Luận văn thạc sĩ tính đa điều hòa dưới của nghiệm của phương trình fefferman và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± LUA TÍNH ĐA ĐIEU HỊA DƯéI CUA NGHIfiM CUA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ÚNG DUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà N®i - 2019 NGUYEN TH± LUA TÍNH ĐA ĐIEU HỊA DƯéI CUA NGHIfiM CUA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ÚNG DUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60460102 Cán b® hưáng dan: PGS TS NGUYEN THAC DŨNG LèI CAM ƠN Đe hồn thành đe tài lu¾n văn, em xin gui lịi cam ơn sâu sac tói thay giáo hưóng dan Nguyen Thac Dũng t¾n tình giúp đõ em suot q trình nghiên cúu lu¾n văn trnc tiep hưóng dan em hồn thi¾n đe tài lu¾n văn tot nghi¾p Thay ln dành thịi gian tâm huyet vào cơng vi¾c, the thay ln đ¾t niem tin vào HQc trị khơng ngùng mong moi HQc trị cna ln tien b®, lĩnh h®i đưoc nhieu kien thúc Em xin bày to lòng cam ơn tói thay giáo, giáo khoa Tốn Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i giang day giúp đõ em có m®t mơi trưịng HQc t¾p tot suot thịi gian HQc t¾p tai trưịng Cuoi xin cam ơn bo me nng hđ viắc HQc tắp; cam n ban bố, anh ch% em đong nghi¾p ln giúp đõ, c v v đng viờn HQc tắp, cụng viắc q trình hồn thi¾n lu¾n văn.Tơi xin cam ơn anh ch% ban lóp cao HQc Toỏn ó nhiắt tỡnh giỳp v đng viờn tơi suot q trình HQc t¾p tai lóp Hà N®i, ngày 21 tháng 11 năm 2019 HQc viên Nguyen Th% Lna Mnc lnc LèI CAM ƠN LèI Me ĐAU Kien thÉc ban 1.1 Mien siêu gia loi 1.1.1 Hàm đa đieu hịa dưói 1.1.2 Mien gia loi 1.1.3 Toán tu Laplace-Beltrami đa tap Kăahler 1.1.4 Mien siêu gia loi 1.2 Công thúc xap xi 6 7 11 Phương trình Fefferman mien siêu gia loi Éng dnng 16 2.1 Hàm đa đieu hịa dưói ch¾t mieu siêu gia loi .17 2.2 Moi liên h¾ giua mien siêu gia loi mien loi 19 2.3 Các phan ví du 23 KET LU¾N 30 Tài li¾u tham khao 31 LèI Me AU Cho D l mđt mien trn, b% chắn, gia loi Cn, u ∈ C2(D) m®t hàm giá tr% thnc H(u) ma tr¾n Hessian phúc cõ n× n cna u Ta biet rang u đa đieu hịa dưói ch¾t D neu H(u) xác đ%nh dương D Khi u đa đieu hịa dưói chắt D, u cam sinh mđt metric Kăahler n Σ ∂ 2u g = g[u] = i,j=1 ∂zi∂zj (1) dzi ⊗ dzj Ta nói rang metric g Einstein neu có đ® cong Ricci ∂ log det[gij ] ∂zk ∂zl Rkl = − (2) thoa mãn phương trình: Rkl = cgkl vói hang so c Khi c < 0, sau chuan hóa, ta có the gia su c = −(n + 1) Cheng Yau [2] chúng minh rang phương trình Monge-Ampère det H(u) = e(n+1)u , z ∈ (3) D u = +, D z cú mđt nghiắm a ieu hũa dúi chắt nhat u C(D) Hn nua, metric Kăahler n Σ ∂ 2u g[u] = dzi ⊗ dzj (4) i,j=1 zizj cam sinh boi u l mđt metric Kăahler-Einstein đn D Khi D gia loi ch¾t, tốn ton tai nghi¾m nhat nghi¾m đưoc nghiên cúu boi Fefferman [3] Feffermann