Môn: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Biến cố ngẫu nhiên: Những sự việc, những sự kiện, những hiện tượng có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra và nó không phụ thuộc vào một kết quả, kết cục nào trong khi thực hiện một phép thử, một thí nghiệm là một biến cố ngẫu nhiên. Các biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu bởi các chữ in hoa: A, B, C, ... Biến cố sơ cấp: Mỗi kết quả, kết cục (loại trừ nhau) có thể xảy ra trong một phép thử, một thí nghiệm là một biến cố sơ cấp. Các biến cố sơ cấp thường được ký hiệu bởi các chữ thường: a, b, c, ...

XÁC SUẤT THỐNG KÊ BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN §1 Các khái niệm ví dụ 1.1  Các khái niệm Biến cố ngẫu nhiên: Những việc, kiện, tượng xảy khơng thể xảy khơng phụ thuộc vào kết quả, kết cục thực phép thử, , thí nghiệm biến cố ngẫu nhiên Các biến cố ngẫu nhiên thường ký hiệu chữ in hoa: A, B, C, Biến cố sơ cấp: Mỗi kết quả, kết cục (loại trừ nhau) xảy phép thử, thí nghiệm biến cố sơ cấp Các biến cố sơ cấp thường ký hiệu chữ thường: a, b, c, Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ Không gian biến cố sơ cấp: Tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử, thí nghiệm gọi Không gian biến cố sơ cấp phép thử, thí nghiệm ký hiệu Ω Biến cố chắn: Những việc, kiện, tượng xảy thực phép thử, , thí nghiệm biến cố chắn ký hiệu Ω Biến cố có: Những việc, kiện, tượng không xảy thực phép thử, thí nghiệm biến cố khơng thể có ký hiệu Ø Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ Ví dụ : Gieo xúc xắc kiện xuất mặt có chấm biến cố ngẫu nhiên; kiện xuất mặt có nhiều chấm biến cố khơng thể có; kiện xuất mặt có số chấm từ đến biến cố , chắn; tập hợp kiện xuất mặt chấm, chấm, chấm, chấm, chấm, chấm không gian biến cố sơ cấp Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ 1.2.  Mối quan hệ   -  Kéo theo: Biến cố A gọi kéo theo biến cố B ký hiệu A => B, có xảy biến cố A có xảy biến cố B   -  Xung khắc: Hai biến cố A, B gọi xung khắc với , ký hiệu A ∩ B = Ø, A B xảy -  Đối lập: Hai biến cố A, B gọi đối lập với ký hiệu B = Ā = Ω\A, thiết phải có A xảy B xảy ra, chúng không xảy Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ Ví dụ : Gieo xúc xắc, gọi A biến cố xuất mặt có số chấm nhau, B biến cố có tổng số chấm số chẵn, C biến cố có tổng số chấm số lẻ Khi ta có biến cố A kéo theo biến cố B, hai biến cố A, B khác (biến cố B không kéo theo biến cố A), hai biến cố A C xung khắc với nhau, hai biến cố , B C đối lập với   Ví dụ: Một hộp đựng bi đỏ bi xanh kích thước nhau, bốc ngẫu nhiên bi, gọi A biến cố bốc số lẻ bi đỏ, B biến cố bốc bi đỏ, C biến cố bốc khơng có bi đỏ Khi ta có: A => B; A ≠ B;  A∩C = Ø;  B∩C = Ø;  B = Ω\C;    C = Ω\B; Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ 1.3.  Các phép toán biến cố -  Phép cộng (hợp): Tổng hai biến cố A B biến cố C ký hiệu là: A+B (hoặc A∪B = C), xảy có biến cố A, B xảy -  Phép nhân (giao): Tích hai biến cố A B biến , cố C ký hiệu là: AxB (hoặc A∩B = C), xảy biến cố A, B xảy - Phép trừ (hiệu): Hiệu biến cố A B (theo thứ tự đó) biến cố C ký hiệu là: A-B = C (hoặc A\B), xảy biến cố A xảy biến cố B không xảy Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ 1.4.  Hệ đầy đủ biến cố - Một dãy n biến cố: A1, A2, A3, , An phép thử, lập thành hệ đầy đủ biến cố thoả hai điều kiện:  A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ∪ An = Ω  và  Ai ∩ Aj  = Ø    /i, j = 1, 2, , n; Ví dụ : Gieo hạt giống, gọi A biến cố hạt giống nảy mầm {A, Ā} hệ đầy đủ, biến cố Ví dụ:  Kiểm tra phân loại theo thứ tự lô hàng gồm n sản phẩm thành loại tốt xấu, ký hiệu Ak (k = 1, 2, 3, , n) biến cố kiểm tra sản phẩm thứ k thuộc loại xấu Hãy biểu diễn biến cố sau:     a) A = Cả n sản phẩm sản phẩm xấu     b) B = Có sản phẩm xấu     c) C = Cả n sản phẩm sản phẩm tốt     d) D = Có sản phẩm tốt     e) E = Có m sản phẩm đầu xấu lại tốt Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ 1.5.  