Copyright belong to Dr.RV 2020 Khóa tự luyện thi đại học mơn tốn Tốn dạng hỗ trợ trí tuệ tốt, Việt Nam, việc học môn hồn tồn khơng phải khó, học thêm, học online giúp bạn luyện thi nhiều Tuy nhiên, cịn nhiều bạn chƣa có điều kiện để học thêm, hay mua khóa học online đắt đỏ (mình hiểu cảm giác xin coi cọp, làm xin mua vài khóa cho đứa em mình, nhƣ thay lời cảm ơn cơng sức thầy dạy online đó) Tuy nhiên xin gác điều sang bên để tập trung đến phần: Để tự luyện thi đại học mơn tốn bạn cần làm gì? Mình soạn lại phần tài liệu này, đúc kết ngày sơi sục làm đề đến hoa mắt, lôi hết tất trang web, đề thi miễn phí, tài liệu online học Là kinh nghiệm bạn theo trƣờng phái ơn luyện cánh cổng trƣờng đại học, nơi thay đổi nhiều thứ đời bạn Sẽ có phần Tốn, Hóa, Sinh, Lý, Anh văn nhƣng khơng biết soạn kịp khơng Mình xin dành lời cảm ơn đặc biệt đến: - Diễn đàn toán học – VMF https://diendantoanhoc.net Diễn đàn MathScope https://mathscope.org Vted (đây nơi mà anh bạn bên VMF dạy, có điều kiện xem thủ thuật casio anh ấy, tuyệt) Cách sử dụng: - - - - Nếu bạn học sinh chuyên toán: o Đây hệ thống mục tiêu, bạn dung để xem có đủ chƣa, vui nhận đƣợc đóng góp chỉnh sửa từ bạn Nếu bạn học sinh chuyên toán: o Đây tài liệu dùng kèm với luyện đề, bạn cần phải nắm kiến thức o Nếu bạn học mức bản, bạn xem mục tiêu bạn cần nắm, việc Google khơng phải khó với bạn có phải khơng? Mình để hẳn nguồn tốn lớn o Vì nội dung ngắn gọn nên BẠN SẼ PHẢI DÙNG TÀI LIỆU với google dùng cuối tuần để gom gọn kiến thức toán bạn lại, theo tuần, theo tháng, song hành chƣơng trình bạn học trƣờng Phƣơng pháp trình bày dạng toán tự luận, để nâng cao tƣ bạn, nhiên quan điểm là, phải có tảng phƣơng pháp hay thủ thuật phƣơng tiện giúp bạn đến kết nhanh Nên khơng nêu nhiều thủ thuật (sẽ hƣớng bạn viết thủ thuật khác, nguồn tìm cho bạn) Hãy nhớ TRẮC NGHIỆM = KIẾN THỨC CƠ BẢN + TƢ DUY NHANH + THỦ THUẬT Và tài liệu 1/3 Để tƣ nhanh lặp lặp lại tập kiến thức nâng dần + làm ngày, biến thành thói quen suy nghĩ (bạn khơng nhận ra, ngày bạn làm nhanh cỡ thành thói quen bạn đâu) (Thế 2/3 nhé!!) yếu tố lại giao cho bạn nỗ lực Đó 10 điểm bạn, thi bạn mà Còn ơn thơi! Danh mục viết tắt: Pt hsg S V gttd Pthdgd Phƣơng trình Hệ số góc Diện tích – Surface, phần thể tích đƣợc hiểu S la Sphere – Khối cầu Thể tích – Volume Giá trị tuyệt đối Phƣơng trình hồnh độ giao điểm Copyright belong to Dr.RV 2020 pp Pttdgd Vg góc Viete Thales // Bđt AM-GM BCS Phƣơng pháp Phƣơng trình tung độ giao điểm Vng góc Định lý Vi-ét, (xem lại nhé), xài với ý hiểu rộng tổng tích nghiệm phƣơng trình ln Định lý Ta-lét đấy, nhƣng mở rộng ra, hiểu Thales