Định thức và ứng dụng giải hệ phương trình tuyến tính

Sử dụng thuật toán Cramer

1.1 MA TRẬN-ĐỊNH THỨC 5

1.1.1 MA TRẬN 5

1.1.2 ĐỊNH THỨC 6

1.2.HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 11

1.2.1.DẠNG TỔNG QUÁT CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 11

1.2.2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 13

1.2.3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 16

CHƯƠNG 2: THUẬT TOÁN-GIẢI THUẬT 22

2.1 ĐỊNH THỨC MA TRẬN 22

2.1.1 THUẬT TOÁN 22

2.1.2 GIẢI THUẬT 23

2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 24

2.2.1 THUẬT TOÁN CRAMER 24

2.2.2 GIẢI THUẬT 24

CHƯƠNG 3: CHƯƠNG TRÌNH 26

3.1 TÍNH ĐỊNH THỨC VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 26

3.2 HÌNH ẢNH 35

CHƯƠNG 1: MA TRẬN–ĐỊNH THỨC VÀ HỆ

PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH1.1 MA TRẬN-ĐỊNH THỨC

 A11, a22, ,amn được gọi là các phần tử chéo

đường chéo chính đều bằng 0, tức là aij = 0 nếu i > j

đường chéo chính đều bằng 0, , tức là aij = 0 nếu i < j

 Ma trận chéo: là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử nằm ngoài đườngchéo đều bằng 0, tức là aij = 0 nếu i ≠ j.

Từ ma trận A, bỏ đi hàng i và cột j ta thu được ma trận vuông cấp n-1 Ta ký hiệu nó là Mij và gọi nó là ma trận con tương ứng với phần tử aij.

Ví d :ụ:

b Các tính chất của định thức

tức là : det(At) = det(A)

Tính chất 2: Đổi chỗ 2 hàng( hay 2 cột ) của một định thức, ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu.

Tính chất 3: Một định thức có 2 hàng (hay 2 cột ) như nhau thì bằng 0

Tính chất 4:

Det(A) = (-1)i+1ai1.det(Mi1) +(-1)i+2ai2.det(Mi2) + + (-1)i+nain.det(Min)

Det(A) = (-1)1+ja1j.det(M1j) +(-1)2+ja2j.det(M2j) + + (-1)n+janj.det(Mnj)

Tính chất 5: Một định thức có một hàng( hay một cột) toàn là số không thì bằng không

Tính chất 6: Khi ta nhân các phần tử của một hàng( hay một cột) với cùng một sốthực k thì ta được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k

Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có một thức số chung, ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc định thức

Tính chất 10: Khi ta cộng bội k của hàng khác ( hay bội k của cột này vào cột khác ) thì ta được một định thức mới bằng một định thức cũ

Tính chất 11: Định thức của ma trận tam giác trên bằng tích các phần tử chéo

Ta sử dụng các tính chất của định thức để biến đổi một định thức về dạng đơngiản như: định thức ma trận tam giác trên, định thức ma trận tam giác dưới

Các phép biến đổi về hàng ma ta hay sử dụng đó là:

- Nhân 1 hàng với một số thực k ≠0(tính chất 6)

- Đổi chỗ 2 hàng(tính chất 2)

- Cộng k lần hàng này vào hàng khác(tính chất 10)

Ví dụ:Cho một ma trận cấp 4 Tính định thức bằng cách biến đổi ma trận về dạng

ma trận tam giác trên

Lấy giá tri trụ là p2= a’22 Ta chia các phần tử của hàng thứ 2 cho p2 thì địnhthức sẽ là: D/(p1p2) và mà phần còn lại là:

Lấy hàng 1 trừ đi hàng 2 đã nhân với a’12, lấy hàng 3 trừ đi hàng 2 đã nhân vớia’32, và lấy hàng 4 trừ đi hàng 2 đã nhân với a’42, ta có định thức vẫn là D/(p1p2) và

