Luận văn thạc sĩ phương pháp cực trị và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐÀO TH± NGÂN PHƯƠNG PHÁP CUC TR± VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC HÀ N®I - NĂM 2015 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐÀO TH± NGÂN PHƯƠNG PHÁP CUC TR± VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN Chuyên ngành PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so 60460113 Giang viên hưáng dan PGS TS NGUYEN ĐÌNH SANG Mnc lnc LèI Me ĐAU DANH MUC HÌNH VE BANG KÝ HIfiU KIEN THÚC CƠ BAN 1.1 Đ%nh nghĩa giá tr% lón nhat (GTLN), giá tr% nho nhat (GTNN)5 1.1.1 Giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat cna m®t hàm so 1.1.2 Giá tr% lón nhat, giỏ tr% nho nhat cna mđt hop 1.2 Các đieu ki¾n đn 1.3 Đ%nh lý ban .7 PHƯƠNG PHÁP TÌM CUC TR± 2.1 Phương pháp đao hàm - khao sát hàm so 2.1.1 Phương pháp 2.1.2 Ví du .10 2.1.3 Nh¾n xét ve phương pháp 12 2.1.4 Bài t¾p áp dung 13 2.2 Phương pháp mien giá tr% .14 2.2.1 Phương pháp .14 2.2.2 Ví du .14 2.2.3 Nh¾n xét ve phương pháp 18 2.2.4 Bài t¾p áp dung 18 2.3 Phương pháp bat thúc 19 2.3.1 Phương pháp .19 2.3.2 Ví du .21 2.3.3 Nh¾n xét ve phương pháp 27 i 2.3.4 Bài t¾p áp dung 2.4 Phương pháp lưong giác hóa 2.4.1 Phương pháp 2.4.2 Ví du 2.4.3 Nh¾n xét ve phương pháp 2.4.4 Bài t¾p áp dung 2.5 Phương pháp hình HQc 2.5.1 Phương pháp 2.5.2 Ví du 2.5.3 Nh¾n xét ve phương pháp 2.5.4 Bài t¾p áp dung 2.6 Phương pháp vectơ 2.6.1 Phương pháp 2.6.2 Ví du 2.6.3 Nh¾n xét ve phương pháp 2.6.4 Bài t¾p áp dung 2.7 Ví du tőng quát 2.7.1 Ví du 2.7.2 Bài t¾p áp dung 28 29 29 29 31 31 32 32 32 35 35 36 36 37 40 40 41 41 51 ÚNG DUNG CUA PHƯƠNG PHÁP CUC TR± 53 3.1 Úng dung cnc tr% đe giai phương trình bat phương trình 53 3.1.1 Phương pháp úng dung .53 3.1.2 Bài t¾p áp dung 57 3.2 Úng dung cnc tr% đe giai bi¾n lu¾n phương trình bat phương trình có chúa tham so 58 3.2.1 Phương pháp úng dung .58 3.2.2 Bài t¾p áp dung 64 3.3 Úng dung chúng minh bat thúc 65 3.3.1 Phương pháp úng dung 65 3.3.2 Bài t¾p áp dung 69 KET LU¾N 71 TÀI LIfiU THAM KHAO 72 LèI Me ĐAU Các van đe liên quan đen cnc tr% úng dung cna cnc tr% nhung tốn rat quan TRQNG có nhieu dang tốn gan vói úng dung thnc te nhat tốn HQc phő thơng Ví du tốn tìm đưịng ngan nhat, di¾n tích lón nhat, tőng chi phí nhat, loi nhu¾n cao nhat Đ¾c bi¾t, ve cnc tr% thưịng tốn khó, tőng hop moi kì thi tot nghi¾p, cao - đai HQc Cnc tr% bao gom cnc tr% tuy¾t đoi cnc tr% tương đoi Trong lu¾n văn khái ni¾m cnc tr% đưoc đe c¾p đen cnc tr% tuy¾t đoi (gom giá tr% lón nhat giá tr% nho nhat) Trong chương trình phő thơng khái ni¾m hàm nhieu bien chưa đưoc đe c¾p đen, lu¾n văn dù có