(Đề tài NCKH) phân tích giới hạn của kết cấu bằng phương pháp đẳng hình học dựa trên trích bezier và chương trình tính toán hình nón bậc 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CỦA KẾT CẤU BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC DỰA TRÊN TRÍCH BEZIER VÀ CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TỐN HÌNH NĨN BẬC SKC006530 Tp Hồ Chí Minh, tháng 12/2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA CƠ KHÍ CHẾ TẠO MÁY BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CỦA KẾT CẤU BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC DỰA TRÊN TRÍCH BEZIER VÀ CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TỐN HÌNH NĨN BẬC Mã số: T2018-10TĐ Chủ nhiệm đề tài: Thạc sĩ HỒ NGỌC BỐN TP HCM, 12 / 2018 DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH Đơn vị công tác TT Họ tên lĩnh vực chuyên môn Hồ Ngọc Bốn Bộ môn sở TKM, Khoa khí máy Đỗ Văn Hiến Bộ mơn sở TKM, Khoa khí máy Nội dung nghiên cứu cụ thể giao - Nghiên cứu phương pháp đẳng hình học - Chương trình tính tốn tối ưu hình nón bậc hai - Phân tích giới hạn - Lập trình tính tốn Viết báo cáo - Xây dựng giải thuật - Đánh giá kết Viết báo đăng tạp chí Chữ ký MỤC LỤC Chương 01: 1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu 1.2 Nhiệm vụ giới hạn đề tài 1.3 Phương pháp nghiên cứu: 1.4 Ý nghĩa thực tiễn đề tài Chương 02: 2.1 Giới thiệu 2.2 B-Splines[7,8] 2.3 Nurbs[7,8] 14 2.4 Patch Element (phần tử) [7,8] 17 Chương 03: 27 3.1 Giới thiệu 27 3.2 Lý thuyết phân tích giới hạn 27 3.3 Xây dựng cơng thức phân tích giới hạn theo cận trên… 29 Chương 04: 32 4.1 Giới thiệu 32 4.2 Bài toán Cook 32 4.3 Bài toán chịu kéo có lỗ trịn 35 Chương 05: 38 5.1 Kết luận 38 5.2 Kiến nghị 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 3.1: Hệ số tải tới hạn phương pháp hành so với kết cơng trình trước cho tốn Cook Bảng 3.2: Hệ số tải tới hạn phương pháp hành thực cho toán tầm chịu kéo có lỗ trịn Bảng 3.3: Hệ số tải giới hạn cho trường hợp tải p N = σ y , pM = phương pháp IGA so với phương pháp khác DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT FEM: phương pháp phần tử hữu hạn BEM: phương pháp phần tử biên SFEM: phương pháp phần tử hữu hạn trơn Meshfree: phương pháp không lưới CAE: Computer Aided Engineering CAD: Computer Aided Design IGA – IsoGeomettric Analysis: Phương pháp đẳng hình học TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Khoa CKM Tp HCM, ngày 12 tháng 12 năm2018 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thơng tin chung: - Tên đề tài: PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CỦA KẾT CẤU BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC DỰA TRÊN TRÍCH BEZIER VÀ HÌNH NĨN BẬC - Mã số: T2018-10TĐ - Chủ nhiệm: Hồ Ngọc Bốn - Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh - Thời gian thực hiện: 02-2018 đến ngày 12-2018 Mục tiêu:  Nghiên cứu phương pháp đảng hình học dựa trích Bezier với chương trình tính tốn tối ưu hình nón bậc áp dụng cho tốn phân tích giới hạn kết cấu  Xây dựng chương trình xác định hệ số tải tới hạn Tính sáng tạo:  Áp dụng phương pháp đẳng hình học dựa trích Bezier giải thuật tối ưu hình nón bậc tính tốn phân tích giới hạn Kết nghiên cứu:  Tìm hiểu phương pháp IGA dựa trích Bezier  So sánh kết lời giải phương pháp IGA lời giải giải tích cơng trình nghiên cứu trước để đánh giá kết nghiên cứu  Một số tốn nghiên cứu: - Bài tốn phẳng có lỗ rỗng chịu kéo - Bài toán Cook Sản phẩm: Một báo đăng tạp chí Khoa học giáo dục kỹ thuật Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng:  Ứng dụng kết nghiên cứu việc giảng dạy môn phương pháp số nâng cao  Viết chương trình tích hợp phân tích giới hạn vào phần mềm FEM tồn Trưởng Đơn vị INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: Project title: Limit analysis of 2D structures by isogeometric analysis based on Bezier extraction in combination with second order cone program Code number: T2018-10TĐ Coordinator: Ho Ngoc Bon Implementing institution: Ho Chi Minh City University of Technology and Education Duration: from 02-2018 to 12-2018 Objective(s): Research on isogeometric analysis based on Bezier extraction in combination with second order cone program to estimate limit load factor of 2D structure Creativeness and innovativeness: Limit analysis play an important role in accessment of safety and the design structure in many applications such as nuclear power, chemist industry, metal forming,… Many international researchers are interested in limit analysis and have been investigated Recently, isogeometric analysis is introduced by Hughes et al and successfully applied in many engineering fields Appilcation of the isogeometric analysis based on Bezier extraction in combination with second order cone program to estimate limit load factor of 2D structure is necessary Research results: A computer program to determite the limit and shakedown load factor of structure Products: The result published in Journal of Technical Education Science- HCMUTE Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: The results are used for research and trainning Presentation the results at GACES group – Department of Civil Engineering Chương 01: MỞ ĐẦU 1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu Sự khơng làm việc cấu trúc, nghĩa chúng trở nên vô dụng xảy nguyên nhân sau:  Bất ổn định đàn hồi  Biến dạng chảy dẻo lớn  Sự hư hỏng gãy vỡ Phân tích phá hủy dẻo cấu trúc chủ đề nghiên cứu phát tri ển không ngừng suốt nhiều thập kỷ qua phần lớn thiết kế kết cấu d ựa phân tích miền đàn hồi, nhiên phân tích miền đàn hồi không cung c ấp cho đầy đủ thông tin loại tải trọng mà kết cấu bị phá h ủy Phân tích phá hủy dẻo dựa tính tốn tải trọng thực phá hủy kết cấu Các ph ương pháp tính tốn phá hủy dẻo: giải tích, thực nghiệm phương pháp số Đối với kỹ sư thiết kế việc đánh giá độ an toàn kết c ấu r ất quan trọng Chúng ta cần phải biết giá trị tới hạn tải trọng gây sụp đổ cho kết cấu, từ đưa hệ số an tồn hợp lý Để xác định giá trị th ường có hai phương pháp phân tích: Phương pháp phân tích bước: với gia tăng nhỏ tải tr ọng kết cấu sụp đổ để tìm tải trọng giới hạn Việc phân tích cho phép ta hiểu biết tồn q trình phát triển dẫn đến phá ho ại kết c ấu, nh ưng lợi mặt tính tốn số Phương pháp phân tích giới hạn (limit analysis): hướng r ất thực dụng cung cấp cách trực tiếp trị số tải trọng giới hạn, cấu phá ho ại kết cấu Phương pháp phân tích giới hạn dựa hai định lý gi ới h ạn c b ản: định lý cận (trường chuyển vị, biến dạng) cho giá tr ị tải trọng gi ới h ạn l ớn giá trị xác, định lý cận (trường ứng su ất) cho giá trị t ải tr ọng giới hạn nhỏ giá trị xác - Tình hình nghiên cứu giới Phân tích giới hạn trở thành công cụ mạnh cho việc phân tích tốn ổn định kết cấu Do vậy, nghiên cứu phân tích gi ới h ạn đ ược đ ẩy mạnh đạt nhiều thành tựu vài thập kỷ vừa qua Nhiều phương pháp số kỹ thuật tối ưu phát triển cho tốn phân tích gi ới h ạn Các phương pháp số vận dụng phân tích tốn giới hạn như: phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) [1-16], phương pháp phần tử biên (BEM) [17-19], phương pháp không lưới (Meshfree) [20-22], phương pháp phần tử hữu hạn tr ơn (SFEM) [23- 26] Một số tác giả đạt nhiều thành quan trọng lĩnh vực phân tích giới hạn cần kể đến như: Biron Hodge (1967), Hodge Belytschko (1968), Neal (1968), Maier (1970), Nguyen Dang Hung (1976, 1978), Jospin (1992), Andersen and Christiansen (1995), Vu (2001), Makrodimopoulos