XÁC SUẤT THỐNG KÊ: KỲ VỌNG TOÁN

KỲ VỌNG TOÁN Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên (dưới dạng bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất hay hàm mật độ xác suất) hoàn toàn xác định biến ngẫu nhiên Tuy nhiên, nghiên cứu biến ngẫu nhiên, đánh giá thông qua quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên ta khơng dễ dàng so sánh được, đánh giá biến ngẫu nhiên với đặc tính Vì cần có số thể thơng tin cô đọng biến ngẫu nhiên Các số gọi số đặc trưng biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên gồm có kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn số đặc trưng khác 2 Ý nghĩa kỳ vọng: Kỳ vọng biến ngẫu nhiên giá trị trung bình biến ngẫu nhiên (tính theo độ tập trung xác suất) Nó phản ánh giá trị trung tâm biến ngẫu nhiên Vậy kỳ vọng E(X) trung bình có trọng lượng Nếu lặp lại n lần độc lập phép đo đại lượng ngẫu nhiên X, ta nhận kết X1 , X , , X n Dưới số giả thiết định X1  X   X n hội tụ kỳ vọng E(X) n � � X n Vì với n đủ lớn ta xem X �E(X) Ví dụ 2: Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ (phân phối Cauchy) f (x)  (1  x ) Tính E(X) Ví dụ 3: Thời gian hai chuyến xe bến đại lượng ngẫu nhiên liên tục X (phút) có hàm mật độ xác suất: �x � f (x)  �50 � � x �(0, 10) x �(0,10) Tính thời gian chờ xe trung bình khách 4 Tính chất kỳ vọng tốn: a) E(c) = c (với c số) b) Nếu X, Y có kỳ vọng X �Y có kỳ vọng E(X �Y)  E(X) �E(Y) c) Nếu X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng E(X), E(Y) E(XY) = E(X).E(Y) d) E(cX)  cE(X) (với c số) Giả sử biến ngẫu nhiên Y hàm biến ngẫu nhiên X, Y  (X) có kỳ vọng E(X) Khi đó: + Nếu X có phân phối rời rạc P[X  x i ]  pi , i  1, 2, � E(Y)  E((X))  �(x i )p i i 1 + Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) E(Y)  E((X))  � (x)f (x)dx � � Ví dụ 4: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất X p 0,5 Tính E(X), E(2X  1), E(X ), E(e X ) 1 Giải: E(X)  �  �  2 E(2X  1)  2E(X)   �   2 1 E(X )  03 �  13 �  2 1 1 E(e )  e �  e �  (e  1) 2 X 0,5 Ví dụ 3: Thời gian hai chuyến xe bến đại lượng ngẫu nhiên liên tục X (phút) có hàm mật độ xác suất: �x x �(0, 10) � f (x)  �50 � x �(0,10) � Tính thời gian chờ xe trung bình khách Ví dụ 5: Tính E(X ) Giải: � x x 2 E(X )  � x f (x)dx  � x dx  50 50 � 10 10  50 Ứng dụng kỳ vọng toán: Khái niệm kỳ vọng toán lúc đầu xuất trị chơi may rủi để tính giá trị mà người chơi mong đợi nhận Hiện khái niệm áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực kinh doanh quản lý tiêu chuẩn để định tình cần lựa chọn nhiều chiến lược khác Trong kinh tế, kỳ vọng tốn đặc trưng cho suất trung bình phương án sản xuất, lợi nhuận trung bình danh mục đầu tư, trọng lượng trung bình tuổi thọ trung bình loại sản phẩm… Do kinh tế, kỳ vọng toán tiêu chuẩn để định có nhiều phương án lựa chọn khác Ví dụ 6: Bài tốn: Trị chơi “Bầu cua tôm cá” công hay thiên vị? Tại sao? Luật chơi: Giả sử đặt a (đồng) vào ô B Gieo ngẫu nhiên xúc xắc Nếu xuất i mặt B thưởng i lần a đồng (i = 1, 2, 3) Ngược lại không xuất mặt B số tiền đặt vào Trị chơi “Bầu cua tơm cá” cơng hay thiên vị? Giả sử đặt a (đồng) vào “ô cá” Gọi X số tiền thu sau lần tham gia (tức lần đặt tiền) X nhận giá trị: -a, a, 2a, 3a Ta xem việc gieo xúc xắc (xí ngầu) thực dãy phép thử Bernoulli, với n  3, p  �1 ��5 � 125 P[X  a]  C � �� � �6 ��6 � 216 1� �5 � 75 � P[X  a]  C3 � � � � �6 � �6 � 216 ��5 � 15 � P[X  2a]  C3 � �� � �6 ��6 � 216 ��5 � � P[X  3a]  C3 � �� � �6 ��6 � 216 Số tiền trung bình thu sau lần tham gia là: 125 75 15 17a E(X)  (a)  a  2a  3a  0 216 216 216 216 216 Kết luận: Trị chơi thiên vị cho người “cầm cái” Ví dụ 7: Một dự án xây dựng viện thiết kế C soạn thảo cho bên A B xét duyệt cách độc lập Xác suất để A B chấp nhận dự án xét duyệt tương ứng 0,7 0,8 Nếu chấp nhận dự án A phải trả cho C triệu đồng, cịn ngược lại phải trả triệu Với B, chấp nhận dự án phải trả cho C 10 triệu đồng, ngược lại phải trả triệu Chi phí cho thiết kế 10 triệu thuế 10% doanh thu Hỏi C có nên nhận thiết kế hay khơng? Hướng dẫn: Để định xem có nên nhận thiết kế hay khơng C phải tính số lãi kỳ vọng mà C nhận Gọi X số lãi mà C nhận sau trừ chi phí X nhận giá trị: -6,4; -3,7; -0,1; 2,6 Từ đó: E(X) (6, 4) �0,06  (3,7) �0,14  ( 0,1) �0, 24  2,6 �0,56  0, 53 Ta có E(X) = 0,53 > Vậy C nhận thiết kế  ...Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên (dưới dạng bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất hay hàm mật độ xác suất) hoàn toàn xác định biến ngẫu nhiên Tuy nhiên,... ngẫu nhiên gồm có kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn số đặc trưng khác 2 Ý nghĩa kỳ vọng: Kỳ vọng biến ngẫu nhiên giá trị trung bình biến ngẫu nhiên (tính theo độ tập trung xác suất) Nó phản ánh... hàm mật độ xác suất: �x � f (x)  �50 � � x �(0, 10) x �(0,10) Tính thời gian chờ xe trung bình khách 4 Tính chất kỳ vọng tốn: a) E(c) = c (với c số) b) Nếu X, Y có kỳ vọng X �Y có kỳ vọng E(X