nhung tốn nhieu bien se đưoc đưa ve đe giai theo toán cnc tr% mđt bien hoắc cna mđt hop Luắn "Phương pháp cEc tr% Éng dnng" se trình bày phương pháp cnc tr% đe tìm giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat cna hàm so, bieu thúc, t¾p hop úng dung cna phương pháp Tuy nhiên vi¾c chia phương pháp chi tương đoi, vói phương pháp có rat nhieu úng dung khác nhau, pham vi phương pháp tốn sơ cap giói han cna m®t lu¾n văn thac sĩ khơng the trình bày het tat ca phương pháp úng dung đưoc Do đó, lu¾n văn se đe c¾p sâu vào phương pháp ban úng dung thưịng g¾p tốn tốn phő thơng nhat Trên so ú, nđi dung luắn1vn oc chia lm ba chng: Chương 1: Kien thúc chuan b% Gom kien thúc ban ve giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat Chương 2: Phương pháp tìm cnc tr% Trình bày phương pháp: Phương pháp đao hàm - khao sát hàm so; phương pháp mien giá tr%; phương pháp bat thúc; phương pháp lưong giác hóa; phương pháp hình HQc; phương pháp vectơ Cuoi chương ví du tőng quát v¾n dung nhieu phương pháp khác Chương 3: Úng dung cna phương pháp cnc tr% Trình bày úng dung thưịng g¾p tốn HQc sơ cap: Úng dung cnc tr% đe giai phương trình bat phương trình; úng dung cnc tr% đe giai bi¾n lu¾n phương trình, bat phương trình có chúa tham so; úng dung cnc tr% đe chúng minh bat thúc Moi úng dung có ví du chi tiet t¾p áp dung Đe hồn thành lu¾n văn, trưóc het em xin bày to sn biet ơn sâu sac tói ngưịi thay kính men PGS TS Nguyen Đình Sang Ngưịi trnc tiep hưóng dan, truyen thu kien thúc, hưóng nghiên cúu giúp em hồn thành ln văn Em chân thành cam ơn thay, cô giáo khoa Tốn - Cơ Tin HQc, Trưịng Đai HQc Khoa HQc tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i, nhung ngưịi giang day, hưóng dan em q trình HQc, ban bè giúp đõ, đóng gúp ý kien, đng viờn em HQc tắp, nghiờn cúu hồn thành lu¾n văn M¾c dù no lnc, co gang hieu biet có han thịi gian han che mà van đe tương đoi r®ng nên em khơng tránh khoi thieu sót Kính mong thay cơ, ban bè góp ý đe em hồn thi¾n Em xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày tháng 10 năm 2015 HQc viên Đào Th% Ngân DANH MUC HÌNH VE Hình 1: Bang bien thiên hàm so y = |x3 + 3x2 − 72x + 90| Hình 2: Tam giác ABC đeu canh đơn v% Hình 3: Đo th% x + y = x2 + y2 = Hình 4: Đưịng trịn tâm O, đưịng kính AB, chúa OCAB Hình 5: Đo th% elip Hình 6: Bang bien thiên hàm so f (x) = √4 2x + √ √ 2x + − x BANG KÝ HIfiU N T¾p so tn nhiên N∗ T¾p so đem Z T¾p so nguyên R T¾p so thnc C T¾p so phúc GTLN Giá tr% lón nhat GTNN Giá tr% nho nhat [a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} (a; b) = {x ∈ R|a < x < b} [a; b) = {x ∈ R|a ≤ x < b} (a; b] = {x ∈ R|a < x ≤ b} Chương