ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ

ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ

I Ứng dụng ma trận nghịch đảo Giải tốn thực tế VD1: Lớp điện có top 10 bạn điểm kiểm tra cao bao gồm điểm 8, 9, 10 Biết tổng số điểm 10 bạn 87 tổng số bạn có điểm 10 tổng số bạn cso điểm Hỏi có bạn điểm 8, bạn điểm 9, bạn điểm 10 ? Giải: Gọi số bạn 10 điểm a Gọi số bạn điểm b Gọi số bạn điểm c Theo đề ta có hệ phương trình: 10𝑎 + { 𝑎 + 𝑎 + 9𝑏 + 𝑏 + 𝑏 = 8𝑐 = 𝑐 = 𝑐 87 10 (*) Từ (*) ta có: 10 A=[ 1 1 1] −1 𝑎 X=[𝑏 ] 𝑐 ; ; 87 B=[10]  (*) trở thành: A.X=B (1) Det(A)= -2 ≠ => tồn 𝐴−1 Ta có: 𝑎11 𝐴 = [𝑎12 𝑎13 ∗ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 ] 𝑎33 𝑎11 = (−1)1+1 Det(𝑀11 )= | 1 | = -2 −1 𝑎12 = (−1)1+2 Det(𝑀12 )=− | 1 𝑎13 = (−1)1+3 Det(𝑀13 )= | 1 |=2 −1 |=0 Tương tự ta tính : 𝑎21 = 17; 𝑎31 = 𝑎22 = -18; 𝑎32 = -2 𝑎23 = -1; 𝑎33 = −2  𝐴∗ =[ 17 −18 −1 −2] Ta có: 𝐴−1 = −1 𝐴 det (𝐴) 𝐴∗ −2 = [ −2  17 −18 −1 𝐴−1 =[−1 −2] −8,5 0,5 −0,5 ] −0,5 Nhân 𝐴−1 vào bên trái hai vế phương trình (1) ta được:  𝐴−1 A X= 𝐴−1 B −1  X=𝐴 𝐵 =[−1 −8,5 0,5 −0,5 87 ] [10] = [3] −0,5 a=  {b = c= Kết luận: có bạn 10 điểm, bạn điểm, bạn điểm VD2: nhà nông chăn nuôi tổng 100 gia súc bao gồm loại : lợn, gà, vịt Biết tổng số chân loại 220, tổng số gà gấp lần tổng số vịt Hỏi loại có ? Giải: Gọi số lợn x, số gà y, số vịt z Theo đề ta có hệ phương trình: 𝑥 + {4𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 2𝑦 + 2𝑧 𝑧 = 2𝑧 = 100 220 (*) Từ (*) ta có: A=[4 𝑥 X=[𝑦]; 𝑧 ]; −2 100 B=[220]  (*) trở thành: A.X=B (1) Det(A)= ≠ => tồn 𝐴−1 Ta có: 𝑎11 𝐴 = [𝑎12 𝑎13 ∗ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 ] 𝑎33 𝑎11 = (−1)1+1 Det(𝑀11 )= | 𝑎12 = (−1)1+2 Det(𝑀12 )=− | 𝑎13 = (−1)1+3 Det(𝑀13 )= | Tương tự ta tính : 𝑎21 = ; 𝑎31 = | = -6 −2 |=8 −2 |=4 𝑎22 = -2 ; 𝑎32 = 𝑎23 = -1 ; 𝑎33 = -2 −6  𝐴∗ =[ −2 −1 2] −2 Ta có: 𝐴−1 = det (𝐴) 𝐴∗ −1 𝐴 −6 = [ −1 𝐴−1 = [ −2 −1 2] −2 −1 3 −1 −1 ] Nhân 𝐴−1 vào bên trái hai vế phương trình (1) ta được:  𝐴−1 A X= 𝐴−1 B −1 −1  X=𝐴 𝐵= [ −1 3 −1 −1 ] 100 10 [220]= [60] 30 𝑥 = 10  {𝑦 = 60 𝑧 = 30 Kết luận: số lợn 10; số gà 60; số vịt 30 Áp dụng mã hóa thơng tin II Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính Giải tốn tính cường độ dịng điện mạch