Infimum của phổ của toán tử laplace beltrami trên miền giả lồi bị chặn với metric bergman

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRAN TH± MAI INFIMUM CUA PHO CUA TOÁN TU LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIEN GIA LOI B± CH¾N VéI METRIC BERGMAN LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC HÀ N®I - 2015 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRAN TH± MAI INFIMUM CUA PHO CUA TOÁN TU LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIEN GIA LOI B± CH¾N VéI METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: TS NGUYEN THAC DŨNG LèI CAM ƠN Tơi xin bày to lịng biet ơn chân thành sâu sac nhat tói TS Nguyen Thac Dũng - Ngưịi thay ln bên tơi đ®ng viên, chi day giúp đõ t¾n tình đe tơi có the hồn thành tot lu¾n văn Th¾t khó có the nói het sn quan tâm lón lao mà thay dành cho tơi suot thịi gian qua Thay khơng quan ngai khơng gian, thịi gian v¾t chat, dành het tâm huyet cho cơng vi¾c, khơng ngùng mong moi HQ c trị cna lĩnh h®i đưoc nhieu kien thúc Thay qua m®t ngưịi thay mau mnc, tam gương sáng đe lóp lóp the h¾ HQ c trị chúng tơi noi theo Qua đây, tơi xin phép đưoc gui lịi cam ơn tói t¾p the thay Khoa Tốn- Cơ- Tin HQ c HQc, Trưòng Đai HQ c Khoa HQ c Tn nhiên, Đai Quoc gia Hà N®i trnc tiep giang day tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi suot q trình HQ c t¾p Tơi cam ơn gia đình, cam ơn ban bè, cam ơn tat ca MQI ngưịi ln quan tâm, góp ý, giúp đõ cho tơi Trong q trình làm lu¾n văn, m¾c dù het súc co gang thnc te súc khoe khơng đưoc tot, kien thúc cịn han che lai thêm hồn canh đ¾c bi¾t nên lu¾n văn khó tránh khoi có thieu sót Tơi kính mong q thay ban bő sung, góp ý nhung ý kien q báu đe lu¾n văn đưoc hồn chinh Cuoi cùng, tơi xin kính chúc q thay ban súc khoe, hanh phúc thành đat! Chúc m®t năm mói an khang, th%nh vưong! Hà N®i, tháng 12 năm 2015 i Mnc lnc Phan ma đau 1 M®t so kien thÉc ve giai tích phÉc nhieu bien 1.1 1.2 Hàm đa đieu hịa dưói mien gia loi 1.1.1 Hàm đa đieu hịa dưói .4 1.1.2 Mien gia loi Toán tu Laplace-Beltrami đa tap Kăahler Cắn dỏi nho nhat cua cua toán tE Laplace-Beltrami mien gia loi b% ch¾n 11 2.1 Ưóc lưong c¾n dưói cna λ1 11 2.2 Ưóc lưong c¾n cna λ1 23 2.3 Giá tr% cnc đai cna λ1 mđt vi mien ắc biắt 30 Ket luắn 35 Tài li¾u tham khao 36 Phan ma đau Cho (M n , g) l mđt a tap Kăahler n chieu vúi metric Kăahler n g = gijdzi dzj i,j=1 Gia su ∆ g = −4 Σ n i,j= ∂2 gij ∂zi∂zj toán tu Laplace-Beltrami tương úng vói metric g e ta dùng ký −1 hi¾u ΣgijΣt = Σgij Σ Khi đó, c¾n dưói nho nhat cna phő cna tốn tu Laplace-Beltrami đưoc xác đ%nh boi  ij ∂   n 4 g f  ∂ M ∫ λ1(∆g, M ) = iΣ,j dVg : f ∈ C0∞(M ), ǁf ǁL2 = f =1 ∂ zi ∂ zj inf dVg dang the tích M tương úng vói metric Kăahler g Bi viắc toỏnỏnh tớnhlgiỏ tr%thuđc hoắc mđtMỏnh giỏ ve Kăahler Tat nhiờn giỏlny phu vào cho đa tap metric g Ngưòi ta chúng minh đưoc rang M đa tap compact ∆g tốn tu elliptic đeu λ1(∆g) giá tr% riêng dương đau tiên cna ∆g vói đieu ki¾n biên Dirichlet Vi¾c nghiên cúu λ1 có nhieu úng dung tốn hình HQc v¾t lý Chang han, vói gia thiet ve đ® cong phù hop gia thiet ve λ1 có c¾n dưói phù hop, Li-Wang-Munteanu-KongZhou chi rang đa tap phai có dang hình HQc đ¾c bi¾t (xem [6, 10, 11, 12, 17]) Trưóc het ta ý rang λ1(∆g) có the khơng phai giá tr% riêng cna ∆g Ví du, neu M m®t khơng gian hyperbolic phúc λ1(∆g) khơng phai giá tr% riêng cna ∆g Tuy nhiên, c¾n dưói cna phő dương cna ∆g Tőng quát M a tap Kăahler khụng compact thỡ (g ) khụng chac giá tr% riêng cna ∆g dù đa tap có the đa tap đay tốnMđánh giáđa cho (∆g )khơng mà đien hình cơng ngưịi trình cna Li Khi m®t tapλ1đay compact, có nhieu nghiên cúu dưói boi −1, HQ chúng minh rang λ1(∆g ) ≤ n Đánh giá cna HQ Wang ([10]) Vói gia thiet đ® cong song nhát cat chinh hình cna M b% ch¾n 2Munteanu ([17]) chúng minh đưoc m®t cách tot rang λ1 (∆g ) ≤ n ch¾t thúc đat đưoc M không gian hyperbolic phúc Sau chi vói gia thiet đ® cong Ricci cna M b% ch¾n dưói boi −2(n + 1) Ưóc lưong cna Munteanu ch¾t dau thúc đat đưoc đoi vói khơng gian hyperbolic phúc Lu¾n văn trình bày m®t cách chi tiet ket qua báo cna Song-Ying Li My-An Tran ([16]) N®i dung cna lu¾n văn đưa ví du ve a tap Kăahler ay n m oi vúi chỳng giá tr% xác cna λ1 có the tính tốn đưoc Nói m®t cách cu the, ta se ưóc lưong xác λ1(∆u ) mien D mien gia loi b% chắn Cn vúi 2u metric Kăahler uij dzi ⊗ dz j , uij ∂zi∂zj vói u hàm đa đieu = hịa dưói ch¾t, vét can mien D Trong trưòng hop tőng quát, D mien gia loi b% ch¾n vi¾c tính đưoc xác giá tr% cna λ1(∆u) rat phúc tap Vì the, can phai đưa vào nhung đieu ki¾n phu khác c¾n trênvói hàm c¾n udưói cna λ1 bang cáchcác xây dnng cácđó, hàm đ¾ctabi¾t tien đoi vét can D Nhị đieu ki¾n chúng se xap xi hành phân tích mien cna D Lu¾n văn bao gom hai chương Trong chương mo đau, tơi nhac lai m®t vài kien thúc ban ve hàm đa đieu hịa dưói, mien gia loi v toỏn tu Laplace-Beltrami trờn a tap Kăahler Trong chng hai, tơi xét ưóc lưong c¾n dưói c¾n cna c¾n dưói nho nhat cna phő cna tốn tu Laplace- Beltrami Ưóc lưong c¾n dưói đưoc xét muc 2.1, ưóc lưong c¾n đưoc trình bày muc 2.2 ắc biắt, muc 2.2 tụi a mđt cách chúng minh khác cho Đ%nh lý 2.2 Chúng minh mói đơn gian so vói chúng minh báo goc Trong muc 2.3, đưa ưóc lưong cna c¾n dưói nho nhat cna phő mien gia loi đ¾c bi¾t vói metric Kăahler-Einstein v metric Bergman Chng Mđt so kien thÉc ve giai tích phÉc nhieu bien 1.1 1.1.1 Hàm đa đieu hòa dưái mien gia loi Hàm đa đieu hòa dưái Đ%nh nghĩa 1.1 Gia su Ω m®t mien Cn, u : Ω → R m®t hàm thu®c lóp C Khi u đưoc gQI hàm đa đieu hịa dưói neu chi neu n iΣ,j=1 ∂u ∂zi∂zj ∂2u (z)ξiξj n ≥ ∀z ∈ C , ξ = (ξ1 , , ) ∈ Cn ξn Do uij = dz dz = Ruij + isuij , đ¾t ξj = xj + iyj, ∀j = 1, n, ta có i j uijξiξj = (Ruij + = (Ruij + √ √ √ −1suij )(xi + −1yi)(xj − −1yj) √ √ −1suij )(xixj + yiyj + −1(yixj − xiyj)) √ = Ruij (xixj + yiyj) + suij (yixj − xiyj + −1(Ruij (yixj − xiyj) + suij (xixj + yiyj)) Vì v¾y, neu u hàm đa đieu hịa dưói thu®c lóp C n Σ Ruij (xixj + yiyj) + suij (yixj − xiyj) ≥ i,j=1 n Σ Ruij (yixj − xiyj) + suij (xixj + yiyj) = ∀ xi, yi ∈ R i,j=1 Đ%nh nghĩa 1.2 M®t hàm u thu®c lóp C đưoc GQI hàm đa đieu 2hũa dúi chắt v chi ton tai mđt hang so s > cho u − s|z| l mđt hm a ieu hũa dúi Vỡ vắy, neu u l mđt hm a ieu hũa dúi (chắt) thỡ ma trắn Hessian phỳc (uij )cna nú l mđt ma tr¾n Hermit xác đ%nh dương (ch¾t) Chú ý rang neu u l mđt hm a ieu hũa dúi chắt (uij ) kha ngh%ch u−1 = (uij)t l mđt ma trắn Hermit v xỏc %nh dng chắt Ví dn Xét khơng gian phúc C2, cho u(z, w) = |z|2 + |w|2 v(z, w) = |z|2 + |w|2 vói (z, w) ∈ C2 Khi đó, u hàm đa đieu hịa dưói ch¾t cịn v hàm đa đieu hịa dưói Th¾t v¾y, de thay u, v hàm trơn, nua, ma tr¾n Hessian phúc cna u v lan lưot 1 0 1  H (z, w) =  u = I , H (z, w) =   v     |w|  u ... NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRAN TH± MAI INFIMUM CUA PHO CUA TOÁN TU LAPLACE- BELTRAMI TRÊN MIEN GIA LOI B± CH¾N VéI METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60460102 LU¾N... mđt metric Kăahler trờn mđt a tap phỳc M Do moi metric Hermit đeu cam sinh m®t metric Riemann nên ta có the đ%nh nghĩa tốn tu Laplace- Beltrami tương úng vói metric Riemann < v, w >R,h Trong metric. .. Ωp(M ) * toán tu Hogde Đ%nh nghĩa 1.4 Toán tu Hogde -Laplace Ωp(M ) ∆H = −(dd∗ + d∗ d) : Ωp (M ) → Ωp(M ) Toán tu Hogde -Laplace đưoc liên h¾ vói tốn tu Laplace- Beltrami sau Vói MQI hàm trơn f ,