KIEN THÚC CƠ BAN 1.1 1.1.1 Đ%nh nghĩa giá tr% lán nhat (GTLN), giá tr% nho nhat (GTNN) Giá tr% lán nhat, giá tr% nho nhat cua mđt hm so ã Cho hm so y = f (x) xác đ%nh t¾p D ⊂ R So M đưoc GQI GTLN cna hàm so y = f (x) D neu đong thòi thoa mãn hai đieu ki¾n: f (x) ≤ M, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f (x0) = M Ký hi¾u: M = max f (x) x∈D • Cho hàm so y = f (x) xác đ%nh t¾p D ⊂ R So M đưoc GQI GTNN cna hàm so y = f (x) D neu đong thòi thoa mãn hai đieu ki¾n: f (x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f (x0) = m Ký hi¾u: m = f (x) x∈D Chú ý: Ta có the thay D ⊂ R t¾p xác đ%nh cna hàm f (x) bang t¾p [a, b] dan đen khái ni¾m max f (x) , f (x) [a,b] 1.1.2 [a,b] Giá tr% lán nhat, giá tr% nho nhat cua mđt hap ã Cho U l mđt t¾p cna t¾p so thnc R So α đưoc GQI c¾n cna U , ký hi¾u α = sup U , neu đong thòi thoa mãn hai đieu ki¾n sau: α ≤ x, ∀x ∈ U ∀ε > 0, ∃xε ∈ U cho: α − ε < xε ≤ α 3.3 3.3.1 Úng dnng chÉng minh bat thÉc Phương pháp Éng dnng Chúng minh bat thúc m®t dang cna tốn cnc tr% mà biet giá tr% cnc tr% can tìm phương phương pháp giai đe có đưoc giá tr% Ta có the sn dung trnc tiep phương pháp biet ho¾c phai v¾n dung lúc nhieu phương pháp Nhieu toán đưoc giai bang cách bien đői bieu thúc cho đieu ki¾n ve hàm so xác đ%nh t¾p D đó, sau ta tìm GTLN, GTNN cna hàm so D đe rút đieu can chúng minh Ví dn 3.3.1 Cho a, b, c dương thóa mãn a2 + b2 + c√ = Chúng minh rang: a b c 3 ≥ + + b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 Cách giai Bien đői ve trái thành b c a + + 1− 1− − c2 b2 a2 Xét f (x) = x (1 − x2 ), x ∈ (0; 1) Ta có f J (x) = − 3x2 = ⇔ x = 3 Tính f (0) = f (1) = 0; f √ Σ = √ Khi < x (1 − x2 ) ≤ √ √ 3 Suy ra: V¾ y x ≥ − x2 b c a + + b2 + c2 + a2 + a b2 c2 √ 3 2 x √ ≥ 3 (x2 + y2 + z2) = √ 3 √ Dau bang xay chi a = b = c = Ví dn 3.3.2 Cho a, b, c ba so dương Chúng minh rang: 1 1Σ Σ Σ a+ b b+ c c+ a 2 + + ≤ 62 a+b+c a+b+c a+b+c Cách giai 1 a+ b b+ c c+ a Đ¾t T = Σ + Σ + Σ Khi đó: a + b + a+b+ a+b+ 2 c c1 c1 Σ a+ Σ b + Σ   T = c + c+ + a b  a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c  Áp dung bat thúc Cauchy cho ba c¾p so ta có: a+ b b+c c+a T ≤ (12 + 12 + 12) + + Σ = a+b+c a+b+c a+b+c 1 Σ Σ a+ b b+ c c+ a V¾y T = = = a+b+ Σ a+b+ a+b+ c c c =6 Dau bang xay chi khi: 1 Σ Σ a+ b b + c 2 = = a+b+ a+b+ a+b+ c c ⇔c a = b = c Σ c+ a Ví dn 3.3.3 (MO Romanian 2004) Chúng minh rang vái ba so dương a, b, c, ta đeu có: a b c 27 bc (c + a) ≥ + ca (a + b) + ab (b + c) (a + b + c) Cách giai b c a + + Ta thay: bc (c + ca (a + ab (b + c) a) b) a b c + + = bc ca ab √ √ √ a b c c+ a+ a+ b+ b + c bc (c + ca (a + ab (b + a) b) c) Áp dung bat thúc