nói đến: liên quan tỉ lệ độ dài với tỉ lệ diện tích qua đƣờng song song (nhƣng thật lại hợp lý với thể tích, nhiều thứ khác) Song song Bất đẳng thức Đây bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (dạng đơn giản cauchy mà sgk dạy cho bạn đó) Có nhiều clip dạy bđt này, nhƣng bạn thích đọc chỗ hay để mở rộng: https://diendantoanhoc.net/topic/84610-bđt-am-gm/ Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz, bđt mà sgk dạy https://voh.com.vn/hoc-tap/nhung-kien-thuc-co-ban-ve-bat-dang-thuc-bunhiacopxki335411.html Nội dung giản lược Toán: (10 chuyên đề) - Hàm số: + Khảo sát: hàm chính: o bậc (lƣu ý có điểm uốn), o hàm bậc ( ko cần xét điểm uốn), o hàm biến (lƣu ý tiệm cận ngang đứng), o hàm hữu tỉ ( lƣu ý tiệm cận đứng xiên) CHÚ Ý: điểm đối xứng hàm bậc điểm uốn (ko chứng minh) điểm đối xứng hàm biến hữu tỉ giao điểm tiệm cận (chứng minh) + Dạng có tốn phụ: Bài toán tiếp tuyến: pt tiếp tuyến (tại, qua, hsg k, //,vg góc…),pt đƣờng qua cực trị Định m: để hàm số đơn điệu D, có n tiếp tuyến (thỏa ), có cực trị (thỏa…),tìm tập hợp điểm (hay hệ thức độc lập m) Bài toán tƣơng giao: o có n nghiệm (tạo thành cấp số cộng, cách đều, //, vg góc đƣờng thẳng, đối xứng đƣờng, đối xứng tâm, giao điểm tọa độ nguyên…), o biện luận số nghiệm phƣơng trình (viete, tính nghiệm…), o biên luận số nghiệm đồ thị (lƣu ý dạng hàm gttd), có nghiệm thỏa biểu thức T CHÚ Ý: công thức đạo hàm cho đúng, hàm số đạt cực trị y’=0 có “hữu hạn” nghiệm pt đƣờng thẳng qua cực trị o hàm bậc e(x) vs y=y’.g(x) + e(x), o hàm phân thức y=a/b la y=a’/b’ lƣu ý đề khác Tiếp tuyến TẠI điểm Tiếp tuyến QUA điểm Dạng phải dùng đến pp cực trị o Tổng quát xem nhƣ toán tƣơng giao (pthdgđ) đƣờng y=f(x) (có ẩn x) y=g(m) (có m làm tham số) o Khi muốn tìm m thuộc khoảng cho hàm số đồng biến, nghịch biến, âm hay dƣơng Thì phải nên xét pp Copyright belong to Dr.RV 2020 Cơ nếu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) o Khi nói đến bảng xét xấu, bạn nên làm công việc sau: bảng xét dấu đủ (gồm hàng: x, y’, y) dạng gọn (1 đƣờng thẳng y’, có nét gạch cho x) Quy tắt xét “trong trái ngồi cùng” Chính xác chọn số khoảng bấm máy xem y’ âm hay dƣơng (cái chắn đúng, thời gian thui) Tích phân: Các dạng tích phân bản: o Dạng sử dụng công thức (chú ý vận dụng công thức cho dạng ax+b), o Dạng ẩn phụ (khi đổi biến nhớ đổi cận), o Dạng phần (dùng tính tích phân hàm dạng tích loại biểu thức khác nhau), o Tích phân lƣợng giác, logarit, tích phân Hữu tỉ, tích phân đặc biệt… ( tích phân cận đối xứng, cận trung gian, tích phân phụ trợ đồng hệ số) - Khi đặt ẩn theo lƣợng giác, ý điều kiện góc Dạng ứng dụng tích