and Bisbos (2003), Nguyen-Xuan H (2010), Tran TN (2010), Le CV (2010), Cùng với phát tri ển ph ương pháp s ố, thuật toán tối ưu phát triển, nhiều thuật tốn tối ưu tuyến tính ho ặc phi tuyến để giải toán tối ưu Thuật tốn tối ưu hình nón b ậc hai đ ược sử dụng để phân tích tốn phân tích giới hạn [12, 15, 16, 27, 28, 29] Dựa lý thuyết cận lý thuyết cận dưới, nhiều phương pháp số phát triển với mục đích cung cấp lời giải xác v ới chi phí tính tốn thấp Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp số mạnh tin c ậy việc nghiên cứu, dự đốn mơ hình hố ứng sử vật liệu, cấu trúc, ch ất l ưu vấn đề khác kỹ thuật Phương pháp ứng d ụng thành công nghành khoa học kỹ thuật như: kỹ thu ật hàng không không gian, kỹ thu ật môi trường, kỹ thuật xây dựng, kỹ thuật khí, khoa hoc vật liệu….Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn nhiều giới hạn việc truyền tải liệu từ CAD sang FEA CAE (Computer Aided Engineering) CAD (Computer Aided Design) xây dựng phát triển độc lập nhau, chúng khơng thật tương thích việc mơ tả hình học Điều dẫn đến số lượng lớn công việc trùng lắp, mơ hình CAD, sau lại mơ hình lại FEM (Finite Element Method) Phương pháp đẳng hình học (IGA – IsoGeomettric Analysis) đời việc kết nối CAD FEM, cho phép mơ hình CAD sử dụng mơ hình FEM Ngày nay, cơng cụ hỗ trợ cho việc thiết kế hình học trước đưa vào tính tốn (Computer Aided Design – CAD) trở nên phổ biến quen thuộc kỹ sư Các công cụ hỗ trợ với việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải phương trình vi phân đa thức nội suy Lagrange giải đa số toán kỹ thuật mà trường chuyển vị tổng quát yêu cầu liên tục C0 IGA giới thiệu lần Giáo sư Hughes [7] Mô hình IGA xây dựng cho phép phân tích dùng chung sở với mơ hình hóa hình học Điều trái ngược với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống NURBS sử dụng phần mềm CAD cho phép mơ hình hóa hình học cách xác hàm sử dụng hàm sở phân tích tính tốn IGA phương pháp tính tốn số mới, vừa thỏa mãn liên tục bậc cao cho kết xác Phương pháp tích hợp cơng cụ thiết kế hình học (CAD) việc phân tích phần tử hữu hạn (FEA) vào mơ hình, liệu hình học xác truy xuất lần đưa qua phân tích tính tốn Để việc kết hợp thực được, phương pháp IGA sử dụng hàm B-spline hàm sở NURBS (Non-Uniform Rational B-spline) hàm thường sử dụng CAD để mô tả dạng hình học xấp xỉ biến số chưa biết việc phân tích Hàm NURBS biểu diễn xác số dạng hình học hình trịn, hình cầu, hình trụ, hình ellip,…Sử dụng hàm NURBS IGA đạt bậc liên tục C p-1 hàm sở NURBS có bậc p, dễ dàng đạt bậc liên tục cao việc sử dụng đa thức nội suy Lagrange phương pháp FEM truyền thống IGA nghiên cứu rộng rãi ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau: phân tích cấu trúc [7], nhiệt [7], tương tác rắn – lỏng[7], Do phương pháp IGA đời năm gần kết h ợp đ ược ưu điểm vượt trội CAD FEM, nên mang tính thời ý nghĩa th ực tiễn cao Tuy nhiên, phạm vi mở rộng nghiên cứu phương pháp IGA d ựa c sở NURBS giai đoạn tiếp tục nghiên cứu Vì vậy, việc nghiên cứu, Trong Θ= εε tốc độ biến dạng dẻo phần tử e thể tính điểm Gauss sau: ( ε)= Phương trình (21) viết dạng sau: Trong đó, , | | trận Jacobian Gauss toán hệ số Cholesky Và subjected to: 30 ε= ( ε )=1 Để giải hiệu tốn phân tích giới hạn, nghiên cứu chúng tơi dùng chương trình tối ưu hình nón bậc Mosek cách giới thiệu biến thêm vào t Bài tốn tối ưu cơng thứ (24) trở thành sau: subjected to: ‖ ( )=1 ε 31 Chương 04: VÍ DỤ SỐ 4.1 Giới thiệu Trong chương tác giả trình bày sở lý thuyết phương pháp đẳng hình học dựa trích Bezier NURBS khác giữ phương pháp đẳng hình học phương pháp phần tử hữu hạn Tác giả xây dựng công thức cho phương pháp đẳng hình học kết hợp với giải thuật chương trình tình tốn tối ưu hình