Cauchy cho ba c¾p so ta có: c a ≤ b ab bc + ca + Σ a b c + + Σ (a + b + c) bc (c + a) ca (a + b) ab (b + c) Suy ra: Đ¾t M = 2M (a + b + c) ≥ a b c + + Σ bc ca ab M¾t khác, áp dung bat thúc AG ta có: Σ Σ c 1 b 27 +a + ≥3 + + ≥ ca bc ab a b c a+b+ c 27 a V¾y b bc (c + a) + ca (a + b) + ≥ c) chi a = b = c ab (b + 2, (a + b + c) dau bang xay Ví dn 3.3.4 Cho ba so dương a, b, c: a2 + b2 + c2 = Chúng minh rang: Cách giai 14 ab + bc + ca + ≤ a+b+c t2 − Đ¾t t = a+b+c ⇒ ab+bc+ca = nên ≤ t2 ≤ √3 ≤ t ≤ Ta xét: +c ≤ Vì ≤ ab+bc+ca ≤2a +b t2 + Σ√ Σ ⇔ ab + bc + ca + = f (t) = 3; − , ∀t a+b+c t∈ √ t3 − J Σ 3; √ Ta có f (t) nên f (t) đong bien > 0, ∀t Σ 3; 3Σ 3Σ t2 = ∈ Suy ra: ab + bc + ca +≤ max f (t) = f (3) = a + b + c [√3;3] Dau bang xay chi khi: a + b + c = a=b=c ⇔ a = b = c = 14 Ví dn 3.3.5 Cho so dương a, b, c, d thóa mãn a + b + c + d = Chúng minh rang: 1 1 + Σ + Σ + Σ + Σ ≥ 54 a b c d Cách giai Ta khai trien ve trái: 1 1 1 1 Σ + + + VT = + + + + Σ + + a b a b c d a a b + c + d c b c d d Σ 1 1 + + + + ab ab bc ac abc c d d d d Áp dung bat thúc AG cho tùng cum ta đưoc: + √ + V T ≥ √4 + (abcd)3 (abcd)3 abcd abcd √6 Đ¾t t = d √4 abcd ≤ a+b+c+ = 14 , t ∈ 0; 14 Σ, đó: ≥ + 4.4 + 6.4 + 4.4 + 44 = 54 VT≥ 1+ + + + t t2 t3 t4 V¾y ta có đieu can chúng minh, dau bang xay chi khi: a+b+c+d= 1 ⇔ a=b=c=d= a=b=c=d Su dung phương pháp vectơ chúng minh bat thúc Ví dn 3.3.6 (Đe thi Đai HQc 2003 - A) Cho x, y, z ba so dương thóa mãn x + y + z ≤ Chúng minh rang: 1 P = x + √ 2+ 2+ + y + z ≥ 82 x y2 z2 Cách giai →−a = Đ¾t đó: x Σ Σ x, →− Σ , b = y P = |→−a | + | →−c = y, z z, Khi →− →− b | + |→−c | ≥ |→−a + b + →−c | Đieu tương đương: 1 1Σ2 x + + y2 + + z2 + ≥ (x + y + z)2 + + + x 2 x y z y z Suy ra: P≥ (x + y + z)2 Σ + 1 + + √ 3+ Σ 3 xy Σ ≥ ‚., z xyz Σ2 Đ¾t t = (xyz) , ≤ t t Xét: ≤ Khi P ≥ x+y+z + t ≤ 1 f (t) = t + , t ∈ Σ0; Σ, t 1 Ta có f J (t) = − < 0, ∀t ∈ Σ0; Σ Hàm f (t) ngh%ch bien Σ0; Σ x y z t2 Suy ra: 82 f (t) ≥ f Σ = 9 √ V¾y P 82, dau bang xay chi x = y = z = ≥ Cách giai Ta có P ≥ (x + y + z) + x + P = 81 (x + y + z)2 + x + + y z 1 Σ2 Suy ra: 2 − 80 (x + y + z) + Σ y z Áp dung bat thúc AG ta có: P ≥ 18 (x + y + z) + + Σ− 80 (x + y + z)2 ≥ 162 − 80 = 82 x y z √ V¾y P ≥ 82, dau bang xay chi x = y = z = 3.3.2 Bài t¾p áp dnng Bài 1: Cho ba so thnc a, b, c thu®c (0; 1) Chúng minh rang: a b c + + + (1 − 1) (1 − b) (1 − c) < b+c+1 c+a+1 a+b+1 Bài 2: Chúng minh rang vói MQI a, b, c > thoa mãn abc = 1, ta đeu có: 1 1 a3 (b + c) ≥ + b3 (c + a) + c3 (a + b) (ab + bc + ca) Bài 3: Cho a, b > 1, chúng minh rang: a3 + b3 − (a2 + b2) ≥ (a − 1) (b − 1) Bài 4: (IMO 1995) Cho a, b, c > thoa mãn abc = Chúng minh