1.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

1.2.1 DẠNG TỔNG QUÁT CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Đó là một hệ gồm m phương trình đại số bậc nhất đối với n ẩn:

o Nếu m = n : Hệ (I) trở thành hệ vuông với n phương trình n ẩn

o Nếu bj =0, ∀ i thì hệ (I) gọi là hệ thuần nhất

Hệ này được viết dưới dạng ma trận là : A.x=b trong đó: A là ma trận được lập

từ các hệ số: A= (aij) mxn

A=

b là vecto cột các số hạng tự do(hay gọi là ma trận vế phải):

 không thuần nhất nếu có ít nhất một bi ≠ 0.

tương thích nếu hệ có ít nhất một nghiệm, tức là tồn tại một bộ giá trịcủa x1 , x 2 , , x n mà khi thay vào sẽ có một đồng nhất thức

Muốn giải hệ phương trình đại số tuyến tính thì trước hết phải xác định xem hệ

đã cho tương thích hay không tương thích Nếu là hệ tương thích thì lại phải xem hệ là

9

xác định hay bất định Nếu hệ phương trình là xác định thì ta đi tìm nghiệm duy nhấtcủa nó.

Ví dụ:

Hệ phương trình 2 ẩn:

Hệ 3 phương trình 3 ẩn:

Hệ 2 phương trình 3 ẩn:

1.2.2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính có thể xảy ra hai trường hợp: m = n

Khi đó sẽ tồn tại ma trận nghịch đảo A-1.

Định lí (Cramer): Hệ Cramer có nghiệm duy nhất tính bằng công thức:

i=1,2, n

Chú ý: Từ định lý trên, ta có 2 phương pháp giải hệ phương trình như sau:

với mỗi giá trị của c ta có một nghiệm tương ứng.

1.2.3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH.

Xét hệ phương trình: (II)

Ta lập ma trận mở rông bằng cách từ ma trận A, ta thêm vào vế phải của ma trận A bởi cột vế phải (ma trận vế phải b) ,tức là:

= [A|b]=

Phương pháp khử Gauss: ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp về, đó là:

phương trình với số thực k ≠ 0 )

phương trình khác ) để biến đổi ma trận mở rộng sao cho ma trận A có trong ma trận về dạng của ma trận tam giác trên

biến đổi, rồi giải hệ phương trình bằng cách giải ngược từ dưới lên

Ví dụ:

Giải:

Quá trình thuận

Bước 1: - Giả sử a11 ≠ 0, chia dòng 1 cho a11 (a11 là phần tử trụ) Hệ đã cho

tương đương với:

Với

Khử x1 trong phương trình thứ i=2,3,4,…, n bằng cách:

Thay dòng i bởi dòng i – dòng 1 * ai1 Nghĩa là:

a(1)ij = aij - a(1)1j *ai1 với j=1,n

nn n

n n

n n n

b

b b b

x

x x x

a a

a

a

a a

a

a

a a

a

a

a a

) 1 ( 1

3 2 1

3 2 1

3 33

32 31

2 23

22 21

) 1 ( 1 )

1 ( 13 ) 1 ( 12

3

2 2

2 2

2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

) 1 ( 3

) 1 ( 2

) 1 ( 1

3 2 1

) 1 ( )

1 ( 3 ) 1

(

2

) 1 ( 3 )

1 ( 33 ) 1

(

32

) 1 ( 2 )

1 ( 23 ) 1

(

22

) 1 ( 1 )

1 ( 13 ) 1

nn n

n

n n n

b

b b b

x

x x x

a a

a

a a

a

a a

a

a a

2

2 2

2

2 2

2

3 2

3 2

3 2

1

x x

x x

x x

x

11 1 ) 1 ( 1 11 1 ) 1 (

1 a /a , b b /a

Bước 2: Giả sử a(1)22¹0, chia dòng 2 cho a(1)22 Hệ đã cho tương đượng với:

Hệ đã cho tương đương với:

