 + + = = ⇒ − − = = + + = = ⇒ − − = = Vậy n = 3, hoặc n = 12 Bài 3 . Cho f(x) = 100 100 10 + x x , tính tổng: S = f( 1 2009 ) + f( 2 2009 ) + f( 3 2009 ) + … + f( 2008 2009 ) (3,5 điểm) Giải: Nếu x 1 + x 2 = 1 thì: f(x 1 ) + f(x 2 ) = 1 1 100 100 10+ x x + 2 2 100 100 10 + x x = 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 100 10.100 100 10.100 100 10.100 10.100 100 + + + + + + + + + x x x x x x x x x x = 1 2 1 2 100 10.100 100 10.100 1 100 10.100 10.100 100 + + + = + + + x x x x . Do đó: f( 1 2009 ) + f( 2008 2009 ) = 1; f( 2 2009 ) + f( 2007 2009 ) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f( 1004 2009 ) + f( 1005 2009 ) = 1. => S = 1004 Bài 4. a) Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức: P = 2 4 2 x x x 1 + + (1.5 điểm) Giải: Ta thấy x = 0 thì P = 0 giá trị này không phải là GTLN của P, P đạt GTLN với x ≠ 0 P = 2 2 1 1 (x ) 1 x + + đạt GTLN <=> 2 2 1 x x + nhỏ nhất <=> 2 2 1 x x + = 2<=> x = ± 1 Vậy max P = 1 3 <=> x = ± 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 2 ( 18 32)( 9 8) + + + + x x x x x (3 điểm) Giải: A = 2 ( 2)( 16)( 8)( 1)+ + + +x x x x x = 2 2 2 ( 10 16)( 17 16)+ + + +x x x x x = = 16 16 ( x 10 )( x 17 ) x x + + + + Vì 16 x 8 x + + ≥ Nên A ≥ (10 + 8)(17 + 8) = 450 Dấu bằng xẩy ra <=> x 4= <=> x = ± 4 Bài 5. Cho hình vuông ABCD, M và N theo thứ tự là trung điểm của của AB và AD. MD cắt AC tại P, NC cắt BD tại Q, MD và NC cắt nhau tại E, PQ và BE cắt nhau tại F. Chứng minh: a) BC = BE (3điểm) b) FP = FE (3điểm) Giải: a) Ta có: ∆ AMD = ∆ DNC vì AD = DC (gt) AM = DN = 1/2AD, · · MAD NDC= = 1v => · · EDN END+ =1v => · NED = 1v. Đường thẳng DM cắt đường thẳng CB tại K. Ta có MB là đường trung bình của ∆ DCK => BK = BC, EB là trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông EKC => BC = BE (Đpcm) b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có P là trọng tâm ∆ ABD, Q là trọng tâm ∆ DCA => OP OQ 1 OA OD 3 = = => PQ//AD//KC => FP FQ E KB BC EB = = => FP = FE (Đpcm) A B C D K M N P Q O F E . HƯỚNG DẪN CHẤM THI ÔLYM PIC HUYỆN, MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2007-2008 Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:. ± 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 2 ( 18 32)( 9 8) + + + + x x x x x (3 điểm) Giải: A = 2 ( 2)( 16)( 8)( 1)+ + + +x x x x x = 2 2 2 ( 10 16)( 17 16)+ + + +x x x x x = . + +x x x x x = = 16 16 ( x 10 )( x 17 ) x x + + + + Vì 16 x 8 x + + ≥ Nên A ≥ (10 + 8)( 17 + 8) = 450 Dấu bằng xẩy ra <=> x 4= <=> x = ± 4 Bài 5. Cho hình vuông ABCD,