phân: o Tính diện tích hình phẳng (lƣu ý xét pt hoành độ giao điểm hay pt tung độ giao điểm - xem có giao điểm khoảng cận hay ko), o Tính thể tích khối trịn xoay (xem kĩ xoay quanh Ox hay Oy) CHÚ Ý: vận dụng tốt cơng thức ngun hàm, thuộc lịng cơng thức đạo hàm tích phân phần: đăt dv biểu thức để tính ngun hàm, cịn u biểu thức – đặt u cụm mà lấy nháp đạo hàm thử thấy dễ tính Diện tích phẳng: Khi pt vơ nghiệm thuộc (a,b) S= | nguyên hàm a đến b f(x)-g(x)| Nếu > đồ thị giao chia nhỏ hình cho dễ tính, tính theo y Phương trình logarit, phương trình mũ Tính biểu thức logarit, mũ Phƣơng trình mũ, logait: dạng đặt dc ẩn phụ, dạng dùng hàm số, dạng dùng đánh giá vế Chứng minh biểu thức log, mũ, đạo hàm CHÚ Ý: lƣu ý điều kiện số log >0 khác 1, điều kiện bậc x x thuôc số tự nhiên khác Lượng giác Tính tốn biểu thức theo sin, cos, tan, cot (dạng cho biểu thƣc tổng - tích theo sin cos yêu cầu tính tan, cot hay bắt tính sin cos góc khác- sin(A+B) hay cos (a-b) ) (lƣu ý cung phần tƣ để xét dấu) Dạng biến đổi góc (dùng góc bù, góc phụ, lƣu ý dấu biểu thức lƣợng giác) ý việc chặn khoảng giá trị tham số k Phƣơng trình lƣợng giác (lƣu ý dạng bản, gặp dạng khó đặt ẩn phụ, đặt nhân tử chung, cốt yếu để quy dạng bản) CHÚ Ý pt nâng cao chút kết hợp với hàm đa thức, ta coi nhƣ hàm số, đặt ẩn để xét điều kiện chặn nghiệm Số Phức Tính số phức w (có liên quan đến z đề cho) (thì gọi z=a+bi dùng cơng thức để đƣa hpt theo a, b| tính dc trực tiếp tốt) Giải pt tập C (lƣu ý công thức tính số phức) Tính tốn dạng lƣợng giác số phức, đinh lý Moivre (nâng cao) Modun số phức, tốn tìm cực trị modun Tìm tập hợp điểm mp phức CHÚ Ý: linh hoạt dùng dạng đại số lƣợng giác cho dễ tính tốn Chú ý kết luận để ko điểm nhƣ phần thực, phần ảo v.v o - - - - Copyright belong to Dr.RV 2020 - - - Tổ hợp, xác suất Pt theo P C A ( ý dùng công thức cho lƣu ý điều kiện biểu thức) Tính tổ hợp, xác suất Nhi thức Newton: o dạng khai triển để tính tốn (Tìm số hạng thứ…, Tìm số hạng giữa, Tìm hệ số lớn ), o dạng chứng minh biểu thức chứa C (Đề chia nhỏ thành bộ: chẵn lẻ, nguyên hàm, đạo hàm, đầu cuối, bản…) Hình học khơng gian Cách tính khoảng cách ( điểm mặt, đƣờng mặt, mặt mặt, đƣờng đƣờng…-> quy điểm mặt) tính đƣợc theo cách: trực tiếp hhkg, dùng thể tích, gắn hệ trục tọa độ Oxyz (lƣu ý cách trình bày) Cách tính góc (đƣờng đƣờng, đƣờng mặt, mặt mặt) (ngồi cách cố gắng dựng dùng lƣợng giác,chịu khó nháp hình qn cơng thức) Tính thể tích (tứ diện,khối chóp, lăng trụ, khối nón, khối lăng trụ) Tìm tâm, bán kính, thể tích, diện tích mặt cầu ngoại, nội tiếp CHÚ Ý: đọc hết đề trc vẽ hình Dùng tỉ lệ khoảng cách tỉ lệ độ dài (chuyển đổi khoảng cách) (ko chứng minh lại) Dùng tỉ lệ thể tích khối chóp tam giác (chuyển đổi thể tích) (lƣu ý dùng zs chóp tam giác, cần chứng minh lại) Có cách để tính khoảng cách: Dùng hình (vẽ đƣờng vng góc kiểu vơ tính tốn nhƣ cơng thức học) Dùng thể tích d=3V/S (chỉ dùng cho chóp đáy tam giác), (đơi lúc có nâng cao họ bắt phải gia giảm thể tích theo tỉ lệ vd đề hỏi V1, tính đƣợc V2 Và V1/V2 = 2/3 V1=… ) Gắn hệ trục tọa độ Oxyz Tính góc đƣờng với mặt tỉ lệ sin (ko chứng minh lai) Xem kĩ phƣơng pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp phép dựng hình Oxyz Nội dung: Pt mặt phẳng (qua điểm có vtpt, qua điểm có vtcp, qua điểm // vuông đƣờng) , Pt mặt cầu, Pt đƣờng thẳng (đƣờng qua điểm có vtcp, qua điểm // zs mặt, qua điểm cắt đƣờng, pt đƣờng vng góc chung), Khoảng cách ( điểm đƣờng, điểm mặt, đƣờng mặt, mặt mặt, đƣờng đƣờng ), góc (giữa đƣờng, mặt, đƣờng với mặt ), tính | tichcohuong .vecto2diemtren2duong tichcohuong tốn hình chiếu, tốn đối xứng, tốn cực trị Lƣu Ý: pt đƣờng qua điểm cắt đƣờng có cách: Cách (cổ điển) o viết pt mp (gọi beta) qua Điểm A chứa đƣờng (gọi d1) , o cho d2 giao với beta đƣợc B, viết phƣơng trình qua A B đƣờng thẳng cần tìm, o THỬ LẠI: kiểm tra vtcp d1 zs vecto AB xem có cắt hay không Cách (hiệu quả, nhƣng dễ sai), o với A điểm cho trƣớc, gọi B thuộc d1 => tọa độ B theo tham số t, o gọi C thuộc d2 => tọa độ C theo tham số m, ⃗⃗⃗⃗⃗ tạo hệ pt với ẩn t,m,k -> giải o dùng ⃗⃗⃗⃗⃗ Với tốn góc: ý cơng thức tính góc nhƣ định lý cos, định lý sin, tích vơ hƣớng, tích có hƣớng, ý là: góc đƣờng , mặt đƣợc quy ƣớc góc nhọn ( ) Oxy Copyright belong to Dr.RV 2020 Nội dung: toán đƣờng thẳng, tốn tam giác, tốn hình vng chữ nhật, tốn hình thoi, tốn liên quan đến đƣờng tròn, liên quan đến conic (elip, hyperbol, parabol ) Thường đề phối tùy tỉ lệ giải tích hình túy đại số (ít) Kiến thức quan tâm: Đại lượng hình học ứng dụng thường thấy hình giải tích Oxy ⃗ , dùng tỉ số trọng tâm Cho trọng tâm: dùng công thức tọa độ trọng tâm, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Cho trực tâm: dùng quan hệ vng góc để có vecto, đại lƣợng điểm cần tìm Cho tâm ngoại tiếp: cho tâm ngoại tiếp gợi ý dùng pt đƣờng tròn để hỗ trợ, ý , tìm pt trung trực Cho tâm nội tiếp: dùng khoảng cách đến cạnh, viết pt phân giác (ứng dụng nhiều hơn) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (M trung Cho trung điểm: pt trung trực -> tìm tâm ngoại tiếp, pt trung tuyến -> tìm trọng tâm,⃗⃗⃗⃗⃗ điểm AB) Cho pt đƣờng cao: lấy vecto Cho pt trung tuyến: lấy trung điểm hoạc lấy trọng tâm Cho pt phân giác: từ điểm thuộc cạnh bên này, viết pt