rang: a2 b2 + + c2 ≥ b+c c+a a+b Bài 5: (Đe thi Đai HQc 2005 - A) Cho x, y, z so dương thoa mãn: 1 = + + x y z 1 ≤ + + Chúng minh 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z rang Bài 6: (Đe thi Đai HQc 2005 - B) Chúng minh rang ∀x ∈ R, ta có: Σx Σx Σx 12 ≥ 3x + xx+ + 15 + 20 Khi thúc xay ra? Bài 7: (Đe thi Đai HQc 2005 - D) Cho so dương x, y, z thoa mãn xyz = Chúng minh rang: √ + x3 + y3 xy + √ + y + z3 yz + √ + z3 + x3 Khi thúc xay ra? zx √ ≥ Bài 8: (Đe thi Đai HQc 2009 - A) Chúng minh rang vói MQI so thnc dương x, y, z thoa mãn x (x + y + z) = 3yz, ta có: (x + y)3 + (x + z)3 + (x + y) (x + z) (y + z) ≤ (y + z)3 KET LU¾N Sau thịi gian HQc t¾p tai khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQ c Tn nhiên - ĐHQGHN, đưoc thay cô trnc tiep giang day đ¾c bi¾t sn hưóng dan nhi¾t tình cna thay PGS TS Nguyen Đình Sang, em hồn thành lu¾n văn "PHƯƠNG PHÁP CUC TR± VÀ ÚNG DUNG" Lu¾n văn đat đưoc m®t so ket qua sau: Trình bày, phân tích, áp dung phương pháp cnc tr% gom: • Phương pháp đao hàm - khao sát hàm so • Phương pháp mien giá tr% • Phương pháp bat thúc • Phương pháp lưong giác hóa • Phương pháp hình HQc • Phương pháp vectơ Trình bày úng dung cnc tr% thưịng g¾p tốn HQc phő thơng: • Úng dung cnc tr% đe giai phương trình bat phương trình • Úng dung cnc tr% đe giai bi¾n lu¾n phương trình bat phương trình có chúa tham so • Úng dung cnc tr% đe chúng minh bat thúc Các phương pháp đeu quan TRQng toi ưu cho nhung toán khác Thnc hành nhieu, thành thao phương pháp se giúp có lna chQn phương pháp nhanh, phù hop nhat cho tốn tìm cnc tr% biet cách v¾n dung linh hoat phương pháp cnc tr% vào toán úng dung Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Văn M¾u, 2006, Bat thúc áp dnng, Nhà xuat ban Giáo Duc [2] Nguyen Vn Mắu - Nguyen Vn Tien, 2009, Mđt so chuyên đe Đai so boi dưãng HQc sinh giói THPT, Nhà xuat ban Giáo Duc Vi¾t Nam [3] TS.Lê Xuân Sơn - ThS Lê Khánh Hưng, 2014, Phương pháp hàm so giai tốn - Phương trình, Bat phương trình, H¾ phương trình, Chúng minh bat thúc, Giá tr% lán nhat giá tr% nhó nhat,Nhà xuat ban Đai HQc Quoc Gia ... sau: • Các phương pháp tìm cnc tr%: Phương pháp đao hàm - khao sát hàm so, phương pháp mien giá tr%, phương pháp bat thúc, phương pháp lưong giác hóa, phương pháp hình HQc, phương pháp vectơ... khao sát hàm so; phương pháp mien giá tr%; phương pháp bat thúc; phương pháp lưong giác hóa; phương pháp hình HQc; phương pháp vectơ Cuoi chương ví du tőng qt v¾n dung nhieu phương pháp khác Chương... 2.3.1 Phương pháp .19 2.3.2 Ví du .21 2.3.3 Nh¾n xét ve phương pháp 27 i 2.3.4 Bài t¾p áp dung 2.4 Phương pháp lưong giác hóa 2.4.1 Phương pháp