Định nghĩa xác suất theo cổ điển   1.5.1 Định nghĩa: Trong phép thử, thí nghiệm ngẫu nhiên có n kết cục (loại trừ lẫn nhau) xảy với khả nhau, khơng gian biến cố sơ cấp có n biến cố sơ cấp: Ω = {a1, a2, , an} Nếu biến cố A có m biến cố sơ cấp thuận lợi (m ≤ n) xác suất biến cố ngẫu nhiến A ,xác định P(A) = m/n Tức là: P(A) = (số khả thuận lợi xuất biến cố A)/ (số khả xảy ra) - Ta thấy: Xác xuất biến cố chắn (vì m = n); xác xuất biến cố khơng xảy (vì m = 0); xác xuất biến cố A ≤ m/n ≤ (vì m ≤ n) Cho nên: P(Ω) = 1;    P(Ø) = 0;     ≤ P(A) ≤ với A biến cố Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ 1.5.2.  Các ví dụ Ví dụ 1:  Một hộp đựng hạt giống có 16 hạt tốt hạt xấu, bốc ngẫu nhiên hạt Tính xác xuất biến cố sau a) A = Trong hạt bốc có hạt tốt ,         b) B = Trong hạt bốc có hạt tốt         c) C = Trong hạt bốc có hạt tốt         d) D = Trong hạt bốc có nhiều hạt tốt - Giải:        Số khả xảy bốc ngẫu nhiên hạt 20 hạt C520 = 15504     a)  Số khả thuận lợi cho A là: C416.C14 = 7280         Ta có : P(A) = 7280/15504 = 0,4696 Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ     b) -   Số khả thuận lợi cho B là: C116.C44 + C216.C34+C316.C24+C416.C14+C516.C04 = 15504 Ta có : P(B) = 15504/15504 =     c) -   Số khả thuận lợi cho C là: C416.C14+C516.C0, = 11648 Ta có : P(C) = 11648/15504 = 0,7512     d) -   Số khả thuận lợi cho C là: C520.C04 - C516.C04 = 11136 Ta có : P(D) = 11136/15504 = 0,7183 Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ ii) σ - chưa biết: Giả thuyết H0 bị bác bỏ mức α nếu: Z  0  X * n S (X ) n  t Nếu n > 30 tα tra Xα bảng phân phối chuẩn N(0, 1) cho F(tα ) = - α  -  - Nếu n < 30 tα tra bảng phân phối Student với n - bậc tự mức ý nghĩa α bảng phía Chú ý: Nếu X   tốn đưa kiểm định H0 :μ=μ0 với H1 : μ>μ0 mức α cách làm tương tự ( tiêu chuẩn phía) Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ Ví dụ: Để kiểm tra nhà máy người ta kiểm tra 20 sản phẩm đo sau:  Kích thước Xi 34,8 34,9 35,0 35,1 35,3 Tần số ni Hãy kiểm định H0: μ=35 với H1: μ>35, mức α=5% Ta có α =5% => t(5%, 19) = 2,09 X  *2 2.34,8  3.34,  4.35  6.35,1  5.35,  35, 07 Sn ( X )  0, 027 23  65 X  0 35, 07  35 Z= * n 20  1,96  t  2, 09 Sn ( X ) 0,16 Chấp nhậh H0 Tức kích thước trung bình 35 Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ 3.4.2 KIỂM ĐỊNH XÁC SUẤT TRONG PHÂN PHỐI NHỊ THỨC  Giả sử dãy n phép thử Becnulli, biến cố A xuất X lần Gọi p = P(A) xác suất xuất biến cố A phép thử, p0 xác suất cho trước - Kiểm định giá trị xác suất phân phối nhị thức, ta có tốn: a) Tiêu chuẩn hai phía: H : p  p0 vói H1 : p �p0 múc  Giả thuyết H0 bị bác bỏ mức α Z  X  np0  x Z < Xα chấp nhận H0 np0 (1  p0 ) Trong đó:  Xα tra bảng phân phối chuẩn N(0, 1) cho F(Xα) = - α/2  Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ Ví dụ : Gieo 300 hạt giống ta thấy có 261 hạt nảy mầm Người ta nói tỷ lệ nảy mầm hạt giống 90% với mức 0,05 có khơng? Giải: Xem việc gieo 300 hạt giống 300 phép thử Becnulli p0 = 0,90;   p = 261/300 = 0,87 Ta có tốn kiểm định xác suất H : p  0,90 vói H1 : p �0,90 Ta có:  n = 300; X=261 ;  α = 0,05;  F(Xα) = 0,975 tra bảng phân phối chuẩn  Xα= 1,96 Z X  np0 np0 (1  p0 )  261  300 �0,90 300 �0,90 �0,10  1, 73  x  1,96 không đủ sở để bác bỏ giả thuyết