vng góc với phân giác để tìm điểm đối xứng với ( tính chất tam giác cân) Loại giải tích phối đại số cho theo dạng: sử dụng ẩn cạnh để biện luận hình có đại lƣợng max (S, độ dài, góc…) thƣờng phối lại kiến thức hệ thức lƣợng tam giác, hệ thức lƣợng giác, Cauchy, BCS khảo sát hàm số (nếu cần) 2 Loại giải tích ưu: xem xét lối nghĩ khoảng cách dựa vào tỉ số, đặt vecto n (a; b) a b (a,b phòng ngừa trƣờng hơp a=0 b=0, biết a,b khác đặt (1,k) (k;1) )nếu có điểm đƣờng dùng khoảng cách để biểu diễn a theo b, có vecto đạt t tổng quát theo m số tự tìm m Ƣu tiên lối nghĩ vecto (do tính định hƣớng cao, bớt bị nhiều nghiệm hình) Loại đại số phối hình học túy: tùy ứng biến, nhƣng có gắng truy tìm tính chất chìa khóa để tìm lối Ƣu tiên gợi lại tính chất gần ( có gặp trc) nháp để tìm Tránh tình trạng lan man Những khó hình học ƣu, nên nắm mở rộng số tính chất lớp (nhớ chứng minh lại) Nếu cho tỉ lệ ý: + dùng Thales nhiều Phƣơng diện: Vecto, tỉ số //, đặt ẩn cạnh để chuyển đổi tỉ lệ độ dài (thales tỉ lệ khoản cách) Khoảng cách Phƣơng diện giải tích + Kỹ thuật chọn điểm phƣơng trình cho, có liên hệ tỉ lệ với điểm cho trƣớc phƣơng trình => nhƣ giúp thu gọn tỉ lệ (hiệu hạn chế nhƣng hữu hiệu) + Chú ý vecto: AB AB AD Dấu phụ thuộc theo hình vẽ, vị trí tƣơng đối AB CD AD Với BM kBC AM AB k (AC AB ) AM (1k )AB k AC hay AM AB k AC 1 k Vecto dùng cho nhiều yếu tố vng -> tích vơ hƣớng phát huy tính mạnh Áp dụng ct hình chiếu để hỗ trợ - Pt hpt Các kỹ thuật chính: biến đổi, hệ thức lƣợng, ẩn phụ, hàm số, liên hợp (kèm CM nghiệm nhất) , đánh giá vế Một số yếu tố lƣu ý: hệ phƣơng trình ( đối xứng 1,2 đẳng cấp ) dạng khuất vd: + Dạng ax bx c cx d tách ax bx c thành (ex f ) g đặt ey f cx d đƣa hệ đối xứng hay gần đối xứng + Đặt ẩn quy pt bậc hay hệ đối xứng Trƣờng hợp đẹp nhƣ tổng,hiệu tích trực tiếp S,P viete hay đặt t tổng, hiệu Copyright belong to Dr.RV 2020 + Các dấu hiệu ẩn ko hoàn toàn, xuất trƣờng hợp trực tiếp t cx d ko hiệu quả, tách lƣợng pt ban đầu k (cx d ) ép denta =0 => k + Trong số cách đặt ẩn phụ ý dạng chia g(x) để tạo kx l chung, x Xét biểu thức liên hơp cần lƣu ý: (bấm máy, nhẩm, cầu may, miễn đƣợc nghiệm) Với nghiệm đơn đẹp: ghép số cố gắng chứng minh biểu thức sau liên hợp vô nghiệm (Quy đồng, xét hàm số LƢU Ý ĐIỀU KIỆN, đánh giá dùng dk), dùng tối ƣu loại tức gom lƣợng ax+b lần liên hợp ax –(f(x0) + ax0 ) với x0 nghiệm ép a miền thỏa biểu thức sau liên hiệp dƣơng (bởi nghiệm đẹp nên chia biểu thức mang a cho x-x0 mà hết) + Với nghiệm đơn đẹp: ghép f ( x) ax b giải hpt tìm a,b ( f ( x0 )) a Với nghiệm kép f ( x0 ) ax0 b ý tối ƣu Vô tỉ có trƣờng hợp: vơ tỉ nhƣng