điện chiều VD1:Cho mạch điện hình vẽ: I4 A R2 Cho E = 20V, r= 1Ω, R1=R2=5Ω, R3=R4=3Ω, I3 R5=6Ω Bỏ qua điện trở dây dẫn, tính cường độ dòng điện chạy qua điện trở R1 I1 Giải: R5 Áp dụng định luật Kirckoff I nút A có: I1 = I + I (1) Áp dụng định luật Kirckoff II ta có: { 𝐼1 𝑅1 + 𝐼1 𝑅2 + 𝐼3 𝑅3 + 𝐼1 𝑟 − 𝐸 = 𝐼1 𝑅1 + 𝐼1 𝑅2 + 𝐼4 𝑅4 + 𝐼4 𝑅5 + 𝐼1 𝑟 − 𝐸 = R4 R3 (2) Từ (1), (2) ta có hệ: 𝐼1 − 𝐼3 − 𝐼4 = { 𝐼1 (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑟) + 𝐼3 𝑅3 = 𝐸 𝐼1 (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑟) + 𝐼4 (𝑅4 + 𝑅5 ) = 𝐸 𝐼1 − 𝐼3 − 𝐼4 = 𝐼1 − 𝐼3 − 𝐼4 = ↔ { 𝐼1 (5 + + 1) + 3𝐼3 = 20 ↔ { 11𝐼1 + 3𝐼3 = 20 11𝐼1 + 9𝐼4 = 20 𝐼1 (5 + + 1) + 𝐼4 (3 + 6) = 20 (*) Chuyển thành ma trận ta có: +𝑑2 →𝑑2 −11𝑑 −1 −11𝑑1 +𝑑3 →𝑑3 [ 14 20] → 20 11 −1 −1 −11 𝑑2 +𝑑3 →𝑑3 14 11 14 [ → 159 0 14 −1 −1 [ 11 11 −1 11 20 20 30] 20] 20 Hệ (*) chuyển thành: 20 𝐼1 − 𝐼3 − 𝐼4 = 53 14𝐼3 + 11𝐼4 = 20 60 { ↔ 𝐼3 = 159 30 53 𝐼4 = 80 14 { 𝐼4 = 53 𝐼1 = 80 80 Vậy cường độ dòng điện qua R1,R2, R3, R4, R5 ; 53 53 VD2:Cho mạch điện hình vẽ: ; E1, r2 A 60 20 20 ; ; 53 53 53 R1 I1 B Cho E1 =E2 =16V, r1 =r2 =1Ω, R1 =3Ω, R2 =6Ω, R3 =4Ω, R4 =5Ω, R5 =6Ω Dây dẫn có A1 điện trở khơng đáng kể Tính số cảu R4 Ampe kế A1, A2, A3 R2 I5 A2 R5 D A3 C Giải: Áp dụng định luật Kirekhoff I cho điểm B có: I1 + I3 = I5 (1) Áp dụng định luật Kirekhoff II có: { 𝐼1 𝑅1 + 𝐼1 𝑟1 − 𝐸1 + 𝐼1 𝑅2 − 𝐼3 𝑅3 − 𝐼3 𝑟2 + 𝐸2 = (2) 𝐼3 𝑟2 − 𝐸2 + 𝐼3 𝑅3 + 𝐼5 𝑅5 + 𝐼5 𝑅4 = Từ (1),(2) có hệ phương trình: 𝐼1 𝑅1 + 𝐼1 𝑟1 − 𝐸1 + 𝐼1 𝑅2 − 𝐼3 𝑅3 − 𝐼3 𝑟2 + 𝐸2 = 𝐼3 𝑟2 − 𝐸2 + 𝐼3 𝑅3 + 𝐼5 𝑅5 + 𝐼5 𝑅4 = { 𝐼1 + I3 = 𝐼5 Giải hệ phương trình nhiều ẩn tốn VD1: Cân phương trình hóa học sau: CO2 + H2O → C6H12O6 + O2 Giải:Đặt phương trình hóa học có dạng sau: xCO2 + yH2O → zC6H12O6 + tO2 (*) Bảo tồn ngun tố C,H,O ta có 𝐶 → 𝑂 → 𝐻 → x=6z ↔ x-6x=0 (1) 2x+y=6z+2t ↔ 2x-y-6z-2t=0 (2) 2y=12z ↔ y-6z =0 (3) Từ (1),(2),(3) có hệ phương trình: x − 6x = {2x − y − 6z − 2t = y − 6z = Đưa hệ ma trận: 𝐴̅ = [2 0 1 −6 0 −6 −2 0] −6 0 (I) −2𝑑1 +𝑑2 →𝑑2 → −6 [0 −6 0 −𝑑2+𝑑3→𝑑3 [0 −2 0]→ 0 0 −6 −2 −12 0] Hệ phương trình (I) chuyển thành: 𝑥 − 6𝑧 = { 𝑦 + 6𝑧 = −12𝑧 + 2𝑡 = (II) (hệ phương trình bậc thang) Đặt t=α, với 𝛼 ∈ 𝑅 𝑥= 𝛼 𝑥 − 6𝑧 = 𝑦 = 𝛼 (𝐼𝐼) ↔ {𝑦 + 6𝑧 = 2𝛼 ↔ { α 𝑧= −12 = 