Tiếp tục thực hiện như trên cho đến khi đưa được ma trận hệ số về ma trận tam

giác trên Hệ đã cho tương đương với:

) 1 ( 3

) 2 ( 2

) 1 ( 1

3 2 1

) 1 ( )

1 ( 3 )

1

(

2

) 1 ( 3 )

1 ( 33 )

1

(

32

) 2 ( 2 )

2 ( 23

) 1 ( 1 )

1 ( 13 )

nn n

n

n n n

b

b b b

x

x x x

a a

a

a a

a

a a

a a

2

3 3

2 2

2

3 2

3 2

3 2

1

x x

x x

x x

) 2 ( 2

) 1 ( 1

3 2 1

) 3 ( 3

) 2 ( 2 )

2 ( 23

) 1 ( 1 )

1 ( 13 ) 1

b b b x

x x a

a a

a a

3 3

2 2

2

3 3 2

3 2

1

x x x

x x

x

) , , 2 , 1 ( , /

,

22 ) 1 ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 ) 2 (

) 2 ( 3

) 2 ( 2

) 1 ( 1

3 2 1

) 2 ( )

2 ( 3

) 2 ( 3 )

2 ( 33

) 2 ( 2 )

2 ( 23

) 1 ( 1 )

1 ( 13 )

nn n

n n n

b

b b b

x

x x x

a a

a a

a a

a a

10 -

3 3

2 2

2

3 3 2

3 2

1

x x x

x x

x

Quá trình nghịch:

Từ phương trình thứ 3, ta có: x3 = 2

Từ phương trình thứ 2, ta có: x2 =-1/3+5/3x3 = 3

Từ phương trình thứ 1, ta có: x1 =3/2-1/2x2+1/2x3 = 1

Vậy nghiệm của hệ là: x1 = 1; x2 = 3; x3 = 2

CHƯƠNG 2 : THUẬT TOÁN-GIẢI THUẬT

2.1 ĐỊNH THỨC MA TRẬN

2.1.1 THUẬT TOÁN

Có rất nhiều phương pháp khác nhau để tính định thức trong ma trận như

gauss,cramer,choleski,…trong đó phương pháp giải đưa ma trận về dạng ma trận tamgiác trên được xem là phương pháp giải chính xác và khối lượng các phép tính ít nhất

3 3

2 2

2

3 3 2

3 2

1

x x x

x x

x

 Biến đổi ma trận A về ma trận tam giác trên có dạng:

 Nếu atk=0 thì det(A)=0; dừng thuật toán

 Nếu atk ≠ 0 thì làm các việc sau đây:

0

a

a 1 0

a

a a

1

(n) 2n (n)

23

( n) 1n ( n)

13 (n)

1 2 )

k kk

p a A

1

) ( ) 1 ( ) det(

 Khử aik ở các dòng i (i=k+1, k+2,…) bằng cách: Tính: hệ số = aik.

 Giá trị định thức det(A)=det(A)*akk

2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

2.2.1 THUẬT TOÁN CRAMER

Lần lượt tính định thứ của các ma trận thay thế rồi tìm nghiệm theo công thức

o Nếu atk ≠ 0 thì làm các việc sau đây:

-Thay b vào từng cột của ma trân A để tính các định thức-Cho k=1,2,3,…, n

-Với mỗi dòng k nếu hàng i=k thì thay r[j][i]=b[j]

-Ngược lại r[j][i] = a[j][i]

 Giá trị định thức det(Ak)=det(Ak)*akk

23

printf("2.Hien thi ma tran\n");

printf("3.Tinh dinh thuc cua ma tran\n");

printf("4.Nhap cac he so cua phuong trinh tuyen tinh \n");

printf("5.Hien thi he so phuong trinh\n");

printf("6.Giai he phuong trinh\n");

for(t=i+1;t<=n;t++) {

c=r[t][i];

for(j=i+1;j<=n;j++) r[t][j]=r[t][j]-r[i][j]*c;

} }

} }

printf("\n Ban co muon tiep tuc ko?");

35