nón bậc để xác định hệ số tải tới hạn Trong chương tác giả ứng dụng phương pháp đẳng hình học xây dựng chương trình phân tích giới hạn cho số toán Các toán bao gồm: - Bài toán Cook – Cook’s Problem [9] - Bài tốn có lỗ rỗng chịu kéo [9,10] Các tốn phân tích với giả định chịu biến dạng phẳng Ngơn ngữ lập trình MATLAB[5] sử dụng để viết chương trình khảo sát tốn So sánh đánh giá kết với với lời giải giải tích 4.2 Các tốn chiều 3.2.1 Bài tốn Cook Mơ hình tốn[14] có thơng số sau: - Mô đun đàn hồi vật liệu E = 2.1×10 MPa Tải phân bố q = /16 Hệ số Poison υ = 0.3 Giới hạn ứng suất: = √3 MPa 32 Hình 3.1 : Mơ hình tốn Mơ hình lưới điểm điều khiển lưới phần tử Hình 3.2 : Mơ hình lưới toán 33 Đây toán dùng để kiểm tra đánh giá phương pháp nghiên cứu Điều kiện biên toán minh họa hình 3.1 Bài tốn rời rạc thành 24 phần tử NURBS Bài toán số nhà nghiên cứu thực như: Canh V Le [29], H Ciria J Peraire Kết tốn với kết cơng trình nghiên cứu trước trình bày Bảng 3.1 Chúng ta dễ dàng nhận thấy kết phương pháp có tương đối tốt so với phương pháp khác Hình 3.2 : Mơ hình lưới tốn Bảng 3.1: Hệ số tải tới hạn phương pháp hành so với kết cơng trình trước cho tốn Cook Authors & Methods CS-FEM [29] IGA-Bezier, SOCP ( =2) IGA-Bezier, SOCP ( =3) IGA-Bezier, SOCP ( =4) 34 3.2.2 Bài tốn chịu kéo có lỗ trịn chịu kéo Cho phẳng có lỗ chịu kéo hai lực P1 P2 hình 4.1 Mơ hình tốn có thơng số sau: - Mô đun đàn hồi vật liệu E = 2e5 MPa - Tải phân bố σ y = 200 MPa - Hệ số Poison υ = 0, Tỉ số R/L = 0.2 Do tốn đối xứng nên ¼ mơ hình tính tốn hình Error! Reference source not found.4.2 Hình 4.2: Mơ hình ¼ tốn Hình 4.1: Mơ hình tốn phẳng có lỗ chịu kéo Mơ hình IGA tốn hình Hình 4.4:: Mơ hình với phần tử NURBS bậc có 16 phần tử Kết tính tốn thực mơ hình ¼ sử dụng lưới bậc 2, với 8, 32 128 phần tử NURBS tương ứng Lời giải xác cho hệ số tải giới hạn thực với Gaydon McCrum[40] cho trường hợp toán biến dạng phẳng áp dụng tiêu chuẩn Von Mises Trong trường hợp hủy tới hạn xác định: 35 plim = (1 − R / L)σ y = 0.8σ y Bảng 3.2: Hệ số tải tới hạn phương pháp hành thực cho toán tầm chịu kéo có lỗ trịn = = Bảng 3.2 trình bày kết phương pháp hành ứng với loại lưới khác Bảng 3.3 trình bày kết kết hợp với việc so sánh với phương pháp khác FEM, BEM, Meshfree Hình 4.4 cho thấy kết lời giải số đạt FEM-Q4 phương pháp IGA so sánh với số BTD gia tăng Từ hình 4.4 thấy hệ số tải giới hạn hội tụ nhanh giá trị lời giải giải tích Hình 4.5: So sánh tốc độ hội tụ giá trị tải giới hạn cho toán phẳng có lỗ trịn tâm phương pháp IGA với phương pháp khác (trường hợp tải P2 = 0) 36 Bảng 3.3 : Hệ số tải giới hạn cho trường hợp tải p N = σ y , pM = phương pháp IGA so với phương pháp khác Approach & Method Load cases Authors Quadratic (ndofs = 462) Present approach (UB) Cubic (ndofs = 650) Quartic (ndofs = 650) Equilibrium FEM (LB) Belytschko et al.[31] Equilibrium FEM (LB) Nguyen & Palgen[32] Chen et al EFG (LB) 33] Mixed model Zouain et al [34] BEM (LB) Zhang et al.[35] NS-FEM (DA) Nguyen et al.[36] Analytical Gaydon et al.[20] LB (Lower bound); UB (Upper bound); DA (Dual algorithm); NS (Node smoothed) 4.3 Kết luận - Ứng dụng lý thuyết chương 3, xây dựng chương trình phương pháp đẳng hình học kết hợp với giải thuật tối ưu hình nón bậc để giải hai tốn ví dụ - Kết hai tốn so với kết tham khảo có sai số tương đối tốt - Trong toán số 2, phương pháp đẳng hình học cho kết tốt FEM với số bậc tự nhỏ 37 Chương 04: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 4.1 Kết luận - Đề tài hoàn thành mục tiêu đề ra: + Nghiên cứu lý thuyết phương pháp đẳng hình học dựa trích Bezier + Nghiên cứu giải thuật tối ưu hình nón bậc + Xây dựng thuật toán kết hợp với IGA SOCP + Viết chương trình giải số toán so sánh kết - Phương pháp đẳng hình học phương pháp xác hình học Do vậy, cho kết tốt với biên cong - Chi phí tính tốn thấp nhiều so với FEM (Bậc tự nhỏ cho kết xác hơn) 4.2 Kiến nghị - Nghiên cứu IGA áp dụng cho toán khác: phân tích giới hạn 3D (limits load analysis), tốn Composite, - Nghiên cứu T-Spline cho toán IGA phân tích giới hạn - Kết nối CAD IGA - Kết nối FEM IGA 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] PGS.TS Đỗ Kiến Quốc, Đàn hồi Ứng dụng, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2004 [2] GS.TS Nguyễn Văn Phái, Tính tốn độ bền mỏi, NXB Khoa học & Kỹ Thuật, 2004 [3] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Đức Đãi, Phương pháp Phần tử Hữu hạn Tính tóan Kết Cấu, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2008 [4] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Đức Đãi, Ứng dụng Phương pháp Phần tử Hữu hạn Kỹ thuật, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2007 [5] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn với Matlab, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2001 [6] GS.TS Nguyễn Văn Phái, Nguyễn Văn Khiêm, Phương pháp phần tử hữu hạn thực hành học , NXB Giáo dục, 2000 TIẾNG NƯỚC NGOÀI [7] J.A Cottrell, T.J.R Hughes, and Y Bazilevs Isogeometric analysis toward integration of CAD and FEA Wiley, 2009 [8] Piegl, L and W Tiller (1997) The NURBS Book (2 ed.) Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [9] [10] Timoshenko, S P and J N Goodier (1970) Theory of Elasticity (3 ed.) Zienkiewicz, O C., R L Taylor, and J Z Zhu (2005) The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford [11] Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford [12] Per Ståle Larsen A comparison between the finite element method (FEM) and the isogeometric analysis (IA) Master Thesis, Norwegian University of Science and Technology, 2010 39 [13] Alessandro Reali An Isogeometric Analysis Approach for the Study of Structural Vibrations Master Thesis, Universit`a degli Studi di Pavia, 2005 [14] Thanh Ngan Nguyen Isogeometric Finite Element Analysis based on Bézier Extraction of NURBS and T-Splines Master Thesis, Norwegian University of Science and Technology, 2012 [15] H Nguyen-Xuan, Chien H Thai, T Nguyen-Thoi, Isogeometric finite element analysis of composite sandwich plates using a new higher order shear deformation theory, Composite Part B, in press, doi.org/10.1016/j.compositesb.2013.06.044, 2013 [16] Loc V Tran, Chien H Thai, H Nguyen-Xuan, An isogeometric finite element formulation for thermal buckling analysis of functionally graded plates, Finite Element in Analysis and Design, Vol 73, p 65-76, doi.org/10.1016/j.finel.2013.05.003, 2013 [17] Loc V Tran, A J Ferreira, H Nguyen-Xuan, Isogeometric approach for analysis of functionally graded plates using higher-order shear deformation theory, Composite Part B, Vol 51, p 368-383,doi.org/10.1016/j.compositesb.2013.02.045, 2013 [18] N Nguyen-Thanh, H Nguyen-Xuan, S Bordas, T Rabczuk, Isogeometric analysis using polynimial splines over hierarchical for two-dimensional elastic solids, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol 200, p 1892–1908, 2011, Doi:10.1016/j.cma.2011.01.018, 2011 (Top 25 hottest articles, June 2011) [19] Vinh Phu Nguyen, Isogeometric analysis: an overview and computer implementation aspects Elsevier September 30, 2013 [20] F.A Gaydon, A.W McCrum, A theoretical investigation of the yield-point loading of a square plate with a central circular hole, Journal of Mechanics and Physics of Solids 2, pp.156-169, 1954 [21] A Capsoni, L Corradi, A finite element formulation of the rigid-plastic limit analysis problem, International Journal for Numerical Methods in Engineering 