2𝛼 α Vậy tập nghiệm pt (α, ; 𝛼 ∈ 𝑅) Thay nghiệm vào vào (*) có phương trình hóa học: 𝛂 α CO2 + α H2O → C6H12O6 + α O2 𝟔 Rút dạng tối giản α=1 Phương trình cân cần tìm là: 𝟏 CO2 + H2O → C6H12O6 + O2 𝟔 VD2: Để tìm nồng độ cồn máu người ta lấy mẫu máu mẫu nước tiểu người nghi ngờ vi phạm, điều không khả thi triển khai thực tế mà ngược lại cịn có tính chất xâm phạm thể Chính mà người ta tìm phương pháp xác định nồng độ cồn máu qua thở, nhờ thiết bị tân tiến cho kết Cồn xuất thở người uống nó, điều xảy uống bia rượu vào miệng xuống dày, ruột hấp thụ vào máu Cồn không bị phân hủy bị hấp thụ, không thay đổi mặt hóa học máu, máu di chuyển qua phổi phần cồn bị thẩm thấu qua màng túi khí phổi, chất cồn dễ bay nên hịa vào phần khơng khí túi khí phổi, mối liên hệ mà người ta suy lượng cồn có máu Thay phải kiểm tra máu cảnh sát kiểm tra thở người nghi ngờ uống rượu bia, đưa định có giữ phương tiện lại hay khơng để đảm bảo an tồn Tỉ lệ cồn có máu so với thở khoảng 2100:1, nghĩa 2100 ml thở có cồn tương đương có ml cồn máu Phương trình hóa học để kiểm tra nông độ cồn: C2H5OH + Cr3 → Cr2O3 + CO2 + H20 Tuy nhiên phương trình chưa cân anh/chị cân phương trình Giải: Đặt phương trình có dạng sau: aC2H5OH + bCr3 → cCr2O3 + dCO2 + eH20 Bảo tồn ngun tố C,H,O,Cr ta có: 𝐶 → 𝐻 → 𝑂 → 𝐶𝑟 → 2a = d (1) 6a = 2e (2) a + 3b = 3c + 2d +e (3) b = 2c (4) Từ (1), (2), (3), (4) ta có hệ phương trình: 𝑎 + 3𝑏 − 3𝑐 − 2𝑑2𝑒 = 2𝑎 − 𝑑 = { 3𝑎 − 𝑒 = 𝑏 − 2𝑐 = 𝑜 (5) Ta có: −3 𝐴̅ = [ 0 0 −2 −2 −1 −2𝑑1 +𝑑2→𝑑2 1 +𝑑3 →𝑑3 −1 0 ] −3𝑑 [ → −1 0 0 0 −3 −6 −9 −2 −2 −1 ] 0 1 𝑑 2+𝑑4 →𝑑4 −3 𝑑 +𝑑 →𝑑3 2 → −3 −6 −2 −1 −3 0 −6 𝑑3 ↔𝑑4 −1 → 0 −1 1 0 0 ] [ 0 0 −1 [ −2 3 −1 Hệ phương trình (5) trở thành: 𝑎 + 3𝑏 − 3𝑐 − 2𝑑 − 𝑒 = −6𝑏 + 6𝑐 + 3𝑑 + 2𝑒 = 1 −𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 3 𝑑−𝑒 =0 { Đặt e=α, 𝛼 ∈ 𝑅 𝛼 𝑎= 𝑎 + 3𝑏 − 3𝑐 − 2𝑑 = 𝛼 −6𝑏 + 6𝑐 + 3𝑑 = −2𝛼 4𝛼 𝑏= 𝛼 −𝑐 + 𝑑 = → 2𝛼 𝑐= 3 𝑑 = 𝛼 2𝛼 { {𝑑 = Vậy tập nghiệm(α, 2𝛼 , 4𝛼 𝛼 , ;𝛼 ∈ 𝑅) Thay nghiệm vài (*) ta có phương trình hóa học sau: 𝛼 C2H5OH + 4𝛼 Cr3 → 2𝛼 Cr2O3 + 2𝛼 CO2 + α H20 Rút dạng tối giản α=3 Phương trình cân cần tìm là: C2H5OH + 4Cr3 → 2Cr2O3 + 2CO2 + 3H20 ] ... (1),(2),(3) có hệ phương trình: x − 6x = {2x − y − 6z − 2t = y − 6z = Đưa hệ ma trận: