CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES

CƠNG THỨC XÁC SUẤT TỒN PHẦN VÀ CƠNG THỨC BAYES 1) Cơng thức xác suất tồn phần cơng thức Bayes: Giả sử A biến cố bất kỳ, dãy B1,B2, ,Bn lập thành hệ đầy đủ biến cố Bi I B j = ∅ i≠ j B1 U B2 U U Bn = Ω a) Công thức xác suất toàn phần: Nếu P( Bi ) > 0, i = 1,2, ,n P(A) = P(B1)P(A / B1) + P(B2 )P(A / B2 ) + + P(Bn )P(A / Bn ) n = ∑ P(Bi )P(A / Bi ) i =1 b) Công thức Bayes: Nếu P(A) > P(Bk )P(A / Bk ) P(Bk )P(A / Bk ) P(Bk / A) = = n P(A) ∑ P(Bi )P(A / Bi ) i =1 Ví dụ Giả sử có kiện hàng với số sản phẩm tốt tương ứng kiện hàng 20, 15, 10 Lấy ngẫu nhiên kiện hàng ( giả sử kiện có khả bị rút) từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm Biết kiện hàng có 20 sản phẩm a) Tìm xác suất để sản phẩm chọn sản phẩm tốt b) Giả sử sản phẩm chọn tốt Tìm xác suất để sản phẩm thuộc kiện hàng thứ Giải: Gọi biến cố: Bi = “Lấy kiện hàng thứ i”, i = 1, 2, A = “Sản phẩm chọn sản phẩm tốt” Ta thấy B1,B2,B3lập thành hệ đầy đủ biến cố a) Theo cơng thức xác suất tồn phần, ta có: P(A) = P(B1)P(A / B1) + P(B2)P(A / B2 ) + P(B3)P(A / B3) Ở xác suất có điều kiện tính trực tiếp Diễn đạt thành lời P(A / B1 ) Là xác suất lấy sản phẩm tốt với điều kiện sản phẩm kiện hàng xác suất để lấy sản phẩm tốt kiện hàng Theo ta có xác suất cần tính bằng: 20 15 10 = + + = 20 20 20 b) Theo cơng thức Bayes, ta có: P(B2 )P(A / B2 ) P(B2 / A) = P(A) 15 20 = = 3 Vấn đề khó khăn tính xác suất cơng thức tồn phần cơng thức Bayes phải nhận mơ hình tốn phải nhóm đầy đủ biến cố Ω Trước hết ta thấy nhóm đầy đủ khơng Vấn đề ta phải chọn nhóm đầy đủ có quan hệ với biến cố A phù hợp với mơ hình Nếu tốn đề cập đến hai phần, biến cố A liên quan trực tiếp đến phần sau nhóm đầy đủ cần tìm trường hợp xảy phần đầu Nếu phép thử gồm hai bước hay hai giai đoạn; biến cố A liên quan trực tiếp đến bước sau hay giai đoạn sau nhóm đầy đủ cần tìm trường hợp bước hay giai đoạn Ví dụ Với kiện hàng 1, ta chọn ngẫu nhiên kiện từ kiện lấy ngẫu nhiên sản phẩm thấy sản phẩm tốt Trả sản phẩm lại kiện hàng vừa lấy ra, sau lại lấy tiếp sản phẩm sản phẩm tốt Tìm xác suất để sản phẩm lấy từ kiện hàng thứ Ví dụ Tỉ số ô tô tải ô tô qua đường có trạm bơm dầu Xác suất ô tô tải qua đường nhận dầu 0,1; xác suất ô tô qua đường nhận dầu 0,2 Có tơ đến trạm để nhận dầu Tìm xác suất để tơ tơ tải Ví dụ Có kiện hàng gồm 12 sản phẩm 10 sản phẩm Trong kiện hàng có sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên sản phẩm kiện thứ cho vào kiện hàng thứ 2, từ kiện hàng thứ rút ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm rút lần thứ hai sản phẩm xấu 2 Định nghĩa: Hai biến cố A B gọi độc lập với nếu: P(AB) = P(A).P(B) Ta hiểu hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố ngược lại a) Tính chất Hai biến cố A B độc lập với khi: P(A / B) = P(A) P(B / A) = P(B) b) Tính chất Hai biến cố A B độc lập với điều kiện cần đủ A, B độc lập A , B độc lập A , B độc lập ...1) Cơng thức xác suất tồn phần cơng thức Bayes: Giả sử A biến cố bất kỳ, dãy B1,B2, ,Bn lập thành hệ đầy đủ biến cố Bi I B j = ∅ i≠ j B1 U B2 U U Bn = Ω a) Công thức xác suất toàn phần: Nếu... a) Theo cơng thức xác suất tồn phần, ta có: P(A) = P(B1)P(A / B1) + P(B2)P(A / B2 ) + P(B3)P(A / B3) Ở xác suất có điều kiện tính trực tiếp Diễn đạt thành lời P(A / B1 ) Là xác suất lấy sản phẩm... tốt với điều kiện sản phẩm kiện hàng xác suất để lấy sản phẩm tốt kiện hàng Theo ta có xác suất cần tính bằng: 20 15 10 = + + = 20 20 20 b) Theo cơng thức Bayes, ta có: P(B2 )P(A / B2 ) P(B2