40, pp 2063-2086, 1997 [22] Z Zhang, Y Liu, Z.Cen, Boundary element methods for lower bound limit and shakedown analysis, International Journal for Numerical Methods in Engineering 191, pp 905-917, 2004 40 [23] S Chen, Y Liu, Z Cen, Lower-bound limit analysis by using the EFG method and nonlinear programming International Journal for Numerical Methods in Engineering 74, pp.391-415, 2008 [24] T.J.R Hughes, J.A Cottrell, Y Bazilevs, Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineeering 194, pp.4135–4195, 2005 [25] J Cottrell, T.J.R Hughes, A Reali, Studies of refinement and continuity in isogemetric analysis, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineeering 196, pp 4160–4183, 2007 [26] Borden MJ, Scott MA, Evans JA, Hughes TJR Isogeometric finite element data structures based on Bézier extraction of NURBS International Journal for Numerical Methods in Engineering 86, pp 15 – 47, 2011 [27] A Capsoni, L Corradi, A finite element formulation of the rigid-plastic limit analysis problem, International Journal for Numerical Methods in Engineering 40, pp 2063–2086, 1997 [28] Mosek, The MOSEK Optimization Toolbox for MATLAB Manual Mosek ApS, version 5.0 ed., 2009 [29] Le CV, Nguyen-Xuan H, Askes H, Bordas S, Rabczuk T, Nguyen-Vinh H A cell- based smoothed finite element method for kinematic limit analysis, International Journal for Numerical Methods in Engineering.88(12), pp.1651–1674, 2010 [30] H Ciria, J Peraire, J Bonet , Mesh adaptive computation of upper and lower bounds in limit analysis, International Journal for Numerical Methods in Engineering.75(8), pp.899–944, 2008 [31] Belytschko T, Plane stress shakedown analysis by finite elements, International Journal Mechanical Science.14, pp.619–625, 1972 [32] Nguyen DH, Palgen L Shakedown analysis by displacement method and equilibrium finite elements Proceedings of SMIRT-5, Berlin1 979;p L3/3 41 [33] Chen S, Liu Y, Cen Z, Lower-bound limit analysis by using the EFG method and non-linear programming International Journal for Numerical Methods in Engineering 74, pp.391-4157, 2008.1 [34] Zouain Z, Borges L, Silveira JL, An algorithm for shakedown analysis with nonlinear yield functions, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineeering 191, pp.2463–2481, 2002 [35] Zhang Z, Liu Y, Cen Z, Boundary element methods for lower bound limit and shakedown analysis, Engineering Analysis with Boundary Elements 28, pp.905–917, 2004 [36] H Nguyen-Xuan, T Rabczuk, T Nguyen-Thoi, T N Tran, N Nguyen-Thanh Computation of limit and shakedown loads using a node-based smoothed finite element method, International Journal for Numerical Methods in Engineering 90, pp.287 – 310, 2012 [37] Garcea G, Armentano G, Petrolo S, Casciaro R, Finite element shakedown analysis of two-dimensional structures International Journal for Numerical Methods in Engineering 63, pp.1174–1202, 2005 [38] Hien V Do, H Nguyen-Xuan, Limit and shakedown isogeometric analysis of structures based on Bézier extraction, European Journal of Mechanics / A Solids 63, pp 149-164, 2017 42 ... thuyết phương pháp đẳng hình học dựa trích Bezier NURBS khác giữ phương pháp đẳng hình học phương pháp phần tử hữu hạn Trong chương trình bày sở lý thuyết áp dụng phương pháp đẳng hình học kết hợp... năm2018 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CỦA KẾT CẤU BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC DỰA TRÊN TRÍCH BEZIER VÀ HÌNH NĨN BẬC - Mã số: T2018-10TĐ - Chủ... PTR(ξ) = 26 Chương 03: PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC DỰA TRÊN TRÍCH BEZIER CỦA NURBS VÀ GIẢI THUẬT TỐI ƯU HÌNH NĨN BẬC CHO BÀI TỐN PHÂN TÍCH GIỚI HẠN 3.1 Giới thiệu Trong chương tác giả trình bày