TIỂU LUẬN MÔN CƠ SỞ đại SỐ HIỆN đại tiểu luận phép giải nội xạ của một môđun

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————o0o——————– TIỂU LUẬN MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI Tên tiểu luận: Phép giải nội xạ môđun Họ tên người làm: Trương Ngọc Q Lớp: Tốn học Khóa: K29 Thừa Thiên Huế, tháng 5, năm 2021 Mục lục Một số kiến thức sở 1.1 Môđun đồng cấu môđun 1.2 Dãy khớp 1.3 Môđun nội xạ 1 4 Phép giải nội xạ 2.1 Định nghĩa ví dụ 2.2 Một số kết 6 LỜI MỞ ĐẦU Trước hết, muốn gửi lời cám ơn chân thành đến Phó giáo sư - Tiến sĩ Phan Văn Thiện, người cố gắng hỗ trợ chúng tơi hồn thành môn “Cơ sở đại số đại” điều kiện tình hình dịch bệnh căng thẳng Thầy tạo điều kiện cho hội tiếp xúc nghiên cứu đề tài thú vị - “phép giải nội xạ môđun” Đối với lịch sử phát triển toán học, lý thuyết vành xuất từ lâu thu hút quan tâm lớn nhà toán học Một cách để nghiên cứu cấu trúc vành thơng qua việc nghiên cứu môđun chúng Trong lý thuyết môđun, khái niệm môđun nội xạ Baer đề xuất vào năm 1940 Từ đó, hướng nghiên cứu liên quan đến môđun nội xạ ý nhiều Một số lý thuyết phép giải nội xạ Trong tiểu luận này, tiến hành trình bày theo chương Chương chương tổng quan Chương cung cấp kiến thức để phục vụ cho việc nghiên cứu nội dung trọng tâm tiểu luận chương như: môđun đồng cấu môđun, dãy khớp môđun nội xạ Vấn đề tiểu luận “phép giải nội xạ” đề cập trình bày chương thông qua định nghĩa số định lý liên quan Chương Một số kiến thức sở Trước tìm hiểu vấn đề xoay quanh “phép giải nội xạ” chương 2, chương này, nhắc lại số nội dung kiến thức sở bổ trợ cho lý thuyết chuyên sâu chương tới Lưu ý: • Trong suốt tiểu luận này, đề cập đến vành có đơn vị 1; • Tơi giới thiệu kết cần thiết cho phần nghiên cứu chương 2, đọc giả xem [1], [2] để biết thêm chứng minh chi tiết 1.1 Môđun đồng cấu môđun Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành, (M, +) nhóm Aben M gọi R−mơđun trái có ánh xạ (được gọi phép nhân vơ hướng) R × M −→ M (r, x) −→ rx thỏa mãn tính chất sau: i) r(x + y) = rx + ry, (r + s)x = rx + sx ∀r, s ∈ R, ∀x, y ∈ M ; ii) (rs)x = r(sx) ∀r, s ∈ R, ∀x ∈ M ; iii) 1x = x ∀x ∈ M ; Một R−môđun trái M ký hiệu R M Cho S vành, (M, +) nhóm Aben Định nghĩa tương tự, ta khái niệm cho S−môđun phải M , ký hiệu MS Tương tự, ta có khái niệm R − S−song môđun M , ký hiệu R MS Trong tiểu luận này, ta quy ước: nói R−môđun M , nghĩa M R−môđun trái Định nghĩa 1.1.2 Cho M R−môđun, (N, +) nhóm nhóm cộng (M, +) N gọi mơđun M N đóng kín phép nhân vơ hướng R−mơđun M (N, +) với phép nhân vô hướng cảm sinh thành R−môđun Định lý 1.1.1 Cho M R−môđun, N tập khác rỗng M Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) N môđun M ; ii) ∀x, y ∈ N , ∀r ∈ R : x + y ∈ N, rx ∈ N ; iii) ∀x, y ∈ N , ∀r, s ∈ R : rx + sy ∈ N Định lý 1.1.2 Giao họ khác rỗng môđun R−môđun M môđun R−môđun M Định nghĩa 1.1.3 Giao tất môđun khác rỗng M chứa S ⊂ M môđun bé M chứa S, ký hiệu < S > < S > cịn gọi mơđun M sinh tập S Định lý 1.1.3 Cho N mơđun R−mơđun M Khi đó, i) Ánh xạ R × M/N −→ M/N (r, x + N ) −→ rx + N xác định phép nhân vô hướng phần tử vành R phần tử nhóm thương M/N ; ii) Nhóm thương Aben M/N với phép nhân vô hướng lập thành R−môđun Định nghĩa 1.1.4 Môđun M/N định lý gọi môđun thương M theo môđun N Định nghĩa 1.1.5 Cho M, N R−môđun Ánh xạ f : M −→ N gọi đồng cấu R-môđun điều kiện sau thỏa mãn: f (x + y) = f (x) + f (y) f (rx) = rf (x) với x, y ∈ M , với r ∈ R Đồng cấu f gọi đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu f đơn ánh, toàn ánh, song ánh tương ứng Trong trường hợp f đẳng cấu ta nói M N đẳng cấu với nhau, ký hiệu M ∼ = N Ví dụ 1.1.1 Cho N mơđun R−mơđun M Khi đó, (1) Đồng cấu p : M −→ M/N x −→ x + N gọi tồn cấu tắc; (2) Đồng cấu i : N −→ M x −→ x gọi đơn cấu bao hàm hay gọi phép nhúng; (3) Mỗi đồng cấu nhóm Aben Z−mơđun Mệnh đề 1.1.1 Đồng cấu R−môđun f đơn cấu Kerf = Định lý 1.1.4 Cho f : M −→ N đồng cấu R−môđun H môđun M cho H ⊂ Kerf Khi đó, tồn đồng cấu f : M/H −→ N thỏa mãn f p = f , p : M −→ M/H tồn cấu tắc Hơn nữa, i) Kerf = Kerf /H; ii) Imf = Imf Hệ 1.1.1 Cho đồng cấu R−mơđun f : M −→ N Khi M/Kerf ∼ = Imf Mệnh đề 1.1.2 Cho M, N R−mơđun Khi đó, HomR (M, N ) = f : M −→ N |f đồng cấu môđun với phép cộng xác định sau lập thành nhóm Aben: ∀f, g ∈ HomR (M, N ) : (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ M 1.2 Dãy khớp Định nghĩa 1.2.1 Dãy đồng cấu R−môđun fi−2 fi−1 fi fi+1 · · · −→ Mi−1 −→ Mi −→ Mi+1 −→ · · · gọi khớp i Imfi−1 = Kerfi Dãy gọi dãy khớp khớp i f g Dãy khớp −→ X −→ Y −→ Z −→ gọi dãy khớp ngắn Khi đó, X∼ = Imf Z ∼ = Y /Imf Định lý 1.2.1 Dãy khớp f g · · · −→ X −→ Y −→ Z −→ · · · gọi chẻ Y Imf hạng tử trực tiếp Y Dãy khớp gọi chẻ chẻ mơđun khơng nằm hai đầu Mệnh đề 1.2.1 Dãy khớp f g · · · −→ X −→ Y −→ Z −→ chẻ Y ∼ = Imf ⊕ B, với B ∼ = Z Hệ 1.2.1 Dãy khớp ngắn f g −→ X −→ Y −→ Z −→ chẻ Y ∼ = X ⊕ Z Mệnh đề 1.2.2 Cho f : X −→ Y g : Y −→ Z đồng cấu R−môđun Nếu gf đẳng cấu Y ∼ = Imf ⊕ Kerg 1.3 Mơđun nội xạ Định nghĩa 1.3.1 R−môđun M gọi nội xạ với đồng cấu R−môđun f : A −→ M với đơn cấu R−môđun g : A −→ B tồn đồng cấu R−môđun h : B −→ M cho hg = f Ví dụ 1.3.1 Mọi khơng gian vectơ trường K K−môđun nội xạ Mệnh đề 1.3.1 Mọi hạng tử trực tiếp R−môđun nội xạ R−môđun nội xạ Mệnh đề 1.3.2 Tích trực tiếp họ R−mơđun nội xạ R−môđun nội xạ Định lý 1.3.1 (Định lý Baer) R−môđun M nội xạ với iđêan trái I ⊂ R với đồng cấu R−môđun f : I −→ M , có đồng cấu R−mơđun h : R −→ M thỏa mãn hi = f , với i : I −→ R đồng cấu bao hàm Định lý 1.3.2 Mọi R−mơđun M nhúng vào R−mơđun nội xạ Nghĩa tồn R−môđun nội xạ X chứa M môđun Định lý 1.3.3 Cho M R−môđun Các khẳng định sau tương đương: i) M Là R−môđun nội xạ; f g ii) Mọi dãy khớp ngắn −→ M −→ U −→ V −→ chẻ ra; iii) M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp R−môđun nội xạ Chương Phép giải nội xạ Trong chương này, tơi trình bày định nghĩa số tính chất liên quan đến khái niệm “phép giải nội xạ” Trước hết, khái niệm “phép giải nội xạ” định nghĩa sau 2.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 2.1.1 Cho M R−môđun Ta gọi phép giải nội xạ M dạy khớp đồng cấu R−môđun sau: f−1 f0 f1 fn−1 fn −→ M −→ C0 −→ C1 −→ · · · −→ Cn −→ · · · Trong đó, Ci R−mơđun nội xạ, ∀i ∈ N Ví dụ 2.1.1 Cho R miền iđêan K trường thương R Khi đó, 1) −→ R −→ K −→ K/R −→ −→ −→ · · · phép giải nội xạ hữu hạn R Chẳng hạn lấy R = Z K = Q, ta phép giải nội xạ hữu hạn Z: −→ Z −→ Q −→ Q/Z −→ −→ −→ · · · Hơn nữa, với a ∈ R, ta có −→ R/aR −→ K/aR −→ K/R −→ −→ −→ · · · phép giải nội xạ R/aR K/ai R, ∈ R mơđun nội xạ Khi đó, 2) Ta biết, i∈I −→ R/ai R −→ i∈I K/ai R −→ i∈I K/R −→ −→ −→ · · · i∈I phép giải nội xạ 2.2 Một số kết Định lý 2.2.1 Mọi R−mơđun M có phép giải nội xạ Chứng minh Theo định lý 1.3.2, ta suy tồn R−môđun nội xạ C0 cho ta nhúng R−mơđun M vào C0 Khi ta được, f−1 −→ M −→ C0 với f−1 = i phép nhúng (đơn cấu bao hàm) Xét phép chiếu tắc (tồn cấu) p0 : C0 −→ C0 /Imf−1 Khi đó, tồn phép nhúng i0 : C0 /Imf−1 −→ C1 Xét đồng cấu f0 = i0 p0 : C0 −→ C1 M f−1 C0 f0 p0 C1 i0 C0 /Imf−1 Ta chứng tỏ dãy sau khớp: f−1 f0 −→ M −→ C0 −→ C1 Thật vậy, x ∈ Kerf0 ⇔ f0 (x) = ⇔ i0 p0 (x) = ⇔ p0 (x) = ⇔ x + Imf−1 = ⇔ x ∈ Imf−1 Vậy Kerf0 = Imf−1 Do đó, dãy dãy khớp Xét phép chiếu tắc p1 : C1 −→ C1 /Imf0 Khi đó, tồn R−mơđun nội xa C2 cho có phép nhúng i1 : C1 /Imf0 −→ C2 Xét đồng cấu hợp thành f1 = i1 p1 : C1 −→ C2 M f−1 f0 C0 f1 C1 C2 p1 i1 C1 /Imf0 Ta có: x ∈ Kerf1 ⇔ f1 (x) = ⇔ f1 p1 (x) = ⇔ p1 (x) = ⇔ x + Imf0 = ⇔ x ∈ Imf0 Vậy Kerf1 = Imf0 Do đó, dãy f−1 f0 f1 −→ M −→ C0 −→ C1 −→ C2 khớp Cứ tiếp tục tiến hành trình trên, ta dãy f−1 f0 fn−1 f1 fn −→ M −→ C0 −→ C1 −→ · · · −→ Cn −→ · · · dãy khớp Tức là, tồn phép giải nội xạ R−môđun M f−1 f0 fn−1 f1 fn Định lý 2.2.2 Cho −→ M −→ C0 −→ C1 −→ · · · −→ Cn −→ · · · phép giải nội g−1 gn−1 g0 g1 gn xạ R−môđun M , −→ N −→ C0 −→ C1 −→ · · · −→ Cn −→ · · · phép giải nội xạ R−môđun N Với đồng cấu R−môđun h : M −→ N , tồn đồng cấu R−môđun hi : Ci −→ Di , ∀i ∈ N, cho chúng đồng cấu mở rộng h biểu đồ sau giao hoán: M f−1 N f0 g−1 f1 C1 h0 h C0 ··· fn−1 h1 D0 f−1 g0 Cn fn ··· hn g1 D1 f0 f1 ··· gn−1 fn−1 Dn fn gn ··· Chứng minh Ta có −→ M −→ C0 −→ C1 −→ · · · −→ Cn −→ · · · dãy khớp nên Kerf−1 = Do đó, f−1 đơn cấu Do M R−môđun nội xạ nên với đồng cấu R−môđun h : M −→ N , tồn đồng cấu R−môđun k−1 : C0 −→ N cho k−1 f−1 = h M h N f−1 C0 h0 = g−1 k−1 k−1 g−1 D0 Khi đó, tồn đồng cấu hợp thành h0 = g−1 k−1 : C0 −→ D0 khiến cho biểu đồ vng giao hốn f−1 M g−1 N g−1 g0 g0 D0 gn−1 g1 C1 h0 k−1 h f0 C0 D1 gn Ta có dãy −→ N −→ D0 −→ D1 −→ · · · −→ Dn −→ · · · khớp nên Img−1 = Kerg0 Do g0 g−1 = Khi đó, g0 h0 f−1 = g0 g−1 h = Từ suy ra, g0 h0 hạn chế lên Imf−1 = Kerf0 0, tức g0 h0|Imf−1 = g0 h0|Kerf0 = Do đó, ln tồn đồng cấu R−mơđun h1 : C1 −→ D1 cho biểu đồ sau giao hoán: f0 C0 /Kerf0 C1 h1 g0 h0 D1 Đồng cấu h1 xây dựng làm cho biểu đồ vuông thứ biểu đồ ban đầu giao hoán f−1 M g−1 N C1 h0 h f0 C0 h1 g0 D0 D1 Tiếp tục thực thao tác trên, ta xây dựng đồng cấu R−môđun mở rộng h hi : Ci −→ Di , ∀i ∈ N cho biểu đồ ban dầu giao hoán: M f−1 N f0 h0 h C0 g−1 D0 C1 f1 ··· fn−1 h1 g0 Cn fn ··· hn D1 g1 ··· gn−1 Dn gn ··· Hệ 2.2.1 Cho f−1 f0 f1 fn−1 fn g−1 g0 g1 gn−1 gn −→ M −→ C0 −→ C1 −→ · · · −→ Cn −→ · · · −→ M −→ C0 −→ C1 −→ · · · −→ Cn −→ · · · hai phép giải nội xạ R−mơđun M Khi đó, tồn đồng cấu hi : Ci −→ Di , ∀i ∈ N cho biểu đổ sau giao hoán: f−1 C0 M idM h0 g−1 D0 M f0 C1 f1 ··· fn−1 h1 g0 Cn fn ··· hn D1 10 g1 ··· gn−1 Dn gn ··· KẾT LUẬN Qua tiểu luận này, trình bày nội dung quan trọng lý thuyết môđun, đặc biệt môđun nội xạ phép giải nội xạ • Ở chương 1, tơi nhắc lại số kết biết môđun đồng cấu môđun, dãy khớp mônđun nội xạ Đây kiến thức bản, tảng quan trọng để nghiên cứu nội dung chương 2; • Ở chương 2, tơi trình bày thơng qua vấn đề nhỏ: định nghĩa phép giải nội xạ số ví dụ; số kết tơi nghiên cứu trình bày thơng qua định lý Lý thuyết phép giải nội xạ kiến thức nâng cao thú vị mà tơi có hội tìm hiểu Khi nghiên cứu vấn đề này, thu nhiều kết thú vị Bên cạnh đó, cịn số kết cịn bỏ ngỏ phạm vi kiến thức vượt giới hạn thân Tơi hy vọng rằng, tương lai, tơi có hội tiếp tục nghiên cứu thêm khía cạnh chuyên sâu để hiểu vấn đề Mặc dù thời gian hạn chế, cố gắng hoàn thành tiểu luận Tuy nhiên khó lịng tránh sai sót ngồi ý muốn Vì vậy, tơi kính mong nhận góp ý từ Thầy để hồn thiện 11 Tài liệu tham khảo [1] Văn Nam, Phan Văn Thiện, Giáo trình đại số đại cương nâng cao, Nhà xuất Đại học Huế, 2012 [2] Lê Thanh Hà, Môđun đại số, Nhà xuất giáo dục, 2002 [3] Alexei Skorobogatov, Algebra IV, April 7, 2020 [4] Irena Swanson, Homological Algebra, Graz, Fall 2018 [5] Emily McLean, Gorenstein Injective Modules, Mathematics Subject Classification, 2011 [6] Charles A Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Department of Mathematics, Rutgers University, Cambridge University Press 1994 12