xét phương trình dưói dây det J(ρ) = 1, z ∈ D (5) ρ = 0, Σ z∈ ∂D Σ Σ J(ρ) = −det ρ ∂ρ , ∂ρ = (∂ρ)∗ H(ρ) ∂ρ , , ∂z ∂ρ (∂ρ)∗ = ∂ρ Σ ∂ρ , , ∂z1 ∂zn ∂z n Phương trình đưoc GQI phương trình Feffermann Fefferman tìm t MUC LUC oc mđt nghiắm < trờn D cho u = − log(−ρ) đa đieu hòa dưói ch¾t D Tác gia chúng minh tính nhat đưa cơng thúc nghi¾m xap xi cho (5) Neu quan h¾ giua ρ u đưoc cho boi ρ(z) = −e−u(z), z ∈ D (6) (3) (5) trùng Hơn nua, có the chúng minh rang (xem [8]) det H(u) = J(ρ)e(n+1)u (7) Khi D mien trơn, b% ch¾n, gia loi ch¾t, Cheng Yau [2] chúng minh rang ρ ∈ C n+3/2 (D) Trên thnc te, ngưịi ta có ρ ∈ C n+2−G (D) vói s > đn nho Đieu khang đ%nh đưoc suy tù m®t cơng thúc mo rđng tiắm cắn cho thu oc boi Lee Melrose [6]: ∞ Σ ρ(z) = r(z) a0 (z) + aj(rn+1log(−r))jΣ , (8) j= r ∈ C∞(D) hàm xác đ%nh bat kì cho D, aj ∈ C∞(D) a0(z) > ∂D Nhieu nghiên cúu [8, 9, 13, 14] chúng to rang toán dưói rat thú v% quan TRQNG Bài tốn 0.1 Gia su D mien trơn, b% ch¾n, gia loi ch¾t Cn Cho ρ nghi¾m cua phương trình Fefferman (5) cho u = −log(−ρ) đa đieu hịa dưái ch¾t D V¾y bő sung đieu ki¾n D ta có ρ đa đieu hịa dưái ch¾t D Bang cách giói thi¾u khái ni¾m mien siêu gia loi báo [7], Song Ying Li ó a mđt ắc trng húa cho mien D Cn cho câu tra lịi cna tốn Ngồi ra, tác gia nghiên cúu giá tr% cnc đai cho giá tr% riêng "nhó nhat" ("bottom of the spectrum") mien Muc tiêu cna lu¾n văn trình bày lai kêt qua báo nói cna Li Lu¾n văn bao gom hai chương Trong chương mđt, chỳng tụi giúi thiắu lai cỏc khỏi niắm mien gia loi, hàm xác đ%nh, tốn tu LaplaceBeltrami Đ¾c bi¾t, chúng tơi giói thi¾u khái ni¾m mien siêu gia loi chúng minh m®t ket qua xap xi cho hàm xác đ%nh Ket qua se đưoc dùng chương hai đe chúng minh ket qua Như nói o trên, chương hai se t¾p trung vào phân tích ket qua cna Li Cu the, MUC LUC Đ%nh lý 2.2 chi rang mien siêu gia loi lịi giai cna Bài tốn 0.1 ln ton tai Ket qua cuoi lu¾n văn Đ%nh lý 2.1 đưa moi liên h¾ giua khái ni¾m mien siêu gia loi mien loi Do han che ve kien thúc ban nên ban lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót, tác gia rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna thay phan bi¾n ban ĐQc đe nâng cao trau doi kien thúc cna Các thao lu¾n góp ý trau đői đưoc tác gia cam ơn trân TRQNG Chương Kien thÉc ban 1.1 1.1.1 Mien siêu gia loi Hàm đa đieu hòa dưái Trong phan ta se đưa m®t so tính chat ban cna hàm đa đieu hịa dưói Trưóc het ta se nhac lai m®t vài đ%nh nghĩa đ%nh lý cho hàm đa đieu hịa dưói, chúng minh cna đ%nh lý ta có the xem Kenzo Adachi ([4], phan 1.2 Đ¾c trưng cna tính gia loi) Đ%nh nghĩa 1.1 Gia su Ω t¾p má Cn , u : Ω → R Hàm u đưac GQI đa đieu hòa dưái neu (i) u nua liên tnc Ω, túc vái MQI c ∈ R : {z ∈ Ω : u(z) < c} t¾p má (ii) Vái bat kì z ∈ Ω ω ∈ Cn u(z + ζω) đieu hịa dưái {ζ ∈ C : z + ζω ∈ Ω} Ta ý m®t vài tính chat ban cna hàm đa đieu hịa dưói sau Đ%nh lý 1.1 Cho Ω ⊂ Cn, u : Ω → R, u ∈ C2(Ω) Khi đó, n Σ (i) u đa đieu hòa dưái neu chs neu j,k= ∂2u ∂zj∂zk (z)ωjωk ≥ 0, ∀z ∈ Ω, ω = (ω1, , ωn) ∈ Cn Σ (ii) u đa đieu hịa dưái ch¾t neu chs neu n j,k= ω = (ω1, , ωn) ∈ Cn ∂2u ∂zj∂zk (z)ωjωk > 0, ∀z ∈ Ω, Chương Phương trình Fefferman mien siêu giá loi úng J | |gdnng (|z1 | )| + | g(|z | ) + JJ 2 12|z1 4|z1 ∂(|z1| g(|z1| )).< 1, ∂x 1| < ∂(|z1|∂yg(|z 4, )) 25 | 2|g (|z1 | )| ≤ Chương Phương trình Fefferman mien siêu giá loi úng dnng 26 ∂(|z1| g(|z1| )).< ∂x1∂y1 Do đó, D2r(z) = 2In + D2(|z1|4g(|z1|2)) xác đ%nh dương R4 Vì v¾y, D loi ch¾t Hơn nua, H(r)(0) = I2 V¾y nên detH(ρD)(0) < Tai z = 0, ta có ∂r ∂z2 = −1, rkj(0) = rijk(0) = 0, Boi (2.10), ta suy rang ∂ log J ( r) ∂zj (0) = vói ≤ 1j Theo (2.13) (2.17), |∂r|2 ta có Do đó, ≤ i, j, k ≤ 32 −1 , E(r)(0) r1111(0) = −32e ˜= e r1111 = − −1 detH(ρ 32 )J(r)2/3 = − − < 6e Suy ρD khơng đa đieu hịa dưói D D □ Đe chúng minh rang tính siêu gia loi khơng suy tính loi, ta có phan ví du sau Ví dn 2.2 Cho n 21 ≥ 2, α = < C ≤ (9 − 8α)(1 + α) , ta lay 256 20 n r(z) = |z|2 + 2Rezn + αRe Σ n z2 + C j j=1 đ¾t Σ |zj|4 j=1 D = {z ∈ Cn : r(z) < 0} Khi D siêu gia loi, D không loi Chúng minh Tai điem z = (0, 0, , 0)∈ ∂D, ta có tiep xúc ∂D vói ≤ j ≤ n − Chú ý rang ∂2r ∂ ∂xj , ∂ ∂ ∂yn vectơ ∂yj ∂y2 = − 2α = −2(α − 1) < 0, n Chương Phương trình Fefferman mien siêu giá loi úng dnng ta có the de dàng chúng minh rang hàm ∂D không loi tai z = Do đó, ∂D khơng loi Tuy nhiên, H(r) = In + 4CDiag(|z1|2, , |zn|2), Diag(|z1|2, , |zn|2) ma tr¾n đưịng chéo vói phan tu đưịng chéo lan lưot |z1|2, , |zn|2 Khi ∂2r ∂zi∂zj ∂zk ∂zl ∂3r (z) = 4Cδijδklδik, ∂ 2r = 4Cδklδkjzj, ∂zk ∂zl∂zj ∂zi∂zj = (α + 2Czj )δij Vói moi i, ta tính đưoc n ri , |∂r|2 = ri = i r + 4C|zi|2 r ri = Σ i=1 |r i | = + 4C zi || ∂D, ta có Σ n δ Σ rr ∆˜ = + 4C|z |2 i j − (1 + 4C|z |2)(1 + 4C|z | i j 2)|∂r|2 i j i,j=1 ∂2 ∂z ∂z j r i j Chú ý rang neu z ∈ D nΣ 2xn + (1 + α) n x2 + (1 − α) j j=1 < Σ j y2 + C Σ j (x2j + y )2 j=1 Đieu suy rang 2x + (1 + α)x2 < ⇔ − n Do n n −1 C|z | − (α − 1)|z 1+α Ta se chúng minh rang 26 k < (2.22) |2 < k 1+α (2.23) n Chương Phương trình Fefferman mien siêu giá loi úng dnng 4C|zk (9 − 8α)(1 + α) < α < neu < C | ≤ ,1 ≤ Th¾t v¾y, gia su ngưoc lai, 4C|zk |2 ≥ 81 v¾y |zk| 2< k Khi đó, C|z | − (α− 1)|zk (1 + α)(9 − 8α) 27 256 (2.24) |2 < 1+α Chương Phương trình Fefferman mien siêu giá loi úng dnng Đieu mau thuan vói đieu đi¾n 4C| zk |2 ≥ Chú ý rang Vì v¾y, khang đ%nh akl[r]rl = vói MQI ≤ k ≤ n Do đó, ta có Σ Σ kl k l kl j r r r − r rikr rj |∂r| i l rkr l Σ k l 2 r r (α + 2Czk)(α + = r − |∂r| Σ 2Czl ) Σ2 k l kl r r kz − 2α|z | = r − k rkrl α + + 4C|zk|2 2C |∂r| Σ z −2α z | |l + 4C|zl|2 × α + 2C l rk r l = rkl − Σ rkrlα2 |∂r| + 4CαRe rkrl |∂r|2 rkl − k rr r r Σ k l |∂r|2 2 Σz k + 4C|zk|2 − 2α|z |kl (z2k − 2α|zk|2)(z2l − 2α|zl|2) rkr l (1 + 4C|zk|2)(1 + 4C|zl|2) + r−kl 2 4C (2α + 1)2|zk|4 kk 4C |rk| | 2)2 ≤ (1 + r 4C|zk (2α + 1)2 ≤ |∂r| , 256 rkl − r k rl |∂r| rkk − rkr k ∆˜ rkl = 4C ∆˜ rk = 4C |∂r| r ∆˜ |zk |2 = rkk − 4C rkrk rk˜k 27 rk r k |∂r|2r Σ2 , Σ Σ Chương Phương trình Fefferman mienΣsiêu giá loi úng − dnng zk |∂r|2 rk = (1 + 2C|zk|2)zk + 2αzk Do boi (2.22) 28 Chương Phương trình Fefferman mien siêu giá loi úng dnng k k Re r ∆˜ rk = 4C Re k k r zk −r r |∂r| Σ Σ rkk rkk ≤ 4C r k rk − | ∂r|2 28 rkk (1 + 2α + 2C|zk| Chương Phương trình Fefferman mien siêu giá loi 2úng )|zk|dnng 2 =4C|zk| (1 + 2α + 2C|zk| ≤)2α + 1, (1 + 4C|zk|2)2 Σ rkrl kl r − ˜ ˜ Σ kl ∆rk∆rl = 16C r krl r − r r Σ zkzl k kr |∂r| r kk − |∂r| ll ≤ 16C r k rk rk zkzl l − ≤ 4C kk + 4C|z k | r − rkrk r − |∂r|2 rkr l rpjrijkrpql = rirq |∂r| 16C Σ2 rkl − Σ riq rk r l − |∂r| |∂r|2 kl − |∂r| Σ l l l r r Σ |∂r| r − |∂r|2 l kk r 4C|zk|2 Σ rlrl rlkzkδikδjkzlδplδql Σ 2 Σ |∂r|2 Σ = 16C2|zk|2 rkk − r k rk |∂r|2 rkk = 4C Do đó, tù (2.19) ta có 29 4C|zk| + 4C| zk|2 k k rkk − r r |∂r|2 Σ2 Chương Phương trình Fefferman mien siêu giá loi úng dnng kl Σ rkrl − ˜ r |∂r| kl Σ rirq r krl iq 4C|zk|2 kk k k rr 29 Σ2 Σ pj r − ∆rkl − r − |∂r| r rijkrpql |∂r| Chương Phương trình Fefferman mien siêu giá loi úng − 4C r − dnng + 4C|z |2 |∂r|2 rkk − =4C k Σ2 − 4C 1+ 4C| zk|2 rkrk2 |∂r| 4C|zk|2 kk − 4C k k rr 4C|zk|2 k k Σ2 rkk − r r |∂r| Σ2 − r k + 4C|z |∂r|2 Σ | Σ2 kk 4C| ≥ k k − r rr zk| =4C − |∂r|2 1+ 4C| zk|2 Do ˜ 2Re rk ∆ rk − ak˜l [r] E(r) ˜ ≥− rik r i n+1 r r j jl 1+ 2α ≥− 4(n + 1) (n + 1)| ∂r|2 (2α + 1)2 − 256(n + 1) 1− ri rk r ik Re n+ i i 2 r r (α + 2Cz ) |∂r|2 + E˜(r) ≥ − Re j n+ |∂r|2 (2α + 1)2 2α+ − 4(n + 1) − 256(n + 1) 2 + 2α (2α + 1) riir2rii(α + n + Re i 2Cz ) i + 1) 256(n + 1) − 4(n |∂r|2 − 2α − + 2α − (2α + 1)2 ≥1− n+ 4(n + 1) 256(n + 1) 10α + 10 >1− − 4(n + 1) 256(n + 1) 23 ≥1− − >0 24 25 =1− neu n ≥ α 21 20 Do đó, theo (1.1) Đ%nh nghĩa 1.7 (2.12) (2.13), □ D siêu gia loi ch¾t 30 KET LU¾N Lu¾n văn trình bày lai ket qua sau báo [7] • Chúng minh rang nghiắm cna phng trỡnh Fefferman trờn mđt mien trn, b% ch¾n, gia loi ch¾t D Cn đa đieu hịa dưói D neu chi neu D l mien siờu gia loi ã Luắn a mđt bi ieu kiắn can v n e cỏc mien siêu gia loi mien loi Bên canh đó, lu¾n văn chi rang khái ni¾m khơng tương đương bang cách xây dnng phan ví du mien loi không siêu gia loi ngưoc lai D siêu gia loi không loi 30 Tài li¾u tham khao [1]S Y Cheng, Eigenvalue comparison theorems and its geometric application, Math Z., 143, 289–297 (1975) [2]S Y Cheng and S T Yau, On the existence of a complex Kăahler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman’s equation, Comm Pure Appl Math 33, 507–544 (1980) [3]C Fefferman, Monge-Ampère equations, the Bergman kernel, and geometry of pseudoconvex domains, Ann Math 103, 395–416 (1976) [4]Kenzo Adachi, Several complex variables and integral formular, Nagasaki University, Japan , (2007) [5]L Hormander, An introduction to Complex Analysis in several Variables, D Van Nostrand, Princeton, (1966) [6]J M Lee and R Melrose, Boundary behavior of the complex Monge-Ampère equation, Acta Math 148, 159–192 (1982) [7]S Y Li, Plurisubharmonicity for the solution of the Fefferman equation and applications, Bull Math Sci (2016) 6: 287-309 [8]S Y Li, On the Kăahler manifolds with the largest infimum of spectrum of Laplace-Beltrami operators and sharp lower bound of Ricci or holomorphic bisectional curvatures, Comm Anal Geom 18, 555– 578 (2010) [9]S Y Li, Characterization for balls by potential function of Kăahler-Einstein metrics for domains in Cn, Comm Anal Geom 13(2), 461–478 (2005) [10]S Y Li, On the existence and regularity of Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations on weakly pseudoconvex domains, Calc Var PDEs 20, 119–132 (2004) 31 TÀI LIfiU THAM KHÁO [11]S Y Li, Characterization for a class of pseudoconvex domains whose bound- aries having positive constant pseudo scalar curvature, Comm Anal Geom 17, 17–35 (2009) [12]S Y Li and H S Luk, An explicit formula Webster pseudo Ricci curvature and its applications for characterizing balls in Cn+1, Comm Anal Geom 14, 673–701 (2006) [13]S Y Li and M A Tran, Infimum of the spectrum of Laplace-Beltrami operator on a bounded pseudoconvex domain with a Kăahler metric of Bergman type, Comm Anal Geom 18, 375–394 (2010) [14]S Y Li and X D Wang, Bottom of spectrum of Kăahler manifolds with strongly pseudoconvex boundary, Int Math Res Notices IMRN 2012(19), 4351–4371 (2012) 32 ...NGUYEN TH± LUA TÍNH ĐA ĐIEU HỊA DƯéI CUA NGHIfiM CUA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ÚNG DUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60460102... 16 Chương Phương trình Fefferman mien siêu giá loi úng dnng 2.1 Hàm đa đieu hịa dưái ch¾t mieu siêu gia loi Ket qua đau tiên cna lu¾n văn se chúng minh rang nghi¾m cna phương trình Fefferman. .. Chương Phương trình Fefferman mien siêu giá loi úng dnng − |∂r|r r i,j=1 23 Chương Phương trình Fefferman mien siêu giá loi úng dnng + |∂r|r 2Re B (n + 1) n+1 24 − |∂r|r|B | Chương Phương trình Fefferman