H0 nên điều nhận định Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ b) Tiêu chuẩn phía: Nếu X/n > p0 ta kiểm định H : p  p0 vói H1 : p  p0 múc  Giả thuyết H0 bị bác bỏ mức α Z= X-np   np (1  p0 ) Z < Xα chấp nhận H0 Trong đó:  Xα tra bảng phân phối chuẩn N(0, 1) cho F(Xα) = - α  Trường hợp X/n < p0 ta làm tương tự ( tiêu chuẩn phía) Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ Ví dụ : Trong lơ hạt giống, người ta nói tỷ lệ hạt giống lép 0,02 Ta chọn ngẫu nhiên có hồn lại 480 hạt thấy có 42 hạt lép Xét xem tỷ lệ hạt lép người ta thơng báo với mức 0,05 có không? Giải: Xem việc kiểm tra 480 hạt giống 480 phép thử Becnulli p0 = 0,02;   p = 42/480 = 0,0875 Ta có tốn kiểm định xác suất H : p  0,02 vói H1 : p  0,02 Ta có:  n = 480;  ;  α = 0,05;  F(Xα) = 0,95 tra bảng phân phối chuẩn xa = 1,65 Nên ta có: X  np0 42  480 �0, 02 Z   10, 588  x  1, 65 np0 (1  p0 ) 480 �0, 02 �0, 98 Vậy giả thuyết H0 bị bác bỏ chấp nhận đối thyết H1 tỷ lệ hạt lép lớn 0,02, tức người ta thông báo sai Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ 3.4.3 SO SÁNH HAI XÁC SUẤT TRONG PHÂN PHỐI NHỊ THỨC  Cho  X1, X2, Xn  dãy Y1, Y2, Ym mẫu NNĐL Gọi X  Y số lần xuất biến cố A tương ứng dãy xác suất biến cố A phép thử dãy p1 = P(A) p2 = P(A) So sánh p1 p2 mức α, ta có toán kiểm định giả thuyết: H : p1  p2 vói H1 : p1 �p2 H0 bị bác bỏ mức α Z X Y  n m �1 � �X Y � �   1 � � � � � �n m � �n m � �  x X Y � � nm � Nếu Z Xα = 1,96 Z 80 90  100 125  1,387  x  1,96 � �1 �80 90 � � 80  90 �   1 � � � � � � 100 125 � 100 125 � � � � 100  125 � Chấp nhận giả thuyết H0, tức phương pháp gieo hạt giống có hiệu Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ 3.4.2 KIỂM ĐỊNH XÁC SUẤT TRONG PHÂN PHỐI NHỊ THỨC  Giả sử dãy n phép thử Becnulli, biến cố A xuất X lần Gọi p = P(A) xác suất xuất biến cố A phép thử, p0 xác suất cho trước - Kiểm định giá trị xác suất phân phối nhị thức, ta có tốn: a) Tiêu chuẩn hai phía: H : p  p0 vói H1 : p �p0 múc  Giả thuyết H0 bị bác bỏ mức α X  np0 Z   x Z 60 tα tra Xα bảng phân phối chuẩn N(0, 1) cho F(tα) = - α/2  -  Nếu n + m < 60 tα tra bảng phân phối Student với n + m - bậc tự mức ý nghĩa α (bảng phía ) Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ Ví dụ 2: Để kiểm tra trọng lượng đàn lợn trại lợn giống, người ta cân kiểm tra ngẫu nhiên trại thứ trại thứ hai thu kết sau: X 15,7 10,3 12,6 14,5 12,6 13,8 11,9 Y 12,3 13,7 10,4 11,4 14,9 12,6   Giả sử X Y có phân phối chuẩn phương sai So sánh trọng lượng trung bình lợn trại giống, với mức α = 0,05 Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ Giải: Ta thấy n = 7;  m = 6;  n + m < 60 Phương sai X Y chưa biết biết chúng nhau; với mức α = 0,05 Tra bảng ta có t(0,05 , 11) = 2,20 Mặt khác: X  Y  12,55 Z X Y 1 S  n m 15,  10,3  12,  14,5  12,  13,8  11,9  13, 06 S  2,89  13, 06  12,55 1 1,   0,97  t  2, 20 Vậy chấp nhận giả thuyết H0, tức trọng lượng trung bình lợn trại giống Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau ... 32.31 Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ 1.8.2.  Cơng thức xác suất tích biến cố  Từ định nghĩa xác suất có điều kiện ta suy xác suất tích biến cố sau: P( A  B) P( A.B) P(... Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ 1.10.2.  Định nghĩa Xác suất Nhị thức: Xác suất biến cố A xuất m lần dãy n phép thử Bernoulli Ký hiệu Pn(m; p) gọi Xác suất Nhị thức tính cơng thức:... sấp Tính xác suất P(A), P(B), P(C) Ths Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau XÁC SUẤT THỐNG KÊ Ví dụ 2: Gieo xúc xắc 50 lần, gọi A biến cố xuất mặt chấm Tính xác suất A xuất 15 lần Xác suất xuất