Đang tải... (xem toàn văn)
Trên cạnh AB, CD lần lợt lấy điểm M, N sao cho MN vu«ng gãc víi AE... Ta chøng minh 9a+b..[r]
(1)1 §Ò thi häc sinh giái huyÖn khèi N¨m häc 2010 – 2011 M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u1: Cho biÓu thøc: P = √ x : √ x −3 + √ x −2 − − x (1 − x −3 x −9 ) ( 2− √ x 3+ √ x x + √ x −6 ) a) T×m ®iÒu kiÖn vµ rót gän P b) Tìm x để P > C©u2: a/ Cho c¸c sè d¬ng a,b,c vµ a+b+c = Chøng minh a+b ≥ 16 abc b/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B a+b ¿ ¿ a+b ¿ = a2 +¿ b2 +¿ a2 ¿ C©u3: Cho a = √6+ √2 vµ b = √6 − √ TÝnh S = 1 + a5 b5 T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña: + =z x y C©u4: Cho tø gi¸c ABCD cã AB = √ , BC = 3, CD = √ , DA = √ vµ ∠ A = 600 TÝnh c¸c gãc cßn l¹i cña tø gi¸c ABCD ? C©u5: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB = AD Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E Tia AE cắt đờng thẳng DC F Trên cạnh AB, CD lần lợt lấy điểm M, N cho MN vu«ng gãc víi AE §êng ph©n gi¸c cña ∠ DAE c¾t CD t¹i P Chøng minh r»ng: a) MN = BE + DP b) 1 = 2+ AB AE AF Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái huyÖn khèi N¨m häc 2010 – 2100 M«n To¸n (2) C©u1: a) Tìm đợc điều kiện xác định P là: x > 0, x Qui đồng và rút gọn đợc: P = √x− b) P > => > => √x − - > => √x − 4, x Tæng ®iÓm ®iÓm ®iÓm − √x √ x −2 >0 ®iÓm ®iÓm Giải và kết hợp với ĐK đợc kq: < x < 25 và x th× P > (NÕu quªn kh«ng kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn th× trõ ®iÓm ë c©u b) C©u2: Tæng: ® a/ (2®) Cho c¸c sè d¬ng a,b,c vµ a+b+c = Chøng minh a+b ≥ 16 (1) abc (1) ⇔ 9(a+b) 16 abc Ta cã a+b ¿ ≥ 16 abc a+b ¿ ≥ ab ⇒ c ¿ ¿ Ta chøng minh 9(a+b) ®iÓm 4c(a+b)2 c − ¿2 ≥0 ⇔ ≥ c (a+b)⇔ ≥ c (3 −c )⇔ c −12 c+ ≥0 ⇔ ¿ VËy 9(a+b) 16 abc Hay a+b ≥ 16 abc b/ (2®) B Ta cã (a+b)2 luôn đúng a+b ¿ ¿ a+b ¿ = a2 +¿ b2 +¿ a2 ¿ ®iÓm 2(a2+b2) a2 + b2 a b B = a2 + b2 2 2 ¿+ b +2(a +b ) a + 2(a +b ) ¿ a2 +2 b2 2 2 2 1 a +2 a +3 b b +3 a + 2b + B+2 = (a2+b2)( ) + 2 2 2 a +3 b a +2 b2 2a +3b a +2 b 1 + = [ ( a2 +3 b2 ) + ( a2 +2 b2 ) ] 2 a +3 b a +2 b 12 √ ( a2 +3 b2 ) ( a2 +2 b2 ) = 2 2 ( a + b ) ( a +2 b ) 12 − 2= VËy B DÊu “=” x¶y a=b ⇒ B 5 2 ( ) √ C©u3 Tæng: 4® Theo bµi ta cã : a + b = √ vµ ab = Mµ: S = 1 + = a5 b5 a5 +b5 a5b5 = a5 + b5 (v× ab = 1) MÆt kh¸c: a5 + b5 = (a + b)5 – 5(a3 + b3) -10a2b2(a + b) Biến đổi và thay: a + b = √ và ab = vào đợc S = 11 √ 2 Ta cã: x + y = xyz V× vai trß cña x, y nh nªn gi¶ sö : x y => xy z = x + y y + y = 2y => xz V× x, z nguyªn d¬ng nªn cã thÕ ®iÓm (3) xÈy ra: x = 1, z = hoÆc x = 1, z = hoÆc x = 2, z = Từ đó lập luận ta có nghiệm (x, y, z) = (2, 2, 1); (1, 1, 2) ®iÓm ®iÓm Tæng: 2,5 ® C©u4: H×nh vÏ: H D E 3 2 A 3 B C Trªn c¹nh AD lÊy ®iÓm E cho AE = √ => ED = √ Ta có: Δ ABE cân A có ∠ A = 600 => Δ ABE KÎ DH BE => Δ EDH vu«ng ë H cã ED = √ vµ ∠ E1= ∠ E2 = 60 => ∠ D1 = 300 => EH = ED/2 = √ => BH = √ => Tø gi¸c BCDH lµ h×nh ch÷ nhËt Từ đó tính đợc: ∠ C = 900, ∠ D =600, ∠ B = 1500 C©u5 1®iÓm 1,5®iÓm Tæng: 4,5 ® H×nh vÏ: 0,5 ®iÓm a) Qua A kÎ vu«ng gãc víi AE c¾t tia CD t¹i Q Vì ∠ A2 = ∠ A3 nên ∠ A1 = ∠ A4 => Δ ADQ đồng dạng với Δ ABE (g.g) => AQ =DQ = AD = (1) Mµ MN // AQ => MN = AQ AE BE AB Ta l¹i cã: ∠ A34 = ∠ A12 = ∠ APQ => Δ APQ c©n ë Q => AQ = QP = MN (2) Tõ (1), (2) => MN = QP = QD + DP = BE + DP (§PCM) b) Theo §L cho Δ AQF vu«ng ë A cã AD QF ta đợc: 2,5 ®iÓm (4) 1 = + 2 AD AQ AF mµ AD = AB, AQ = AE => 1 = 2+ 2 AB AE AF 1,5 ®iÓm (5)