Viete (tổng, tích) đẹp -> Xem giống nghiệm đơn Xài pp ghép nghiệm xấp xỉ (nhƣ sau: tính theo máy trừ với a lần (x1 + b) xem đẹp ko, chơi table, cách dùng nốt cho đơn vô tỉ) (do đơn vô tỉ -> nghiệm bị loại điều kiện nhiễu, thực đổi dấu trƣớc xem có lơi nghiệm dc ko Nếu thử tìm nhiễu tìm cách khử hay đổi pp) Trƣờng hợp có nghiệm vơ tỉ dạng chồng thì… đổi pp… LƯỢNG LIÊN HỢP LÀ PP ỨNG DỤNG MẠNH VD TÁCH ĐA THỨC VỀ CĂN, GOM NGHIỆM RA NHÂN TỬ + Ép hàm đại diện: hàm sử dụng đẳng thức, biến đổi quy hàm, ý dạng hàm khó nhìn nhƣ hàm có tích biểu thức nhƣ + Đánh giá vế, nhƣ với đơn nghiệm đẹp đánh giá BCS cho tổng căn, AMGM cho tích Một số dạng đánh giá khác dùng dk vế chứng minh vế với đk thi mâu thuẫn từ đƣa dc 1,2 nghiệm chung Một cách khó hy vọng dùng dc gom bình phƣơng S.O.S (ko khuyến khích nhƣng cố gắng có j hay đó) a1 x b1 y c1 xy d1 x e1 y f1 + hpt: dạng lấy pt1 + k.pt2 gọi a,b,c,d,e,f hệ số 2 a2 x b2 y c2 xy d x e2 y f mang k ta giải pt cde 4abf ae bd fc tìm k - + hpt nhƣng khuất : cố gắng gom hạng tử chung xem chúng đối xứng hay đẳng cập, LUÔN LUÔN PHẢI ĐỂ Ý ĐẾN BẬC VÀ SỰ ĐẲNG CẤP với đẳng cấp-> tìm cách chia x nhân chia vế (tạo đồng bậc) + hpt ko có căn: gán 1000 hay 100 vào ẩn, giải liên hệ xem có nhân tử ko, ý cẩn thận thuạt tốn gần mt lừa + sau liên hệ đƣa pt ẩn để ý kiên hệ để tìm định hƣớng -Lƣu ý: tối ƣu dùng cho thui có loại vừa vừa tối ƣu Nếu pt, dc nghiệm mà chƣa cm hết phần vơ nghiệm dc 0,5 Cịn bpt ghi ra….mong dc 0,25 dc Xài hết mánh casio dùng Bdt VIỆC ĐẦU TIÊN BAY VÀO LÀ TÌM LỢ LỢ DẤU BẰNG RỚT Ở ĐÂU Copyright belong to Dr.RV 2020 Kỹ thuật chính: Đánh giá dùng bdt (Cauchy, BCS, Schur (CM lai) , Jensen (CM lại),các kỹ thuật dùng Cauchy+BCS…), ẩn phụ + hàm số (chủ yếu) Phƣơng pháp tiếp tuyến (kỹ thuật UCT có hỗ trợ casio) Tham khảo Schur: http://goo.gl/6CEpZs Hàm lồi, Jensen: http://goo.gl/5IBQuY Đạo hàm: http://goo.gl/kEm0Do ... phân gi? ?c (ứng dụng nhiều hơn) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (M trung Cho trung điểm: pt trung trực -> t? ?m t? ?m ngoại tiếp, pt trung tuyến -> t? ?m trọng t? ?m,⃗⃗⃗⃗⃗ điểm AB) Cho pt đƣờng cao: lấy vecto Cho pt trung tuyến:... - T? ?? hợp, xác su? ?t Pt theo P C A ( ý dùng công thức cho lƣu ý điều kiện biểu thức) T? ?nh t? ?? hợp, xác su? ?t Nhi thức Newton: o dạng khai triển để t? ?nh t? ??n (T? ?m số hạng thứ…, T? ?m số hạng gi? ??a, T? ?m... (? ?t) Kiến thức quan t? ?m: Đại lượng hình học ứng dụng thường thấy hình gi? ??i t? ?ch Oxy ⃗ , dùng t? ?? số trọng t? ?m Cho trọng t? ?m: dùng công thức t? ??a độ trọng t? ?m, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Cho trực t? ?m: